高二數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義(人教A版選擇性必修第一冊(cè))3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(原卷版+解析)

3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：軌跡方程—拋物線題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^(guò)且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開(kāi)口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開(kāi)口向右時(shí)開(kāi)口向左時(shí)開(kāi)口向上時(shí)開(kāi)口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫(xiě)出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況．【典型例題】題型一：拋物線的定義例1．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．例2．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為_(kāi)__________.例3．(2023·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期末）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1 B．2 C．4 D．6例4．(2023·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）若拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，則（

）A．6 B．8 C．12 D．16例5．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則______．例6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上在第一象限的一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，若，則______.例7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．例8．(2023·云南曲靖·高二期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為_(kāi)_________．題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例9．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．例10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．例11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．例12．(2023·陜西寶雞·高二期末（理））頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上．若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．例14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)為圓與的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）.A． B． C． D．例15．(2023·江蘇常州·高二期中）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．例16．(2023·浙江省蘭溪市第三中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.故選：B題型三：軌跡方程—拋物線例17．(2023·安徽省宣城中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓（2）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線（3）動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線（4）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和兩條射線A．0 B．1 C．2 D．3例18．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）到點(diǎn)的距離比到直線的距離小的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例19．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例20．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例21．(2023·廣西·南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)高二期末）拋物線：的過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例22．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．直線 D．拋物線例23．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）．A． B． C． D．例24．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，則的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例25．(2023·全國(guó)·高二）若動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8,則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是(

)A． B． C． D．()題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題例26．(2023·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例27．(2023·北京市十一學(xué)校高二期末）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6例28．(2023·湖南·周南中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知A（2，1），拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，則△PAF周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例29．(2023·西藏·拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例30．(2023·遼寧·遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二期中）已知拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例31．(2023·北京順義·高二期末）已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．例32．(2023·青海海東·高二期末（理））已知拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例33．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例34．(2023·河北邢臺(tái)·高二期末）的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．例35．(2023·福建省平和第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，設(shè)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例36．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，全國(guó)人民都為我國(guó)的科技水平感到自豪某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．如圖，航天器按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．已知觀測(cè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1例37．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬（）米．A． B． C． D．例38．(2023·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（文））如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為_(kāi)_____．例39．(2023·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖1所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)波束到達(dá)后，在軸截面內(nèi)呈近似平行狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，從而位于焦點(diǎn)處的信號(hào)接收器可以接受到較強(qiáng)的信號(hào)波．已知接收天線的口徑（直徑）為4米，深度為1米．根據(jù)圖2中的坐標(biāo)系，解答下列問(wèn)題：(1)求接收器與頂點(diǎn)間的距離；(2)證明一衛(wèi)星信號(hào)波沿著平行于對(duì)稱軸方向射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)M（不同于拋物線頂點(diǎn)）反射后經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．例40．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面寬為2m，暴雨來(lái)臨之前的水面寬為4m，求暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x．例41．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m．若水面下降1m，求水面寬度（精確到0.01m）．【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023·廣西南寧·高二期末（文））已知拋物線（）上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．3．(2023·河南許昌·高二期末（理））已知直線l過(guò)點(diǎn)，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．(2023·四川達(dá)州·高二期末（理））已知直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且平分圓，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．5．(2023·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能確定6．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，（），原點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．8．(2023·江蘇省江陰市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線這一節(jié)的學(xué)習(xí)，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).則二次函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．9．(2023·福建漳州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題10．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”11．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”12．(2023·福建·莆田第二十五中學(xué)高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．則（

）A． B．當(dāng)軸時(shí)，C．為定值1 D．若，則直線的斜率為13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．三、填空題14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與其平行線的距離為，則拋物線的方程為_(kāi)_____．15．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．16．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)垂直于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)與軸相交于點(diǎn)若，則等于__．17．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．四、解答題18．(2023·四川·攀枝花七中高二階段練習(xí)（理））回答下列各題.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的方程為，是其焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，在此拋物線上求一點(diǎn)，使的值最?。?0．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的方程.(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)．21．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知P為軌跡C上的一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線和y軸的距離之和的最小值．3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：軌跡方程—拋物線題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^(guò)且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開(kāi)口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開(kāi)口向右時(shí)開(kāi)口向左時(shí)開(kāi)口向上時(shí)開(kāi)口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫(xiě)出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況．【典型例題】題型一：拋物線的定義例1．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C例2．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為_(kāi)__________.答案：【解析】由題意作圖如下：則，，在中，，則，即，即直線的斜率為，故答案為：.例3．(2023·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期末）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案：C【解析】由，可得其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，解得，故選：C.例4．(2023·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）若拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，則（

）A．6 B．8 C．12 D．16答案：D【解析】由題意，拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得.故選：D.例5．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則______．答案：13【解析】拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由拋物線定義得：，，因AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則有，所以．故答案為：13例6．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上在第一象限的一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，若，則______.答案：2【解析】如圖所示，連接，，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，由題意得，.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴.∵垂直于點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，，又∵，∴為等邊三角形，∴，則四邊形為矩形，∴，∴.故答案為：例7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．答案：5【解析】由題意，知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故的長(zhǎng)度等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以,故答案為：5例8．(2023·云南曲靖·高二期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為_(kāi)_________．答案：【解析】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因?yàn)椋?，所以，從而得，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例9．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由焦點(diǎn)在軸的正半軸上知拋物線開(kāi)口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.例10．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.例11．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D例12．(2023·陜西寶雞·高二期末（理））頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或答案：D【解析】設(shè)拋物線方程為，則，，方程為，或設(shè)方程為，則，，方程為．所以拋物線方程為或．故選：D．例13．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上．若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】雙曲線的漸近線方程是，即.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則，即，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故選：D．例14．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)為圓與的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）.A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)拋物線的方程為，連接，過(guò)作準(zhǔn)線，交軸于，因?yàn)椋?，所以，在中有：，所以，解得：，所以拋物線的方程為：，故選：C.例15．(2023·江蘇常州·高二期中）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)拋物線方程為，則，將代入拋物線方程得，，由于為等邊三角形，故，即，解得.例16．(2023·浙江省蘭溪市第三中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x答案：B【解析】如圖分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.故選：B題型三：軌跡方程—拋物線例17．(2023·安徽省宣城中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓（2）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線（3）動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線（4）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和兩條射線A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】（1）公式的幾何意義為到、的距離之和為4，而、的距離等于4，故P的軌跡不是橢圓，錯(cuò)誤；（2）公式的幾何意義為到與到的距離之差為5，且、的距離等于4，P的軌跡不是雙曲線，錯(cuò)誤；（3）由題設(shè)，到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則，可得P的軌跡是或，錯(cuò)誤；（4）由題設(shè)，或，故P的軌跡是圓和直線（在圓上或圓外部分，即兩條射線)，正確.故選：B.例18．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）到點(diǎn)的距離比到直線的距離小的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為.故選：C.例19．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故．設(shè)，，的中點(diǎn)，即，即故選：．例20．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由題意，，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由得，所以拋物線方程為．故選：A．例21．(2023·廣西·南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)高二期末）拋物線：的過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，可得過(guò)焦點(diǎn)的直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為：，設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，，，，設(shè)的中點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：，，，所以可得，消去可得的軌跡方程：，故選：C．例22．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．直線 D．拋物線答案：D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)且與y軸相切的圓，所以，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡為拋物線，故選：D例23．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，所以，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線．所以，，則，故點(diǎn)的軌跡方程為．故選：D.例24．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，則的軌跡方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設(shè)，則．由得又在拋物線上，，即，即，故選：A．例25．(2023·全國(guó)·高二）若動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8,則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是(

)A． B． C． D．()答案：C【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，過(guò)作軸，垂足為，則，，，得.故選：C.題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題例26．(2023·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，則，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3，故選：C.例27．(2023·北京市十一學(xué)校高二期末）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B．例28．(2023·湖南·周南中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知A（2，1），拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，則△PAF周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)P作垂直于準(zhǔn)線，由題可知，△PAF的周長(zhǎng)為,，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，且最小值為.故選：C.例29．(2023·西藏·拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，所以，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)與直線垂直時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：C.例30．(2023·遼寧·遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二期中）已知拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】由題可得，即，拋物線為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，則由拋物線的定義可知，所以．故選：B例31．(2023·北京順義·高二期末）已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．答案：C【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.例32．(2023·青海海東·高二期末（理））已知拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：D【解析】由已知得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，則由拋物線的定義可知．∵，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，∴，故選：.例33．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】將化為，則其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，設(shè)，則由拋物線的定義，得，所以的周長(zhǎng)（當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取得最小值）.故選：A.例34．(2023·河北邢臺(tái)·高二期末）的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．答案：C【解析】設(shè)，則，則曲線為拋物線的右半部分．拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線l：的距離為d，點(diǎn)P為拋物線的右半部分上一點(diǎn)，設(shè)P到準(zhǔn)線l：的距離為，則．故選：C例35．(2023·福建省平和第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，設(shè)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，，，，，，由拋物線的性質(zhì)可知：，，直線的斜率為：，，，，，拋物線方程為：，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的性質(zhì)可知：，而當(dāng)垂直于軸時(shí)，的值最小，最小值為，如圖所示：的最小值為3，故選：B．題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例36．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，全國(guó)人民都為我國(guó)的科技水平感到自豪某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．如圖，航天器按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．已知觀測(cè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1答案：A【解析】由題意，設(shè)點(diǎn)所在的拋物線方程為，又由拋物線與橢圓的交點(diǎn)，代入拋物線方程得，解得，即拋物線的方程為，令，可得，解得或（舍去），所以，即航天器降落點(diǎn)B與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離為.故選：A.例37．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬（）米．A． B． C． D．答案：B【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，故水面寬為2m．故選：B．例38．(2023·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（文））如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為_(kāi)_____．答案：【解析】設(shè)拋物線的方程為，則．設(shè)，因?yàn)椋裕?，所以，所以，故其焦徑比．故答案為：?9．(2023·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖1所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)波束到達(dá)后，在軸截面內(nèi)呈近似平行狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，從而位于焦點(diǎn)處的信號(hào)接收器可以接受到較強(qiáng)的信號(hào)波．已知接收天線的口徑（直徑）為4米，深度為1米．根據(jù)圖2中的坐標(biāo)系，解答下列問(wèn)題：(1)求接收器與頂點(diǎn)間的距離；(2)證明一衛(wèi)星信號(hào)波沿著平行于對(duì)稱軸方向射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)M（不同于拋物線頂點(diǎn)）反射后經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．【解析】(1)設(shè)拋物線的方程為：，因?yàn)榻邮仗炀€的口徑（直徑）為4米，深度為1米，故且，故，故拋物線的方程為：.此時(shí)接收器與頂點(diǎn)之間的距離為1.(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)在第一象限，則拋物線在處的切線的斜率必存在，設(shè)，由可得，整理得到：，故，故.故切線方程為：，當(dāng)光線沿射入時(shí)，反射光線的斜率為，其傾斜角為，法線的傾斜角為，則，且，當(dāng)時(shí)，故，故反射光線的方程為：，故反射光線過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故反射光線的方程為：，此時(shí)反射光線過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，反射光線過(guò)焦點(diǎn)，綜上，反射光線過(guò)焦點(diǎn).例40．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面寬為2m，暴雨來(lái)臨之前的水面寬為4m，求暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x．【解析】如圖，以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x為例41．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m．若水面下降1m，求水面寬度（精確到0.01m）．【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線的方程為：，由題意知：點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線方程為，當(dāng)水面下降1m時(shí)拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，代入，得，解得，此時(shí)水面的寬度為.【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【解析】因?yàn)椋話佄锞€準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.2．(2023·廣西南寧·高二期末（文））已知拋物線（）上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．答案：B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為由拋物線的性質(zhì)可知，得，故，故選：B.3．(2023·河南許昌·高二期末（理））已知直線l過(guò)點(diǎn)，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然，解得，故，解得，故拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A4．(2023·四川達(dá)州·高二期末（理））已知直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且平分圓，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，由于直線平分圓，故直線經(jīng)過(guò)圓心，所以可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，故斜率，由斜截式可得方程為：，故選：C5．(2023·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能確定答案：A【解析】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，且到的距離等于.又點(diǎn)到距離為，故故選：A6．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】拋物線，，拋物線的準(zhǔn)線方程是，設(shè)，，，解得，所以，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故選：D7．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，（），原點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】由題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，兩點(diǎn)都在拋物線上，∴，即，即，解得或，又，∴,故選:A8．(2023·江蘇省江陰市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線這一節(jié)的學(xué)習(xí)，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).則二次函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由拋物線知可以看做時(shí)拋物線(焦點(diǎn)坐標(biāo))先向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，故的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C9．(2023·福建漳州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，滿足，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】若軸，準(zhǔn)線，如下圖示：令，而，所以，又，所以.故選：C二、多選題10．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”答案：BCD【解析】由點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，可得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線：的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是，故A錯(cuò)誤．由上述可知點(diǎn)P的軌跡與直線沒(méi)有交點(diǎn)，即兩者是沒(méi)有交匯的軌跡，故B正確．易知“最遠(yuǎn)距離直線”與拋物線有交點(diǎn)，把代入拋物線方程，消去y并整理得．因?yàn)?，方程無(wú)解，所以不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確．把代入拋物線方程，消去y并整理得．因?yàn)?，方程有解，所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．故選：BCD．11．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”答案：BCD【解析】由點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，可得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線：的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是，故A錯(cuò)誤．由上述可知點(diǎn)P的軌跡與直線沒(méi)有交點(diǎn)，即兩者是沒(méi)有交匯的軌跡，故B正確．易知“最遠(yuǎn)距離直線”與拋物線有交點(diǎn)，把代入拋物線方程，消去y并整理得．因?yàn)椋匠虩o(wú)解，所以不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確．把代入拋物線方程，消去y并整理得．因?yàn)?，方程有解，所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．故選