2020-2021學(xué)年吉林省長春市綠園區(qū)解放大路中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年吉林省長春市綠園區(qū)解放大路中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共八題：共24分）1．（3分）的平方根是（）A． B． C． D．2．（3分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠33．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a+1）2＝a2+1 B．5a2﹣3a2＝2 C．2a+3b＝5ab D．（ab3）2＝a2b64．（3分）在數(shù)軸上表示不等式組的解集，正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°（）A．70° B．44° C．34° D．24°6．（3分）如圖，已知由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的圖案中，有五條線段PA、PB、PC、PD、PE（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條7．（3分）如圖在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算陰影部分的面積，則這個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）8．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則BP的最小值是（）A．4 B． C．5 D．二、填空題（共六題：共18分）9．（3分）計(jì)算：＝．10．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝5，則（a+b）2＝．11．（3分）若2a﹣5b﹣4＝0，則4a÷32b＝．12．（3分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，交AC于點(diǎn)D，∠B＝70°，則∠C＝°．13．（3分）在如圖所示的網(wǎng)格中，A、B、C都在格點(diǎn)上，連結(jié)AB、AC°．14．（3分）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是cm．三、解答題（共十題：共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2（1﹣2a），其中．16．（8分）因式分解：（1）x3﹣9x；（2）﹣2x3+12x2﹣18x．17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．19．（8分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，點(diǎn)C在DE上．（1）求證：△ABD≌△ACE．（2）若∠BDA＝35°，則∠BDE＝°．20．（8分）已知圖①、圖②都是5×5的方格紙，其中每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．（1）在圖①的方格紙中畫出一個(gè)面積為13的正方形，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（2）在圖②的方格紙中畫出一個(gè)三邊均為無理數(shù)的直角三角形，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．21．（8分）如圖，在△ABC中，BC＝9，在△ABE中，DE是AB邊上的高，△ABE的面積為60．（1）AB的長為．（2）求四邊形ACBE的面積．22．（8分）我們知道，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a，“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“a2≥0”來解決問題．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+．（2）請(qǐng)用作差法比較x2﹣2與2x﹣5的大小，并寫出解答過程．（3）求x2﹣4x+y2+2y+8的最小值．23．（8分）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．3．角平分線回憶我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，如下圖所示，P是OC上任一點(diǎn)，作PD⊥OA，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，將∠AOB沿OC對(duì)折，由此即有：角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．已知：如圖1所示，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任一點(diǎn)，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：PD＝PE．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形PDO和PEO，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PD＝PE．（1）請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖1，補(bǔ)全定理的證明過程．（2）【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，若AB＝13，AF＝8．（3）【拓展】如圖3，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∠C＝45°，DE＝3，則△ABD的面積為．24．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB邊上的速度為每秒5個(gè)單位長度，連結(jié)CP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）AB的長為，CD的長為．（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP＝．（用含t的代數(shù)式表示）（3）以CP為邊構(gòu)造的正方形面積為S（S＞0），用含t的代數(shù)式表示S．（4）直接寫出當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)t的值．

2020-2021學(xué)年吉林省長春市綠園區(qū)解放大路中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共八題：共24分）1．【分析】根據(jù)平方根的定義即可求出答案．【解答】解：∵（±）8＝，∴的平方根是±，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．【分析】分式有意義的條件是分母不為0．【解答】解：∵代數(shù)式有意義，∴x﹣5≠0，∴x≠3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了分式有意義的條件知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵要知道分母不為0是分式有意義的條件．3．【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝a2+2a+2，不符合題意；B、原式＝2a2，不符合題意；C、原式不能合并；D、原式＝a4b6，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，合并同類項(xiàng)，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．4．【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．本題解不等式組得：，再分別表示在數(shù)軸上即可得解．【解答】解：由x+2＞0得x＞﹣3，由2x﹣6≤5，得x≤3，把解集畫在數(shù)軸上為：故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組以及在數(shù)軸上表示不等式組的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．5．【分析】由AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，∴∠ADB＝70°，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用．6．【分析】利用勾股定理分別求出各條線段的長，找到長度為有理數(shù)的線段即可．【解答】解：觀察圖形可知PA＝4，由勾股定理得：PB＝＝，PC＝＝5，PD＝＝2，PE＝＝，故其中長度是有理數(shù)的有6條．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)，勾股定理是幾何圖形中求線段長最重要、最基礎(chǔ)的方法．7．【分析】這個(gè)圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；因?yàn)槠闯傻拈L方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），根據(jù)“長方形的面積＝長×寬”代入為：（a+b）×（a﹣b），因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；拼成的長方形的面積：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a8﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論．8．【分析】作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出AD，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小，再利用三角形的面積求解即可．【解答】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，AD＝，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小，則由S△ABC＝，可得2×4＝5×BP；即線段BP的最小值是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積等知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共六題：共18分）9．【分析】根據(jù)（﹣3）3＝﹣27，可得出答案．【解答】解：＝﹣3．故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意立方根的求解方法，難度一般．10．【分析】根據(jù)完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝37+4×5＝8+20＝29，故答案為29．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式以及它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．【分析】由已知條件得：2a﹣5b＝4，再利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：∵2a﹣5b﹣3＝0，2a﹣3b＝4，∴4a÷32b＝22a÷28b＝22a﹣5b＝24＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對(duì)冪的乘方的法則的掌握與運(yùn)用．12．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠FAE＝19°，∴∠FAC＝∠C+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，則∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，解得：∠C＝24°，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．13．【分析】作AB關(guān)于豎直邊的對(duì)稱線段AD，連接CD，根據(jù)勾股定理分別求出AD2、DC2、AC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ADC為等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠DCH＝∠2，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解答】解：如圖，作AG⊥BG交于點(diǎn)G，連接AD，過C作CH⊥DH交于點(diǎn)H，由勾股定理得，AD2＝24+12＝3，CD2＝25+12＝6，AC2＝33+12＝10，則AD6+DC2＝AC2，∴△ADC為等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，又∵AG∥CH，∴∠8＝∠ACH，∵AG＝DH＝1，BG＝DH＝2，∴△ABG≌△DCH（AAS），∴∠DCH＝∠8，∴∠1+∠2＝∠ACH+∠DCH＝∠ACD＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的勾股定理的逆定理，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：∵高為12cm，底面周長為10cm，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣7+AE＝12cm，∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．三、解答題（共十題：共78分）15．【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算及乘法公式進(jìn)行化簡即可，然后把代入求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣4a+5+a2﹣1﹣8+4a＝2a6+1，把代入得：原式＝5×3+1＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的運(yùn)算及乘法公式，關(guān)鍵是熟記公式及方法是解題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式，即可分解因式；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）＝x（x+5）（x﹣3）；（2）原式＝﹣2（x5﹣6x+9）＝﹣8（x﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分解因式，掌握提取公因式法，平方差公式以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．17．【分析】（1）先算乘方，然后運(yùn)算除法解題即可；（2）先化簡二次根式，然后合并同類二次根式解題即可．【解答】解：（1）＝＝4x2﹣7x﹣2；（2）＝＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的乘除運(yùn)算和二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．【分析】（1）先把分式的分子分母分解因式，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分即可；（2）把分式的分子分母分解因式，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的除法運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD＝∠CAE，根據(jù)SAS可得兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ADC＝∠AEC，根據(jù)等量代換，可得證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEC，∴∠BDA＝∠ADC＝35°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2×35°＝70°．故答案為：70．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)，證明對(duì)應(yīng)角相等，再利用等量代換得出證明結(jié)論．20．【分析】（1）面積為13的正方形的邊長為，即為邊長為2和3的直角三角形的邊長，作圖即可；（2）先找出三個(gè)無理數(shù)，使其兩數(shù)的平方和等于另一個(gè)無理數(shù)的平方，再利用勾股定理在圖中作出以這三個(gè)無理數(shù)為邊長的三角形即為所求．【解答】解：（1）所作正方形如圖①：；（2）所作直角三角形如圖②：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理和逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解題的關(guān)鍵．21．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，求出△ABC的面積，進(jìn)而可得答案．【解答】解：（1）由題意得：，∴AB＝15，故答案為：15．（2）∵在△ABC中，BC＝3，AB＝15，∴AC2+BC2＝32+122＝225，AB7＝152＝225，∴AC2+BC3＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴，∴四邊形ACBE的面積＝S△ABC+S△ABE＝54+60＝114．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積計(jì)算，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是證明△ABC是直角三角形．22．【分析】（1）由x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1，再配方即可；（2）利用作差法和配方法將代數(shù)式化為完全平方與一個(gè)常數(shù)和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）由x2﹣4x+y2+2y+8＝（x﹣2）2+（y+1）2+3，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+7+1＝（x﹣2）6+1．故答案為：﹣2；3．（2）x2﹣2﹣（8x﹣5）＝x2﹣6x+3＝x2﹣3x+1+2＝（x﹣8）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣8）2+2≥3＞0，∴x2﹣4＞2x﹣5．（3）x3﹣4x+y2+5y+8＝x2﹣7x+4+y2+4y+1+3＝（x﹣5）2+（y+1）2+3，∵（x﹣2）8≥0，（y+1）5≥0，∴（x﹣2）4+（y+1）2+3≥3，即x2﹣5x+y2+2y+3≥3，∴x2﹣6x+y2+2y+8的最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查配方法的應(yīng)用．掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．23．【分析】（1）利用AAS，證明△PDO≌△PEO，即可得證；（2）證明△ACD≌△AED，得到AC＝AE，證明△CDF≌△EDB，得到CF＝BE，根據(jù)AB＝AE+BE，AC＝AF+CF，根據(jù)線段的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行求解即可．（3）過點(diǎn)D作DF⊥AB，得到DE＝DF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出∠A＝∠BDA，進(jìn)而得到：AB＝BD，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠POE＝∠POD，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，又∵OP＝OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD＝PE；（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，同（1）法可得：△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC，DE＝DC，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠C＝90°，又∵BD＝DF，DE＝DC，∴△CDF≌△EDB（HL），∴CF＝BE，∵AB＝AE+BE＝AC+CF，AC＝AF+CF，∴AB＝AF+CF+CF，