2024年高中數(shù)學(xué)專題3-5重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講冪函數(shù)學(xué)生版新人教A版必修第一冊

專題3.5冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時滿足這三個條件，才是冪函數(shù).2．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時，y＝xα是減函數(shù)．3．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時，y=x的圖象是一條直線.

②當(dāng)α=0時，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線.

③當(dāng)α為其他值時，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①全部的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1).

②α>0時，冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數(shù).

③α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限地靠近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時，圖象在x軸上方無限地靠近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個冪函數(shù)的圖象最多有三個公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個冪函數(shù)的公共點(diǎn).4．對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

(3)函數(shù)的值域?yàn)?-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函數(shù)為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在(-,-1)，(1,+)上單調(diào)遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型1冪函數(shù)的概念、解析式】【方法點(diǎn)撥】(1)推斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：①指數(shù)為常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1.(2)對于冪函數(shù)過已知的某一點(diǎn)，求冪函數(shù)解析式問題：先設(shè)出冪函數(shù)的解析式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))，再將已知點(diǎn)代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2024春?楊陵區(qū)校級期末）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝axA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2024秋?陽春市校級月考）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)(3，3)，則fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【變式1-2】（2024春?榆林期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【變式1-3】（2024春?廣陵區(qū)校級月考）若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，316)，則函數(shù)A．f(x)=x43 B．f【題型2冪函數(shù)的定義域、值域】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)冪函數(shù)的解析式，可以將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域，再依據(jù)定義域來求冪函數(shù)的值域.【例2】（2024秋?房山區(qū)期末）下列函數(shù)中，值域是R的冪函數(shù)是（）A．y=x13 B．y=(1【變式2-1】（2024秋?呂梁期末）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【變式2-2】（2024秋?廣南縣校級期中）已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)(2，12)，則函數(shù)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【變式2-3】（2024秋?天山區(qū)校級期中）若冪函數(shù)y=(m2-2m-2)x-m2A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【題型3冪函數(shù)的圖象】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)一般冪函數(shù)的圖象特征，對所給的冪函數(shù)解析式或圖象進(jìn)行分析，即可得解；溫馨提示：①若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)確定是原點(diǎn).

②無論為何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，且確定經(jīng)過第一象限，確定不經(jīng)過第四

象限.【例3】（2024秋?成都校級期中）冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【變式3-1】（2024秋?涼山州期末）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y【變式3-2】（2024秋?湖北期末）冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、-13這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，-13，﹣3 B．﹣3，-1C．-13，3，﹣3，13 D．3，13，【題型4比較冪值的大小】【方法點(diǎn)撥】(1)干脆法：當(dāng)冪指數(shù)相同時，可干脆利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較.

(2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時，可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小.

(3)中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同時，不能運(yùn)用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值，從而達(dá)到比較大小的目的.【例4】（2024秋?岳陽期中）設(shè)a=(34)12，A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【變式4-1】（2024秋?武昌區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)y＝xa的圖象過點(diǎn)(3，19)，則下列兩函數(shù)的大小關(guān)系為：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【變式4-2】（2024?湖北開學(xué)）若a=(2)25，b=32A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a(chǎn)＞b＞d＞c【變式4-3】（2024秋?香坊區(qū)校級期中）三個數(shù)a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【題型5利用冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①依據(jù)所給函數(shù)解析式是冪函數(shù)，可列式求出參數(shù)的值；②結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性，進(jìn)行分析，得出滿足條件的參數(shù)值.【例5】（2024秋?張掖期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【變式5-1】（2024春?延吉市校級期末）若函數(shù)y=(m2-3m+3)xA．0 B．1或2 C．1 D．2【變式5-2】（2024秋?凌河區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m-2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【變式5-3】（2024秋?廣陵區(qū)校級月考）冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【題型6利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【方法點(diǎn)撥】利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，推斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，留意分類探討思想的應(yīng)用.【例6】（2024秋?安徽期中）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（13，9），且f（a+1）＜f（2），則aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【變式6-1】（2024秋?迎江區(qū)校級期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實(shí)數(shù)a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【變式6-2】（2024秋?江蘇月考）已知冪函數(shù)