新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3古典概型課后提能訓(xùn)練新人教A版必修第二冊(cè)

第十章10.1A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．(多選)下列是古典概型的有()A．從6名同學(xué)中，選出4人參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【解析】A，B，D為古典概型，因?yàn)槎挤瞎诺涓判偷膬蓚€(gè)特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不為古典概型．故選ABD．2．五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)建的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分．古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類(lèi)元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．若從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，則2類(lèi)元素相生的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)【答案】A【解析】金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝10，2類(lèi)元素相生包含的基本領(lǐng)件有5個(gè)，則2類(lèi)元素相生的概率p＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)．故選A．3．同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則方程2x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】因?yàn)榉匠?x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則共包含36個(gè)樣本點(diǎn)，滿(mǎn)意a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9個(gè)樣本點(diǎn)，所以方程2x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)．故選B．4．(2024年廣安模擬)四川樂(lè)山沙灣區(qū)是一個(gè)人杰地靈的好地方，大文豪郭沫若先生就誕生于此地．樂(lè)山沫若中學(xué)高二(7)班文學(xué)小組的同學(xué)們支配在郭老先生的5部歷史劇《屈原》《鳳凰涅槃》《孔雀膽》《蔡文姬》《高漸離》中，隨機(jī)選兩部排練節(jié)目參與藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，則《鳳凰涅槃》恰好被選中的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【答案】B【解析】記5部歷史劇《屈原》《鳳凰涅槃》《孔雀膽》《蔡文姬》《高漸離》分別為a，b，c，d，e，從5部歷史劇中隨機(jī)選兩部的試驗(yàn)含有的基本領(lǐng)件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個(gè)結(jié)果，《鳳凰涅槃》恰好被選中的事務(wù)A含有的基本領(lǐng)件：ab，bc，bd，be，共4個(gè)結(jié)果，所以《鳳凰涅槃》恰好被選中的概率P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．故選B．5．某部三冊(cè)的小說(shuō)，隨意排放在書(shū)架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊(cè)的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】全部樣本點(diǎn)為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊(cè)包含2個(gè)樣本點(diǎn)，所以p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．故選B．6．(2024年湘潭模擬)如右圖所示的圖形中，每個(gè)三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為20，則稱(chēng)該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為14．現(xiàn)從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(3,20)【答案】B【解析】若該圖形為“和諧圖形”，則另外兩個(gè)三角形上的數(shù)字之和恰為20－14＝6．從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，而其中數(shù)字之和為6的樣本點(diǎn)有(1，5)，(2，4)，共2個(gè)，所以所求概率為eq\f(1,5)．故選B．7．(2024年重慶期末)投擲一枚質(zhì)地勻整的骰子兩次，若第一次向上的點(diǎn)數(shù)小于其次次向上的點(diǎn)數(shù)，則我們稱(chēng)其為正試驗(yàn)；若其次次向上的點(diǎn)數(shù)小于第一次向上的點(diǎn)數(shù)，則我們稱(chēng)其為負(fù)試驗(yàn)；若兩次向上的點(diǎn)數(shù)相等，則我們稱(chēng)其為無(wú)效試驗(yàn)．一個(gè)人投擲該骰子兩次出現(xiàn)無(wú)效試驗(yàn)的概率是()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】連續(xù)拋一枚骰子兩次向上的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，則有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36個(gè)基本領(lǐng)件，設(shè)“出現(xiàn)無(wú)效試驗(yàn)”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6個(gè)基本領(lǐng)件，則P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．8．某一般中學(xué)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)四個(gè)愛(ài)好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自隨機(jī)參與一個(gè)愛(ài)好小組，則這兩位同學(xué)參與不同的愛(ài)好小組的概率為_(kāi)_________．【答案】eq\f(3,4)【解析】甲、乙兩位同學(xué)參與愛(ài)好小組的基本領(lǐng)件總數(shù)為16，甲、乙兩位同學(xué)參與相同的愛(ài)好小組的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為4，故兩位同學(xué)參與不同的愛(ài)好小組的概率p＝1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4)．9．在某學(xué)校圖書(shū)館的書(shū)架上隨意放著編號(hào)為1，2，3，4，5的五本書(shū)，若某同學(xué)從中隨意選出2本書(shū)，則選出的2本書(shū)編號(hào)相連的概率為_(kāi)_________．【答案】eq\f(2,5)【解析】從五本書(shū)中隨意選出2本書(shū)的全部可能狀況為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10種，滿(mǎn)意2本書(shū)編號(hào)相連的全部可能狀況為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4種，故選出的2本書(shū)編號(hào)相連的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．10．一只口袋裝有形態(tài)大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只紅球，2只黃球，從中隨機(jī)摸出2只球，試求：(1)2只球都是紅球的概率；(2)2只球同色的概率；(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的幾倍？解：記兩只白球分別為a1，a2；兩只紅球分別為b1，b2；兩只黃球分別為c1，c2．從中隨機(jī)取2只球的全部結(jié)果為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15種結(jié)果．(1)2只球都是紅球?yàn)?b1，b2)，共1種，故2只球都是紅球的概率p1＝eq\f(1,15)．(2)2只球同色的為(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3種，故2只球同色的概率p2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．(3)恰有1只是白球?yàn)?a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8種，其概率p3＝eq\f(8,15)；2只球都是白球?yàn)?a1，a2)，共1種，故概率p4＝eq\f(1,15)．所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．B級(jí)——實(shí)力提升練11．有一列數(shù)由奇數(shù)組成：1，3，5，7，9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個(gè)數(shù)為1，其次組有2個(gè)數(shù)為3，5，第三組有3個(gè)數(shù)為7，9，11，…，依此類(lèi)推，則從第10組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)【答案】B【解析】由已知可得前九組共有1＋2＋3＋…＋9＝45個(gè)奇數(shù)，則第10組第一個(gè)數(shù)為45×2＋1＝91，第10組有10個(gè)數(shù)分別為91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)為93，99，105．故所求概率p＝eq\f(3,10)．故選B．12．圖1和圖2中全部的正方形都全等，圖1中的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形能?chē)烧襟w的概率是()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．1【答案】A【解析】由題意，可得樣本點(diǎn)的總數(shù)為n＝4，又由題圖1中的正方形放在題圖2中的①處時(shí)，所組成的圖形不能?chē)烧襟w；題圖1中的正方形放在題圖2中的②③④處的某一位置時(shí)，所組成的圖形能?chē)烧襟w，所以將題圖1中的正方形放在題圖2中的①②③④的某一位置，所組成的圖形能?chē)烧襟w的概率p＝eq\f(3,4)．故選A．13．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個(gè)數(shù)k∈A，則冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)的概率為_(kāi)_________．【答案】eq\f(1,4)【解析】集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個(gè)數(shù)k∈A，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝8，冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m＝2，∴所求概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．14．設(shè)a是從集合{1，2，3，4}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，b是從集合{1，2，3}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)(a，b)．記“這些樣本點(diǎn)中，滿(mǎn)意logba≥1”為事務(wù)E，則E發(fā)生的概率是__________．【答案】eq\f(5,12)【解析】事務(wù)E發(fā)生包含的樣本點(diǎn)是分別從兩個(gè)集合中取一個(gè)數(shù)字，共有12種結(jié)果，滿(mǎn)意條件的樣本點(diǎn)是滿(mǎn)意logba≥1，可以列舉出全部的樣本點(diǎn)，當(dāng)b＝2時(shí)，a＝2，3，4，當(dāng)b＝3時(shí)，a＝3，4，共有3＋2＝5(個(gè))，所以依據(jù)古典概型的概率公式得到概率是eq\f(5,12)．15．某校對(duì)2024年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成果(單位：分)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)依據(jù)[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成果的平均分；(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的狀況，由頻率分布直方圖，成果在[50，70)和[70，90)的兩組中，用按比例支配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成果在[50，70)內(nèi)的概率．解：(1)由(0.0050＋0.0050＋0.0075＋0.0200＋a＋0.0025)×20＝1，解得a＝0.01．?dāng)?shù)學(xué)成果在[30，50)的頻率為0.0050×20＝0.1，在[50，70)的頻率為0.0050×20＝0.1，在[70，90)的頻率為0.0075×20＝0.15，在[90，110)的頻率為0.0200×20＝0.4，在[110，130)的頻率為0.0100×20＝0.2，在[130，150]的頻率為0.0025×20＝0.05，故樣本均值為40×0.1＋60×0.1＋80×0.15＋100×0.4＋120×0.2＋140×0.05＝93，據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成果為93分．(2)由題意，得[50，70)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100×0.1＝10，[70，90)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100×0.15＝15，用按比例支配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在[50，70)內(nèi)抽取2人，分別記為A1，