六年級相遇和追及問題(含答案)

相遇和追及問題

一、相遇

甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,B之間這段

路程，如兩人同時出發(fā)，那么

T：甲一乙.

A“BAB

。時刻準備出發(fā)時間t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時間+乙的速度X相遇時間

=（甲的速度+乙的速度）X相遇時間=速度和X相遇時間.

一般地，相遇問題的關系式為：速度和X相遇時間=路程和，即S和二0t

二、追及

有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過一些時間就能追上他.

這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢人多走的路程，也就是要計算

兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時間-乙的速度X追及時間

=（甲的速度-乙的速度）X追及時間

=速度差X追及時間.

一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差X追及時間，即S差

三、在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：

（1）在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同

（2）在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。

□路程=速度和x相遇□口

相遇口□＜速度和=□路程+相遇口□

相遇口口=□路程+速度和

'追及□口=追及路程+速度差

追及口□＜追及路程=速度差X追及口口

速度差=追及路程+追及□口

能夠解決行程中復雜的相遇與追及問題

能夠畫出多人相遇和追及的示意圖并將問題轉化多個簡單相遇和追及環(huán)節(jié)進行解題

能夠利用柳卡圖、比例解決多次相遇和追及問題

一\相遇和追及

【例1】在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以90千米/小時的速度行駛，后面一輛汽車以108千米/

小時的速度行駛.后面的汽車剎車突然失控，向前沖去（車速不變）.在它鳴笛示警后5秒鐘撞上

了前面的汽車.在這輛車鳴笛時兩車相距多少米？

【鞏固】乙二人同時從A地去5地，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行90米，乙到達3地后立即返回，并與

甲相遇，相遇時，甲還需行3分鐘才能到達3地，A、3兩地相距多少米？

【例2】甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發(fā)，沿同一山道行進。兩人的上山速度都是20米/分，下山

的速度都是30米/分。甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息30分鐘后返回，兩人在距山頂480

米處再次相遇。山道長米。

【鞏固】小張和小王早晨8點整同時從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時6。千米.小王步行，速

度為每小時4千米.如果小張到達乙地后停留1小時立即沿原路返回，恰好在10點整遇到正在前往乙

地的小王.那么甲、乙兩地之間的距離是千米.

【例3】如圖，A、3是一條道路的兩端點，亮亮在A點，明明在3點，兩人同時出發(fā)，相向而行.他

們在離A點100米的C點第一次相遇.亮亮到達3點后返回A點，明明到達A點后返回5點，

兩人在離5點80米的。點第二次相遇.整個過程中，兩人各自的速度都保持不變.求A、3間

的距離.要求寫出關鍵的推理過程.

【鞏固】甲、乙二人同時分別從A、5兩地出發(fā)，相向勻速而行.甲到達3地后立即往回走，乙到達A地

后也立即往回走.已知他們第一次相遇在離A,3中點2千米處靠3一側，第二次相遇在離A地4千

米處.A、3兩地相距多少千米？

【例4］（這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個問題，當時蘇步青教授在德國

訪問，一位有名的德國數學家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時出發(fā)，相對

而行，兩地相距100里，甲每小時走6里，乙每小時走4里.如果甲帶一只狗，和甲同時出發(fā)，

狗以每小時10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到

甲乙兩人相遇時狗才停住.這只狗共跑了多少里路？

【鞏固】在一次宴會上，一位客人給著名的數學大師、“計算機之父”馮?諾伊曼先生出了一個蜜蜂問題：

兩列火車相距10°英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時5。英里.火車A的前端有一只蜜蜂

以每小時100英里的速度飛向火車3,遇到火車8以后.立即回頭以同樣的速度飛向火車A,遇到火

車A后，又回頭飛向火車3,速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車相遇時才停止.假設蜜蜂

回頭轉身的時間忽略不計，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？

【例5】甲、乙兩地之間有一條公路.李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時張平從乙地出發(fā)騎摩托車去甲地，

80分鐘后兩人在途中相遇.張平到達甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經過20分鐘在

途中追上李明.張平到達乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去.問：當李明到達乙地時，張

平共追上李明多少次？

【鞏固】一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時行54千米.汽車每小時行48千

米.兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進，摩托車到乙地立即返回.汽車到甲地立即返回.兩車在距

離中點108千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？

二、多人相遇和追及

【例6】甲、乙、丙三人，他們的步行速度分別為每分鐘480、540、720米，甲、乙、丙3人同時動身,

甲、乙二人從A地出發(fā)，向8地行時，丙從8地出發(fā)向A地行進，丙首先在途中與乙相遇，3

分鐘后又與甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多長時間？

【鞏固】甲乙丙三人沿環(huán)形林蔭道行走，同時從同一地點出發(fā)，甲、乙按順時針方向行走，丙按逆時針方

向行走。已知甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，1小時后甲、丙二人相遇，又過了10分鐘，丙

與乙相遇，問甲、丙相遇時丙行了多少千米？

【例7】甲、乙、丙三人，甲每分鐘走40米，丙每分鐘走60米，甲、乙兩人從A、B地同時出發(fā)相向而

行，他們出發(fā)15分鐘后，丙從B地出發(fā)追趕乙。此后甲、乙在途中相遇，過了7分鐘甲又和丙

相遇，又過了63分鐘丙才追上乙，那么A、8兩地相距多少米？

【鞏固】甲、乙兩人從相距490米的A、3兩地同時步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時從A出發(fā)，在甲、

乙二人之間來回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）.已知丙每分鐘跑240米，甲每分鐘走40

米，當丙第一次折返回來并與甲相遇時，甲、乙二人相距210米，那么乙每分鐘走米；甲下

一次遇到丙時，甲、乙相距米.

【例8】張、李、趙3人都從甲地到乙地.上午6時，張、李兩人一起從甲地出發(fā)，張每小時走5千米,

李每小時走4千米.趙上午8時從甲地出發(fā).傍晚6時，趙、張同時達到乙地.那么趙追上李的

時間是幾時？

【鞏固】甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)后6分甲車超過了一名長跑運動員，2分后乙

車也超過去了，又過了2分丙車也超了過去。已知甲車每分走1000米，乙車每分走800米，丙車每分

鐘走多少米？

【例9】甲、乙、丙三車同時從A地沿同一公路開往2地，途中有個騎摩托車的人也在同方向行進，這

三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎摩托車人。已知甲車每分鐘行1000米，丙車每分

鐘行800米，求乙速車的速度是多少？

【鞏固】快、中、慢3輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人.這3輛車分別用6

分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人.現在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，

慢車每小時走多少千米？

【例10］快、中、慢三輛車同時同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、9分、

12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為60千米/時和40千米/時，求中速車的速度。

【鞏固】A,B兩地相距105千米，甲、乙兩人分別騎車從A,B兩地同時相向出發(fā)，甲速度為每小時40

千米，出發(fā)后1小時45分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎.在他們相遇3分鐘后，甲

與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在C地追上乙.若甲以每小時20千米的速度，乙以每小時比原速度

快2千米的車速，兩人同時分別從A,B出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在C點相遇，問丙的車速是多

少？

三、多次相遇和追及

【例11】甲、乙兩名同學在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑3.5米,

乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？

【孤固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘

甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米?

【例12】甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，不停的往返行駛于A,B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快,

并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在

D點第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？

【例13】甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進

到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4

千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相

遇地點之間的距離.

【例14】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途

中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開

來的輪船？

【孤固】一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站,

全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到

達乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他

從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例15］如圖，學校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑，兩人同時從兩跑

道的交點A處出發(fā)，當他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？

【孤固】下圖中有兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從A點

出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首

次相距最遠？

【隨練1】自行車隊出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點9千米處追上了自行車隊，

然后通信員立即返回出發(fā)點；隨后又返回去追自行車隊，再追上時恰好離出發(fā)點18千米，求自

行車隊和摩托車的速度.

【隨練2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行，6時后相遇。如果二人的速度各增加1千

米/時，那么相遇地點距前一次相遇地點1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

【隨練3】甲、乙兩車同時從A、8兩地相對亦開出，兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車繼

續(xù)行駛，各自達到8、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則A、B

兩地間的距離是千米。

【隨練4】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小

紅的速度為4米/秒.他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時間內，他們迎面相

遇了多少次？

【作業(yè)1】池塘周圍有一條道路.A、B、C三人從同一地點同時出發(fā).A和3往逆時針方向走，C往

順時針方向走.A以每分鐘80米、B以每分鐘65米的速度行走.c在出發(fā)后的20分鐘遇到A,

再過2分鐘，遇到8.請問，池塘的周長是幾米？

【作業(yè)2】一條路上有東、西兩鎮(zhèn).一天，甲、乙、丙三人同時出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西

鎮(zhèn)向東而行，當甲與丙相遇時，乙距他們20千米，當乙與丙相遇時，甲距他們30千米.當甲到

達西鎮(zhèn)時，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，那么當丙到達東鎮(zhèn)時，乙距西鎮(zhèn)千米.

【作業(yè)3】A、3兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到3地，乙騎摩托車從3地出發(fā)，不停地往返

于A、3兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，

問：當甲到達3地時，乙追上甲幾次？

7

【作業(yè)4】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的三，二人相遇后繼續(xù)行進,

3

甲到3地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米,

那么，A、5兩地相距千米.

【作業(yè)5】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第

一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的

距離為千米.

【作業(yè)6】A,B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是到達一地之后立即

返回，乙車較甲車快。設兩輛車同時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到

兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【作業(yè)7】甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6

米.如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

【作業(yè)8】A、8兩地位于同一條河上，8地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從8地同時出

發(fā)，相向而行，甲船到達2地、乙船到達A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且

兩船在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是

米/秒.

【作業(yè)9】A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從8地同時出發(fā)，在A、B間往返長跑。甲每分鐘跑

300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動。甲、乙兩人在第幾次相遇時A地最近？最

近距離是多少米？

【作業(yè)10]A、8兩地相距950米。甲、乙兩人同時由A地出發(fā)往返鍛煉半小時。甲步行，每分鐘走40

米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第次迎面相遇時距3地最近。

學生對本次課的評價

。特別滿意。滿意。一般

家長意見及建議

家長簽字:

四'相遇相遇和追及問題

甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實歷上是甲和乙一起走了A,B之間這段

路程，如果兩人同時出發(fā)，那么

手孑甲.乙

ABAB

。時刻準備出發(fā)時間t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時間+乙的速度X相遇時間

=（甲的速度+乙的速度）X相遇時間=速度和X相遇時間.

一般地，相遇問題的關系式為：速度和X相遇時間=路程和，即5和=%,

五'追及

有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.

這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走路程，也就是要計算

兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時間-乙的速度X追及時間

=（甲的速度-乙的速度）X追及時間

=速度差X追及時間.

一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差X追及時間，即震=嗎’

六、在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：

（1）在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行時間相同

（2）在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。

□路程=速度和x相遇口口

相遇口□＜速度和=□路程+相遇口□

相遇口口=□路程+速度和

'追及□口=追及路程+速度差

追及口□＜追及路程=速度差X追及口口

速度差=追及路程一追及□口

能夠解決行程中復雜的相遇與追及問題

能夠畫出多人相遇和追及的示意圖并將問題轉化多個簡單相遇和追及環(huán)節(jié)進行解題

能夠利用柳卡圖、比例解決多次相遇和追及問題

一\相遇和追及

【例16】在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以90千米/小時的速度行駛，后面一輛汽車以108千米/

小時的速度行駛.后面的汽車剎車突然失控，向前沖去（車速不變）.在它鳴笛示警后5秒鐘撞上

了前面的汽車.在這輛車鳴笛時兩車相距多少米？

【考點】行程問題【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】第二屆，走美杯

【解析】這是一道''追及問題根據追及問題的公式，追及時間=路程差+時間差.由題意知，追及時

間為5秒鐘，也就是5+（60x60）小時，兩車相距距離為路程差，速度差為108-90=18（千米/時），

也就是18x1000米/時，所以路程差為：18x1000x5+（60x60）=90000+3600=25（米），所以，

在這輛車鳴笛時兩車相距25米.

【答案】25米

【鞏固】乙二人同時從A地去3地，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行90米，乙到達3地后立即返回，并與

甲相遇，相遇時，甲還需行3分鐘才能到達3地，A、3兩地相距多少米？

【考點】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】相遇時甲走了距離減去60x3=180（米），乙走了45距離加上180米，乙比甲多走了360米，

這個路程差需要360+（90-60）=12（分鐘）才能達到，這12分鐘兩人一共行走了12x（90+60）

=1800米.所以距離為1800+2=900米.

【答案】900米

【例17】甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發(fā)，沿同一山道行進。兩人的上山速度都是20米/分，下山

的速度都是30米/分。甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息30分鐘后返回，兩人在距山頂480

米處再次相遇。山道長米。

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】2008年，第六屆，走美杯，決賽

【解析】甲、乙兩人相遇后如果甲繼續(xù)行走480+20=24（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么

這個時候乙應該到達山腳，所以這個時候乙還需要30分鐘到達山腳，也就是距離山腳還有

30x30=900（米），所以山頂到山腳的距離為900+24x（20+30）=900+1200=2100（米）。

【答案】2100米

【鞏固】小張和小王早晨8點整同時從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時6。千米.小王步行，速

度為每小時4千米.如果小張到達乙地后停留1小時立即沿原路返回，恰好在10點整遇到正在前

往乙地的小王.那么甲、乙兩地之間的距離是千米.

【考點】行程問題【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】北京市，2006年，迎春杯

【解析】因為小張和小王相遇時恰好經過了兩個甲地到乙地的距離，而這個過程中小張開車1個小時，小

王步行2個小時，他們一共所走的路程是：60x1+4x2=68（千米），所以甲、乙兩地之間的距離

是：68+2=34（千米）.

【答案】34千米

【例18］如圖，A、3是一條道路的兩端點，亮亮在A點，明明在3點，兩人同時出發(fā)，相向而行.他

們在離A點：100米的C點第一次相遇.亮亮到達3點后返回A點，明明到達A點后返回3點，

兩人在離6點80米的。點第二次相遇.整個過程中，兩人各自的速度都保持不變.求A、3間

的距離.要求寫出關鍵的推理過程.

IA100米Y|280米Y~|

ACDB

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】第九屆，中環(huán)杯

【解析】第一次相遇，兩人共走了一個全程，其中亮亮走了100米，從開始到第二次相遇，兩人共走了三

個全程，則亮亮走了100x3=300（米）.亮亮共走的路程為一個全程多80米，所以道路長

300-80=220（米）.

【答案】220米

【鞏固】甲、乙二人同時分別從人、3兩地出發(fā)，相向勻速而行.甲到達3地后立即往回走，乙到達A地

后也立即往回走.已知他們第一次相遇在離A,3中點2千米處靠3一側，第二次相遇在離A地

4千米處.A、3兩地相距多少千米？

甲>-------------1

A—4------------------------------------------B

一乙

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽

【解析】如圖所示，兩人第一次相遇，合走一個全程，兩人第二次相遇，合走三個全程.而兩人速度不變，

這說明第二次相遇所用的時間是第一次相遇所用時間的3倍.因此，甲在第二次相遇所走的路程

是第一次相遇所走路程的3倍.第一次相遇時，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇時，

他應該走了3個半個全程多6千米，而實際他走了2個全程差4千米，即4個半個全程差4千米.因

此，半個全程長6+4=10（千米），A、3兩地相距10x2=20（千米）.

【答案】20千米

【例19］（這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個問題，當時蘇步青教授在德國

訪問，一位有名的德國數學家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時出發(fā)，相對

而行，兩地相距100里，甲每小時走6里，乙每小時走4里.如果甲帶一只狗，和甲同時出發(fā)，

狗以每小時10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到

甲乙兩人相遇時狗才停住.這只狗共跑了多少里路？

【考點】行程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】只從狗本身考慮，光知道速度，無法確定跑的時間.但換個角度，狗在甲乙之間來回奔跑，狗從

開始到停止跑的時間與甲乙二人相遇時間相同.由此便能求出答案.狗一共跑了100+（6+4）=10

（小時）所以狗跑的距離為10*10=100（千米）

注：有時我們遇到的應用題往往無法用直接的方法列式解決，甚至看起來好像條件不足.這個時

候我們就需要停下來問問自己：是否應該換個角度思考？嘗試這樣思考，一方面能讓我們對一些

原本無法解答的題目豁然開朗，更可以讓自己的頭腦在鍛煉中變得越來越聰明.

【答案】100千米

【鞏固】在一次宴會上，一位客人給著名的數學大師、“計算機之父”馮?諾伊曼先生出了一個蜜蜂問題：

兩列火車相距100英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時5。英里.火車A的前端有一只

蜜蜂以每小時100英里的速度飛向火車3,遇到火車3以后.立即回頭以同樣的速度飛向火車A,

遇到火車A后,又回頭飛向火車B,速度始終保持不變,如此下去,直到兩列火車相遇時才停止.假

設蜜蜂回頭轉身的時間忽略不計，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】因為兩列火車相距100英里，以每小時50英里的速度相向而行.所以，他們相遇時所經過的時間

是1小時，而蜜蜂在這段時間內，不停地在兩列火車之間往返飛行，蜜蜂飛行的全部時間正好是

兩行火車相遇的時間，所以，蜜蜂在這1小時內，正好飛行了100英里.

【答案】100英里

【例20］甲、乙兩地之間有一條公路.李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時張平從乙地出發(fā)騎摩托車去甲地，

80分鐘后兩人在途中相遇.張平到達甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經過20分鐘在

途中追上李明.張平到達乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去.問：當李明到達乙地時，張

平共追上李明多少次？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】我們希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的時間，進而確定整個過程的進展，并得

到答案.但知道這些并不夠.應先分析什么是''追上”.如圖，當兩人經過80分鐘相遇時，兩人

所走的路程之和恰是甲乙兩地指間的距離，因此兩人才能相遇.如圖所示：

甲相遇第一次追上

<—>"B乙

A——I----------------------------------------|B

C——張平

李明

第一次追上就是張平比李明多走了一個甲、乙兩地距離.這用了80+20=100分鐘.以此類推，

第二次相遇的情況從圖上可以看出來，使張平比李明多走了3個甲、乙之間距離；第三次相遇，

是張平比李明多走了5個甲乙之間距離……所以，知道了張平的速度是李明的幾倍，也就知道在

李明走完一個甲乙之間距離的時候，張平走了幾個甲乙之間距離，他比李明多走了幾個.這樣就

可求出當李明到達乙地時，張平追上了他幾次.C是兩人相遇地點，。是張平第一次追上李明的

地點.要分析如何求出兩人速度的倍數關系.在從相遇到第一次追上這20分鐘內，張平從C走

到A再走到D,即C4+AO.C4也就是AC,是李明相遇前的路程，即李明80分鐘走的；AD

是李明第一次被追上時已走的路程，即他80+20=100分鐘走的.因此，張平20分鐘走的路程

AC+AD,是李明80+100=180分鐘走的，也就是說，張平的速度是李明的9倍.當李明從甲到

乙時，張平走了9個這樣的距離，即比李明多走了8個從甲到乙的距離.比李明多走1個AB時，

張平第一次追上李明；多走3個時，第二次追上；多走5個時，第三次追上；多走7個時，第四

次追上.綜上所述，在李明從甲到乙的過程中，一共被張平追上4次.

【答案】追上4次

【鞏固】一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時行54千米.汽車每小時行48千

米.兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進，摩托車到乙地立即返回.汽車到甲地立即返回.兩車

在距離中點1°8千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】第二次相遇距中點108千米，說明兩車共有108x2=216（千米）的路程差，由此可知兩車共行駛

T：216+（54-48=3”小時）.又因為第二次相遇兩車共走了三個全程，所以走一個全程用

36+3=12（小時）.這樣可以求出甲乙兩地的路程是：（54+48）x12=1224（千米）.

【答案】1224千米

二'多人相遇和追及

【例21】甲、乙、丙三人，他們的步行速度分別為每分鐘480、540、720米，甲、乙、丙3人同時動身,

甲、乙二人從A地出發(fā)，向B地行時，丙從B地出發(fā)向A地行進，丙首先在途中與乙相遇，3

分鐘后又與甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多長時間？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：乙與丙相遇時，乙比甲多行的距離可供丙、甲相向而行行3分鐘的時間，這段距離為

（480+720）x3=3600（米），3600-（540-480）=60（分），/、8之間的距離為

（720+540）x60=75600（米），行完全程甲、乙、丙需要的時間分別如下：

甲75600+480=157.5（分）

乙75600+540=140（分）

丙75600+720=105（分）

方法二：丙與乙相遇時，各行了［（480+720）x3卜（540-480）=60（分），速度與時間成反比，所

540770

以，丙行完全程需要60+60*——=105（分）；乙行完全程需要105*—=157.5（分）.

720480

方法三：丙與乙相遇時，乙比甲多行了（720+480）x3=3600（米）；丙比甲多行了

720-480

3600x=14400（米），所以4地與8地之間的距離為

540-480

480x（540-480）x2+3600+14400=75600（米）.

行完全程甲、乙、丙需要的時間分別如下：

甲75600+480=157.5（分）

乙75600+540=140（分）

丙75600+720=105（分）

【答案】甲157.5分；乙140分；丙105分

【鞏固】甲乙丙三人沿環(huán)形林蔭道行走，同時從同一地點出發(fā)，甲、乙按順時針方向行走，丙按逆時針方

向行走。已知甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，1小時后甲、丙二人相遇，又過了10分鐘,

丙與乙相遇，問甲、丙相遇時丙行了多少千米？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：出發(fā)1小時后甲、丙相遇，這時甲領先乙（7-5）xl=2千米；10分鐘后丙、乙相遇，相

向而行共行了2千米，其中乙行了5x^=9千米，丙行了2一*=1千米，丙每小時行2登2_=7

6066660x10

千米，所以甲、丙相遇時，丙行了7x1=7千米。

方法二：丙1小時10分鐘（與乙相遇）行的距離與1小時（與甲相遇）行的距離之差恰好等于

甲1小時行的距離之差，所以丙的速度等于17xl-5x8]/四-1]=7千米/小時，丙與甲相遇

I60J（60）

時，丙行了7x1=7千米。

【答案】7千米

【例22】甲、乙、丙三人，甲每分鐘走40米，丙每分鐘走60米，甲、乙兩人從A、B地同時出發(fā)相向而

行，他們出發(fā)15分鐘后，丙從8地出發(fā)追趕乙。此后甲、乙在途中相遇，過了7分鐘甲又和丙

相遇，又過了63分鐘丙才追上乙，那么A、8兩地相距多少米？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據題意可知，（40+60）X7=700（米），700+（63+7）=10（米/分），乙的速度為50米/分，

（15X50-700）+10=5（分），（40+50）X（15+5）=1800（米）

【答案】1800米

【鞏固】甲、乙兩人從相距490米的人、3兩地同時步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時從A出發(fā)，在甲、

乙二人之間來回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）.已知丙每分鐘跑240米，甲每分鐘

走40米，當丙第一次折返回來并與甲相遇時，甲、乙二人相距210米，那么乙每分鐘走

米；甲下一次遇到丙時，甲、乙相距米.

【考點】行程問題【難度】4星【題型】填空

【解析】如圖所示：

ADECB

I________I_______________I_____I_______J

甲----------?----------------乙

丙--------------------------------------

假設乙、丙在C處相遇，然后丙返回，并在。處與甲相遇，此時乙則從走C處到E處.根據題

意可知DE=210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同時間內丙跑的路程是甲走的路程

的6倍，也就是從A到C再到。的長度是AD的6倍，那么CD=（6A?！狝D）+2=2.5A。，

AC=3.5AD,可見CD=9AC.那么丙從C到。所用的時間是從A到C所用時間的9,那么這

77

段時間內乙、丙所走的路程之和（CD加CE）是前一段時間內乙、丙所走的路程之和（AC加3C,

即全程）的2,所以CD+CE=490X2=350,而CD-CE=DE=210,可得CD=280,CE=70.

77

相同時間內丙跑的路程是乙走的路程的280+70=4倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙

的速度為240+4=60（米/分），即乙每分鐘走60米.

當這一次丙與甲相遇后，三人的位置關系和運動方向都與最開始時相同，只是甲、乙之間的距離

改變了，變?yōu)樵瓉淼亩?三，但三人的速度不變，可知運動過程中的比例關系都不改變，那么

4907

aa

當下一次甲、丙相遇時，甲、乙之間的距離也是此時距離的二，為210*3=90米.

77

【答案】90米

【例23】張、李、趙3人都從甲地到乙地.上午6時，張、李兩人一起從甲地出發(fā)，張每小時走5千米,

李每小時走4千米.趙上午8時從甲地出發(fā).傍晚6時，趙、張同時達到乙地.那么趙追上李的

時間是幾時？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】甲、乙之間的距離：張早上6時出發(fā)，晚上6時到，用了12小時，每小時5千米，所以甲、乙

兩地距離5x12=60千米。趙的速度：早上8時出發(fā)，晚上6時到，用了10小時，走了60千米，

每小時走60+10=6千米。所以，趙追上李時用了：4x2+（6-4）=4小時，即中午12時。

【答案】中午12時

【鞏固】甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)后6分甲車超過了一名長跑運動員，2分后乙

車也超過去了，又過了2分丙車也超了過去。已知甲車每分走1000米，乙車每分走800米，丙

車每分鐘走多少米？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據題意可知，甲車走了1000X6=6000米

乙車走了800X8=6400米

長跑運動員的速度（6400-6000）+2=200米/分

丙車速度（200X2+6400）+10=680米/分

【答案】680米/分

【例24】甲、乙、丙三車同時從A地沿同一公路開往8地，途中有個騎摩托車的人也在同方向行進，這

三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎摩托車人。已知甲車每分鐘行1000米，丙車每分

鐘行800米，求乙速車的速度是多少？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】甲與丙行駛7分鐘的距離差為：（1000-800）X7=1400（米），也就是說當甲追上騎摩托車人的

時候，丙離騎摩托車人還有1400米，丙用了14-7=7（分）鐘追上了這1400米，所以丙車和騎摩

托車人的速度差為：1400+（14-7）=200（米/分），騎摩托車人的速度為：800-200=600（米

/分），三輛車與騎摩托車人的初始距離為：（1000—600）X7=2800（:米），乙車追上這2800米

一共用了8分鐘，所以乙車的速度為：28004-8+600=950（米/分）。

【答案】950米/分

【鞏固】快、中、慢3輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人.這3輛車分別用6

分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人.現在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，

那么，慢車每小時走多少千米？

【考點】行程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】快車追上騎車人時，快車（騎車人）與中車的路程差為（24+60-20-60）x6=0.4（千米），中車

追上這段路用了10-6=4（分鐘），所以騎車人與中車的速度差為10-6=4（千米/小時）.則騎車

人的速度為10-6=4（千米/小時），所以三車出發(fā)時與騎車人的路程差為10-6=4（千米）.慢車

與騎車人的速度差為10—6=4（千米/小時），所以慢車速度為14+5=19（千米/小時）.

【答案】19千米/小時

【例25］快、中、慢三輛車同時同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、9分、

12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為60千米/時和40千米/時，求中速車的速度。

【考點】行程問題【難度】3