高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

L1.1.U集合的含義與表示

(I)集合的概念

集合中的泉素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是ae",或者a定M,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛%|3具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(l)ACA

A^B

A中的任一元素都屬⑵0=A

子集(或

于B(3)若A=B且B=則A=C

B^A)

(4)若AqB且則A=B或

(1)0uA(A為非空子集)

ACB

*AoB,aB中至少工

真子集

⑵若AuB且3uC,則AUC

(或BnA)有一元素不屬于AH工工

?

A中的任一元素都屬

集合(l)AOB

于B,B中的任一元素

相等A=B(2)BOA

都屬于A

(7)已知集合4有〃(〃21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"—1個(gè)真子集，有2"-1個(gè)非空子集，它有2"-2非空真子

集.

(8)交集、3F集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(1)AA=A

A且(2)A0=0

交集AB

x^B}(3)AB=A

AB=B

(1)AA=A

A或(2)A0=A

并集AB

x^B](3)AB衛(wèi)A

AB?B

1A@A)=02A&A)=U

旗48)=(°A)(?B)

補(bǔ)集心AA}y%Q

瓶A8)=(”A)&B)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

<1)含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0)[x\-a<x<a]

|x\>a(a>0)

把a(bǔ)r+匕看成一個(gè)整體，化成|x|<a,

Icix+b\<c,\ax+b\>c(c>0)|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

△="一4。。A>0A=()A<0

4\uJ

二次函數(shù)\

y=ax2+bx+c(a>0)

0“產(chǎn)

的圖象20

一元二次方程-b+y/b2-4ac

2%=一工一b

ax+bx+c=0(a>0)芭二二一不一無實(shí)根

W2a

的根(其中％<馬)

ax2+bx+c>0(。>0),b、

｛了|X<%或不>冗2｝3tx^——}R

的解集2a

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\x[<x<x2]00

的解集

【1.2.1］函數(shù)的概念(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的

數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,B以及A到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)。力是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<6,滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［。,勿；滿足a<x<〃的實(shí)數(shù)x的

集合叫做開區(qū)間，記做他力)；滿足或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a/),

(a,b］；滿足》2。,%>。,1<6,》<)的實(shí)數(shù)》的集合分別記做［。,+00),3,+00),(—0。,勿,(一0。,。).

注意：對(duì)于集合｛x|a<x<b｝與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須a<b.

求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/(X)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(X)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

冗

⑤y=tanx中，k7r+—(k&Z).

⑥零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若/(無)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)椋踑,回，其復(fù)合函數(shù)/［g(x)］的定義域應(yīng)由不等

式g(x)<人解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)

數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常

用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于光的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,則在

a(y)/O時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有A=〃(y)—4a(y)?c(y)20,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

［1.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：

就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

<6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯一的元素和它對(duì)

應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射，記作/:A73.

②給定一個(gè)集合A到集合3的映射，且如果元素a和元素。對(duì)應(yīng)，那么我們把元素人叫做元素a的象,

元素a叫做元素人的原象.

［1.3.1］單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某]i(1)利用定義

y=f(

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)利用已知函數(shù)的

的值Xi、X2,當(dāng)Xi<￡時(shí)，，都y單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(xi)<f(x?),那么就說

f(X,)某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單邑藜.

象上升為增)

函數(shù)的X,XA2AX(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

)y=f(X)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某(2)利用已知函數(shù)的

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量

f(x.)單調(diào)性

的值Xi、X2，當(dāng)小學(xué)時(shí)，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(Xl)>f(X?)，那么就說某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是演更數(shù).象下降為減)

[)

X\x,x(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去

_一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)了=f［g(x)］，令〃=8(%)，若y=fQ)為增，〃=g(x)為增，則y=1ng于)］為增;若5=/(?)

為減,u=g(x)為減，則y=為g(x)］為增；若y=f(u)為增，"=g(x)為減，則y=為g(x)］為減;若y=f(u)

為減，a=g(x)為增，則y=/［g(x)］為減.

(2)打“函數(shù)/(x)=x+—(a>0)的圖象與性質(zhì)

xyM

/(x)分別在(T?,-五］、［血,+oo)上為增函數(shù)，分別在［-4,0)、(0,血］上為

減函數(shù).a

(3)最大(小)值定義/(x)=x+-(a>0)

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于/

任意的xeI,都有f(x)<M；2.

(2)存在使得〃.那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最

大值，記作篇x(x)=/-0°品

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有

/(x)2根：⑵存在/e/,使得/a。)=m.那么，我們稱加是函數(shù)/(x)的最小0值,

記作/^(幻=機(jī)./

【1.3.2］奇偶性/

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及羋定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)V(1)利用定義(要先

任意一個(gè)X,都有f(—x)=y(a,f(a))判斷定義域是否關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱)

函數(shù)的“心那么函數(shù)f(x)叫做奇學(xué)

-a「一(2)利用圖象(圖象

奇偶性數(shù).oax

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(-a.f(~a))

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)y(1)利用定義(要先

任意一個(gè)x,都有f(yx)=f(x),判斷定義域是否關(guān)于

(a,f(a))

那么函數(shù)f(x)叫做假喀里(-a.f(-a)).原點(diǎn)對(duì)稱)

(2)利用圖象(圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱)

-aoax

②若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)

是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識(shí)》函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式:

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性);④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

-y-=J/('x)'―〃v0,右移川個(gè)單位J=/。+力)y-/(X)-攵i<解0,下W移既I川祟個(gè)魯單位告一>Jy=J/\(X/)4-k

②伸縮變換

y=f(x)0v洲，伸

0>1,縮

y=f(x)0<A<l,縮>y=Af(x)

A>1,伸

③對(duì)稱變換

y=/(x)叫y=-/(%)y=/(x)^'—>y=/(-x)

y=/(x)

去掉)，軸左邊圖象

y=/(x)?y=/(|x|)

保留,軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖象

v-f(Y)保留X軸上方圖象)_|f(x\I

y_J⑺將謝下方圖象翻折上去,yt八町?

(2)識(shí)圖

諭于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、

奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要

工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

(1)根式的概念

①如果x"R,〃>1,且〃wNf,那么x叫做a的“次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，a的"次方根用符號(hào)

后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的〃次方根用符號(hào)〃'表示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)一標(biāo)表示；o的〃次方根是0；

負(fù)數(shù)a沒有〃次方根.

②式子板叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a>0.

a(a>0)

③根式的性質(zhì)：(標(biāo))"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，府=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=\a\=<

-a(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：=痂3>0,加,〃eN+，且〃>1).o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)慕等于0.

m

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：a~'==M(上)'"(a>0,m,〃eN+，且">1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒有

aVa

意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

①優(yōu)?a'=ar+x(a>0,r,seR)②(")'=ars(a>0,r,seR)

③(ab\=arbr(a>0,b>0,re/?)

(4)洞數(shù)函數(shù)

|函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a'(a>0且a工1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>l0<a<l

y11y=ax/\y=ax'y

圖象

7=1^^

J=I(0,1)

rnn

定義域R

------------------------*

值域0>(0,+℃)n

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)布,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.X

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

屋>1(x>0)ax<\(x>0)

函數(shù)值的ax=1(x=0)ax=\(x=0)

變化情況

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

4變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

K2.23對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若a"=N(a>0,且aN1),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log?No優(yōu)=N(a>0,aw1,N〉0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log“1=0,log“a=\,log?ab=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即logioN；自然對(duì)數(shù)：InN,即log?N(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,aWl,例>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log"N=log”(MN)②減法：log”M-loguN=log(,—

M

③數(shù)乘：n]oguM=log(,M(nG/?)④產(chǎn)，N=N

；7logN

⑤logM"=-\ogaM3工0,〃eR)⑥換底公式：log.N=——--(h>0,且Z?豐1)

"hlog/,a

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

數(shù)

函

稱

名對(duì)數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=logax(a>0且a/1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<a<1

I,x=lix=l

yy=log.*y'y=I%x

klu

圖象

\：(1,0)

Kx

0/!d,o)x0

定義域/；(0,+8)!、

值域1'R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+QO)上是增函數(shù)在(0,4-00)上是減函數(shù)

logax>0(x>l)logaX<0(x>l)

函數(shù)值的log,,x=0(x=l)logx=0(x=l)

變化情況a

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，〃越大圖象越靠低；在第匹象限內(nèi)，。越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=/(x)中解出x,得式子x=°(y).如果對(duì)于y在C中

的任何一個(gè)值，通過式子x=°(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=e(y)表示x是y的函數(shù)，函

數(shù)x=G(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=f~\y),習(xí)慣上改寫成y=f~\x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x-改寫成y=1'(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)與反函數(shù)y=f~\x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(aS)在原函數(shù)丁=/(x)的圖象上，則尸’3,。)在反函數(shù)曠=fT(x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x“叫做黑函數(shù)，其中x為自變量，。是常數(shù).

若〃為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x'是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則^=工'是偶函數(shù)，若〃為偶數(shù),為奇數(shù)時(shí)，則

旦

y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：寤函數(shù)y=x"，xe(0,+8),當(dāng)a>l時(shí)，若0cx<1,其圖象在直線y=x下方，若x>l,其圖象在直

線y=x上方，當(dāng)e<l時(shí)，若0cx<1,其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線y=x下方.

工補(bǔ)充知識(shí)》二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(尤)=0x2+hx+c(awO)②頂點(diǎn)式：/(為=。。-/?)?+k(awO)③兩根式:

/(X)=a(x-x,)(x-x2)(?*0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a*0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=——，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(——,——--).

2a2a4a

bbb

②當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(一0。,——］上遞減，在［——，+8)上遞增，當(dāng)%=——時(shí)，

2a2a2a

2

一/、4ac-b八zb,rbb

fminM=---------：當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(一8,——］上遞增，在［——，+8)上遞減，當(dāng)X二——

4。2a2a2a

Aac-b2

時(shí)，/nax(X)

4a

③二次函數(shù)/0)=0%2+次+。(。7())當(dāng)公=方:-4。。＞0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

瓜

M。,。)也的0),|MM小口喘.

(4)一元二次方程依2+法+。=0(4#0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解

決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來

分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(ax0)的兩實(shí)根為為，々，且X1〈X2.令，(x)=ax2+Ox+c,從以下四個(gè)方面

b

來分析此類問題：①開口方向：a②對(duì)稱軸位置：x=——③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

2。

④kiSx?<ki<=>

⑤有且僅有一個(gè)根x,(或滿足(或M)<k，<=>fgfg<0,并同時(shí)考慮/G)=o或/(他)=0這兩種

情況是否也符合

@fcl<X1<fe^pi<Xz<pt<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=?%2+/>x+c(awO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(X)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令x()=g(p+q).

(I)當(dāng)。>0時(shí)(開口向上)

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)丁=f(x)(xe￡)),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)丁=/(x)(xe￡))的

零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(幻=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象與X軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)。即：

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=于(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根：

?(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零

點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+hx+c(a聲0).

1)△>0,方程內(nèi)：2+法+。=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=0,方程分2+法+。=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與X軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一

個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)△<o,方程+版+c=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

3圓錐的表面積5=加./+討2

2圓柱的表面積2

4圓臺(tái)的表面積5=嬴跖5t+赧/+成2

5球的表面積S=4成~

(-)空間幾何體的體積

2錐體的體積丫=：5底*/2

1柱體的體積V=S底X〃

3臺(tái)體的體積4球體的體積V=-7rR^

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45",且橫邊畫成鄰邊的2

倍長(zhǎng)(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、6、丫等表示，如平面a、平面6等，也可以用表示平面的平行四

邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號(hào)表示為

AeL

BGL>LC

AGa

BGa

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)______________

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。廠卜B

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,/,c*/

使AWa、a、CWa。/?/

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。---------------

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直物"

符號(hào)表示為：PWaCB=>aP0=L,且PEL/

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系/\

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：------\

fffi交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線J平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：樂同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。