高中數(shù)學(xué)-平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

2.4.1平面向量的數(shù)量積（教學(xué)案）

一、教學(xué)目標(biāo)整合

學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)，了解數(shù)量積的物理背景，感知向量數(shù)量積的

定義，理解兩個(gè)向量的夾角和數(shù)量積的概念，了解其幾何意義。

通過(guò)對(duì)定義的進(jìn)一步探究，學(xué)生能夠得到有關(guān)數(shù)量積的性質(zhì)，讓

學(xué)生初步嘗試探究的過(guò)程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能

力。

學(xué)生對(duì)數(shù)量積運(yùn)算律的探究，體會(huì)類(lèi)比、猜想、證明的探索性學(xué)

習(xí)方法；通過(guò)解題實(shí)踐，體會(huì)數(shù)量積的運(yùn)算方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)

難點(diǎn)：對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律的探究

三、教學(xué)方法

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和基本定理及坐標(biāo)表

示的基礎(chǔ)上，學(xué)生具備了一定的基礎(chǔ)，以自主學(xué)習(xí)、問(wèn)題探究、合作

交流為主要的教學(xué)方式組織學(xué)生學(xué)習(xí)。

四、教學(xué)過(guò)程

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

背通過(guò)物理中“功”概念由于學(xué)科進(jìn)度，

景的了解，引出本節(jié)課題.（多簡(jiǎn)單介紹學(xué)生還沒(méi)有掌握

引媒體展示)“功”的概念，

入僅作了解.

在邊長(zhǎng)為1的等邊三角以問(wèn)題的形式檢根據(jù)學(xué)生的學(xué)

自形/比中，丘是邊式的中點(diǎn)；查學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)基礎(chǔ)情況和課

主⑴求通?記的值；情況，通過(guò)學(xué)生做前的自主學(xué)習(xí)，

學(xué)(2)求荏?標(biāo)的值；的情況，交流自主通過(guò)本題檢查學(xué)

習(xí)學(xué)習(xí)的心得，引出生自主學(xué)習(xí)的情

(3)求而在元方向上的投影；

成在概念學(xué)習(xí)中的疑況，為下一步的

果惑.概念學(xué)習(xí)和性質(zhì)

/\

展學(xué)生獨(dú)立完成的探究奠定基

示后，教師提問(wèn)，學(xué)礎(chǔ).

BZJ￡L;AC

生交流、糾錯(cuò).

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

解1.兩個(gè)向量的夾角/B把握概念的內(nèi)

決已知兩個(gè)非零向量瓦瓦作涵，明確向量夾

UA

疑OA=a,OB=b,^\ZAOB稱(chēng)作向角的含義及范

惑量。與向量很的夾角6,也概念教學(xué)，學(xué)圍，理解數(shù)量積

記作。=<53>,并規(guī)定生在老師的指導(dǎo)下的定義與書(shū)寫(xiě)方

概0<0<71.理解夾角的概念，法，了解數(shù)量積

念2.數(shù)量積的定義通過(guò)對(duì)前面練習(xí)的的幾何意義.能

生1aIIB18se叫做向量r和］的分析得出求向量夾運(yùn)用數(shù)量積的定

成數(shù)量積（或內(nèi)積），記作,石,角的方法.義來(lái)解決簡(jiǎn)單的

即小行二|1||B|cos。（，為夾角）計(jì)算問(wèn)題.

規(guī)定:零向量與任一向量讓學(xué)生掌握數(shù)

的數(shù)量積為0.量積（內(nèi)積）的書(shū)

3.幾何意義寫(xiě)方法和語(yǔ)言表

投影的定義及探究達(dá)，理解“數(shù)量”

\b\cos0叫做向量5在向含義.

量。方向上的投影.學(xué)生探究投影

的正負(fù)問(wèn)題，動(dòng)手

畫(huà)圖，學(xué)生回答相

關(guān)提問(wèn).

問(wèn)題探究

問(wèn)⑴展分的正負(fù)號(hào)如何確定？師生合作進(jìn)行通過(guò)對(duì)概念

題問(wèn)題探究?jī)?nèi)涵的深化，探

探（2））4=0,則2=0或石=。對(duì)嗎？學(xué)生通過(guò)獨(dú)立究概念的外延，

究那么由2石=0你能得出什么探究、合作交流，讓學(xué)生通過(guò)問(wèn)題

結(jié)論？在解決問(wèn)題的過(guò)程探究得到數(shù)量積

得中發(fā)現(xiàn)新知，分享的性質(zhì)，能對(duì)公

出⑶無(wú)，等于什么？解決問(wèn)題的樂(lè)趣.式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖?/p>

性⑷能比較舊⑨與舊|向的大探究后小組合形來(lái)解決夾角、

質(zhì)小嗎？作交流，然后由學(xué)向量的模、向量

得出數(shù)量積的性質(zhì)：生代表形成匯總.垂直等問(wèn)題.

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

類(lèi)比實(shí)數(shù)和向量數(shù)乘的師生共同合作探究學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)量

運(yùn)算律，探究以下向量數(shù)量積運(yùn)算律的探

積的運(yùn)算律是否成立？類(lèi)比、猜想后如何究，體會(huì)類(lèi)比、

(Dab=h-a?證明呢？猜想、證明的探

(2)(Aa)-b—b)—a-(Ab)?索性學(xué)習(xí)方法.

(3)(a+b)-c~a-c+b-c?引導(dǎo)學(xué)生思考

(4)(ab)-c—a(bc)—代數(shù)法？幾何法？

運(yùn)

(a-c)-b?還是數(shù)形結(jié)合呢？

算

律

思維拓展

的

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，類(lèi)思維拓展，

類(lèi)\

比實(shí)數(shù)的平方和與平方差公/初步體會(huì)數(shù)量積

比

式，證明以下公式：ZL的運(yùn)算.

探BEC

(1)(。+力2=a2+2a-b+b2

究

^(a+b)-(a-b)=a2-b2

前后呼應(yīng)，

一試身手讓學(xué)生能運(yùn)用學(xué)

在課前檢測(cè)題中，你能運(yùn)到的知識(shí)的來(lái)解

用向量的方法證明AEA.BC決簡(jiǎn)單的平面幾

嗎？何問(wèn)題.

1、辨析正誤

⑴若小則向量,花的夾角為鈍教師引導(dǎo)概念的

角.學(xué)生思考回答生成既要把

()如何辨析正握概念的內(nèi)

⑵若,/不，則用名|=回出|.()誤，引導(dǎo)學(xué)生涵，又要注

⑶若向量，在向量各方向上的投影等如何舉例分重對(duì)概念外

于0,則近立()析，如何證明.延的分析，

(4)若則分=1.()通過(guò)辨析學(xué)

2、已知|a|=5,|b|=4,a和b的夾角學(xué)生獨(dú)立生能明晰的

達(dá)

為60。，求a?b.完成2、3題，理解數(shù)量積

標(biāo)

展示學(xué)生成的概念.

檢

3、設(shè)|a|=12,|b|=9,a-b=-54V2果.

測(cè)

求a和b的夾角.讓學(xué)生通過(guò)

解題實(shí)踐體

課堂小練：會(huì)數(shù)量積的

1、已知AABC中，AB=a,AC=b,當(dāng)運(yùn)算.

a?b<0,a?b=0時(shí),△ABC

各是什么三角形？

_,,I1LJIIl_l

2、已知|由二4|〃|=4,片力=-4.

nun0

(1)求向量上附夾角6；(2)^\a-b\.

指導(dǎo)學(xué)

教師引導(dǎo)生進(jìn)行總結(jié)

自學(xué)生自我總結(jié)反思，能較

我反饋.好的把握本

反節(jié)課的重點(diǎn)

饋難點(diǎn)，能自

己對(duì)知識(shí)進(jìn)

行梳理.

布課本習(xí)題2.4A組第1、2、7題

置選作題B組第1、4題

作請(qǐng)結(jié)合本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容自己設(shè)計(jì)

業(yè)一道有關(guān)數(shù)量積的題目：

學(xué)情分析：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向

量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算，具備了功等物理知識(shí)，并且初步體會(huì)了研究

向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概

念，然后再?gòu)母拍畛霭l(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算

律。在功的計(jì)算公式和研究向量運(yùn)算的一般方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生基本

上能類(lèi)比得到數(shù)量積的含義和運(yùn)算律，對(duì)于運(yùn)算律不一定給全或給對(duì),

對(duì)運(yùn)算律的證明可能會(huì)存在一定的困難。

效果分析:

本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重教學(xué)目標(biāo)的明確；注重根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而

科學(xué)地進(jìn)行知識(shí)序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)；注重課堂

效果的實(shí)效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,

建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，可以更好的理解

數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好

數(shù)學(xué)的愿望和信心。對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背

景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。教師是學(xué)生

學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地

位為前提，教學(xué)過(guò)程中要發(fā)揚(yáng)民主，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、

動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對(duì)于教學(xué)中問(wèn)題情境的

設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習(xí)的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能

主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中

選擇合適的策略，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決

是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。

本節(jié)內(nèi)容在全書(shū)及章節(jié)的地位：平面向量的數(shù)量積是普通高中課

程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《必修4》的第二章第四節(jié)內(nèi)容。平面向量的數(shù)量

積是繼向量的線(xiàn)性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重

要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛它與解三角形、函數(shù)等

數(shù)學(xué)知識(shí)緊密相連，向量數(shù)量積還是培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)能力的

良好題材。可以說(shuō)向量是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容教材共安

排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通

過(guò)物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探

究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)

學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對(duì)物理背

景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，

既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合

點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)

量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。針

對(duì)我校實(shí)際情況，在問(wèn)題的設(shè)置上要注意平緩過(guò)渡，在例題習(xí)題的選

擇上要以基礎(chǔ)題為主，要樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并能學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

課時(shí)測(cè)評(píng)

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1.若向量a,6滿(mǎn)足|a|=|6|=La與6的夾角為60°,貝!）a?a+

a,6等于（）

A.1B.|C.1+*D.2

2.如果且aWO,那么（）

A.b=cB.b=4c

C.b±cD.b,。在a方向上的投影相等

3.若向量a,b,c,滿(mǎn)足a〃6且a_Lc,則。?（a+2b）=（）

A.4B.3C.2D.0

4.若向量a與8的夾角為60°,|引=4,且(a+28)?(a-36)=一

72,則a的模為()

A.2B.4C.6D.12

5.已知平面向量a,6是非零向量，|a|=2,a_L(a+26),則向量8

在向量a方向上的投影為()

A.1B.-1C.2D.-2

6.已知|a|=3,|引=5,且a與6的夾角9=45°,則向量a在向

量力上的投影為.

7.已知向量a,b,其中|引=2,且(a—b)_La,貝！||2a—

b\=?

8.若非零向量a,6滿(mǎn)足/a/=3/6/=/a+26/,則a與6夾角的余弦

值為.

9.如圖2-4-1所示，在平行四邊形幽力中，|荔|=4,|森|=3,Z

血件=60。.

圖2-4-1

求：⑴森?比；⑵荔?而；⑶荔?法.

3

10.已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=L且(a—6),(a+Z?)=-.

⑴求㈤.

(2)當(dāng)a?b=一；時(shí)，求向量a與a+26的夾角J的值.

課后反思：

①本節(jié)內(nèi)容主要是概念法則的學(xué)習(xí)，不要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變成機(jī)械的記

憶，要充分利用“功”這個(gè)物理概念，使教學(xué)貼近學(xué)生的認(rèn)知，使學(xué)

習(xí)變得富有意義。

②要使學(xué)生體會(huì)力和位移是兩個(gè)向量，而得到的功是一個(gè)數(shù)，功的大

小與力、位移的大小及夾角有