集合的含義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第一章集合與常用邏輯用語1.1

集合的概念·

【素養(yǎng)目標(biāo)】·1.通過實例了解集合的含義，掌握集合元素的三個特性，初步運用集

合元素的特性解決簡單問題.(數(shù)學(xué)抽象)·2.體會元素與集合之間的屬于關(guān)系，記住并會應(yīng)用常用數(shù)集的表示符

號.(邏輯推理)·3.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法).(直觀想象)·4.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.(直觀想象)·【學(xué)法解讀】·在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生依據(jù)老師創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，以義務(wù)教育階段所

學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，學(xué)會用集合語言表達學(xué)過的相應(yīng)內(nèi)容，理解元

素與集合的關(guān)系、元素的特征及集合的表示方法.第1課時

集合的含義目

錄

CONTENTS必備知識·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識·探新知知識點1

集合與元素的含義·一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為(element),把一些元素組成的·通常腑大寫拉丁字母A,B,C,

…表示

,用小寫拉丁字母a,b,對象：可以是數(shù)、點、圖形，也可以是人或物等，即對象的形式多樣

化.

c,

…

表示集合中的

集合·

叫做集合(set)(簡稱為集).

元系基礎(chǔ)知識

·元素：具有共同的特征或共同的屬性的對象.·總體：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義.因此，

一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.·思考1:集合中的“研究對象”所指的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點、代數(shù)式嗎?·提示：

集合中的“研究對象”所指的范圍非常廣泛，可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、

點、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實生活中的各種各樣的事物或人等.特性含義示例確定性作為一個集合的元素，必須是確定的，不能確定的對象就不能構(gòu)成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了集合A={1,2,3},則1∈A,44A集合中元素的三個特性知識點2特性含義示例互異性對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者說是互異的),這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一集合時只能算集合的一個元素集合{x,x2—x}中的x應(yīng)滿足

x≠x2—x,即x≠0且x≠2無序性構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分集合{1,0}和{0,1}是同一個集合·思考2:集合元素的三個特性主要有哪些應(yīng)用?·提示：(1)確定性的主要作用是判斷一組對象能否構(gòu)成集合，只有這組對

象具有確定性時才能構(gòu)成集合.界定模糊的元素不能構(gòu)成集合，如“小

河流”“難題”等.·(2)無序性的主要作用是方便定義集合相等.當(dāng)兩個集合相等時，其元素

不一定依次對應(yīng)相等.如{1,2,3}與{3,2,1}表示同一集合.·(3)互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗.特別是題中含有參數(shù)

(即字母)時，

一定要檢驗求出的參數(shù)是否滿足集合中元素的互異性.關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A

Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合AafAa

不屬秉合A元素與集合的關(guān)系知識點3·思考3:(1)元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎?·(2)符合“∈”“∈”的左邊可以是集合嗎?·提示：(1)對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a∈A”與“a∈A”這兩

種結(jié)果.·(2)∈和&具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，所以左邊不可以是集

合

.數(shù)集意義符號非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)全體非負整數(shù)組成的集合N正整數(shù)集全體正整數(shù)組成的集合N*或N+整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合Z有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合Q實數(shù)集全體實數(shù)組成的集合R常用數(shù)集及其記法知識點4·思考4:

N,N*,N+

有什么區(qū)別?·提示：

(1)N為非負整數(shù)集(或自然數(shù)集),而N*或N表示正整數(shù)集，不同

之處就是N包括0,而N*(N+)不包括0.·(2)N*和N的含義是一樣的，初學(xué)者往往會誤記為N.或N+,

為避免出錯，

對于N*和N,

可形象地記為“星星(*)在天上，十字(+)在地下”.·1.下列各組對象中不能組成集合的是(·A.清華大學(xué)2019年入校的全體學(xué)生·B.我國十三屆全國人大二次會議的全體參會成員·C.中國著名的數(shù)學(xué)家·D.不等式x—1>0的實數(shù)解·[解析]“著名的數(shù)學(xué)家”無明確的標(biāo)準，對于某人是否“著名”無法

客觀地判斷，因此“中國著名的數(shù)學(xué)家”不能組成集合，故選C.基礎(chǔ)自測2.已知a∈R,且

a≠Q(mào),則

a

可以為(A)A.√2

B.

C.—2

D.

[解析]2

∈R,

且√24Q,故選A.3.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是_①④(填序號).①O∈N;②π

∈Q;③√2∈Q;④-1∈Z;⑤√2≠R.[解析]

π,

√2為無理數(shù)，

√2為實數(shù)，故填①④.·

4

.

方程x2—1=0

與方程x+1=0所有解組成的集合中共有

個元

素

.·[解析]方程x2-1=0

的解為1,-

1,x+1=0

的解為-1,所以兩個方

程所有解組成的集合有2個元素，故填2.關(guān)鍵能力·攻重難

下列各組對象：·①某個班級中年齡較小的男同學(xué)；②聯(lián)合國安理會常任理事國；③2018

年在韓國舉行的第23屆冬奧會的所有參賽運動員；④的所有近似值.·其中能夠組成集合的是._·[分析]

結(jié)合集合中元素的特性分析各組對象是否滿足確定性和互異性，進而判斷能否組成集合.

②③題型一

集合的基本概念題型探究

·[解析]

①中的“年齡較小”、④中的“近似值”,這些標(biāo)準均不明確，即元素不確定，所以①④不能組成集合.·②③中的對象都是確定的、互異的，所以②③可以組成集合.填②③.·[歸納提升]

1.判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果

是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能

構(gòu)成集合.·2.判斷集合中的元素個數(shù)時，要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個，即集合中的元素滿足互異性.·【對點練習(xí)】①下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：·(1)我國的小城市；·(2)某校2019年在校的所有高個子同學(xué)；·(3)不超過20的非負數(shù)；·(4)方程x2—9=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解.·[解析](1)“我國的小城市”無明確的標(biāo)準，對于某個城市是否“小”無

法客觀地判斷，因此，“我國的小城市”不能構(gòu)成一個集合.(2)“高個

子”無明確的標(biāo)準，對于某個同學(xué)是否是“高個子”無法客觀地判斷，

不能構(gòu)成集合.(3)任給一個實數(shù)x,

可以明確地判斷是不是“不超過20

的非負數(shù)”,即“O≤x≤20”

與“x>20

或x<0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負數(shù)”能構(gòu)成集合.(4)由x2-9=0,得x?=-3,x?=3.∴方程x2-9=0

在實數(shù)范圍內(nèi)的解為-3,3,能構(gòu)成集合.題型二元素與集合的關(guān)系例

2若所有形如3a+√2b(a∈Z,b∈Z)的數(shù)組成集合A,請判斷6-2

√2是不是集合A中的元素.[分析]根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷，可令a=2,b=—2.[解析]因為在3a+√2b(a∈Z,b∈Z)中，令a=2,b=—2,即可得到6-2

√2,所以6-2

√2是集合A

中的元素.·[歸納提升]1.(1)判斷一個元素是不是某個集合的元素，關(guān)鍵是判斷這

個元素是否具有這個集合中元素的共同特征.(2)要熟練掌握R、Q、Z、

N、N*表示的數(shù)集.·2.解決這類比較復(fù)雜的集合問題要充分利用集合滿足的性質(zhì)，運用轉(zhuǎn)化思想，將問題等價轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題解決.【對點練習(xí)】②(1)下列關(guān)系中，正確的有(C)

②√54Q;③|-3|∈N;④|一

√3|∈Q.

A.1

個

B.2個C.3

個D.4個(2)若集合A中的元素x

滿

,x

∈N,

則集合A

中的元素為2,1,0[解析]

(1

是實數(shù)，

√5是無理數(shù)，

|-3|=3是自然數(shù)，|-

√3|=3是無理數(shù).因此，①②③正確，④錯誤.(2)由題意可得：3—x可以為1,2,3,6,且x為自然數(shù)，因此x

的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.已知一3是由x—2,2x2+5x,12三個元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值.·[分析]

—3是集合的元素說明x—2=—3

或2x2+5x=—

3,可分類討論

求解.·[解析]

由題意可知，x-2=-3或2x2+5x=-3.·當(dāng)x-2=-3時

，x=-1,·把x=-1代入2x2+5x,得集合的三個元素分別為-3,-3,12,不滿足

集合中元素的互異性；當(dāng)2x2+5x=—3

時，

x=—1

(舍去),時，集合的三個元素分別為·[歸納提升]解決此類問題的通法是：根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標(biāo)準，求得參數(shù)的值，然后將參數(shù)值代入檢驗是否滿足集合中元素的

互異性

.滿足集合中元素的互異性，故·【對點練習(xí)】③已知集合A中僅含有兩個元素a—3和2a—1,

若一3∈A,

則實數(shù)a的值為·