數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊5數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊42二項式系數(shù)的性質(zhì)

4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)

I川川川川I川川川川川川川川川I川川川I川川川川川川川川川山即囪即陶?I課I前I預(yù)I習(xí)］乃川川用勿"勿川"勿"川川川川川川川川川“出川川川”,

(教材要點］

要點一楊輝三角的特點

(1)在同一行中每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù).

(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)的，即C3+1

要點二二項式系數(shù)的和

(l)Cg+*+髭+…+喘=.

(2)己+鬣+第+...=墨+髭+然+???=.

狀元隨筆對于2n=3+禺+鬣+…+喘，也可以從集合的角度解釋.設(shè)A是含有n

個元素的集合，求A的子集個數(shù)時，可以按照子集中含有元素的個數(shù)進行分類：沒有元素的

子集(即空集)有3個，含1個元素的子集有最個，含2個元素的子集有

鬣個......含n個元素的子集有3個，故所有子集的個數(shù)為田+禺+量+…+喘

=2n.

［基礎(chǔ)自測］

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

(l)(a+b)"的展開式中，二項式系數(shù)具有對稱性.()

(2)二項展開式的二項式系數(shù)和為C"鬣+???+*.()

(3)二項式展開式的偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項系數(shù)和.()

(4)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的.()

2.(1-2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是()

A.1B.-1

C.215D.315

3.若(l+3x)"的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為6,則第4項的系數(shù)為()

A.4B.27

C.36D.108

4.(2%-I"展開式中各項系數(shù)的和為；各項的二項式系數(shù)和為

I川川川川"W"田川川川川川卅川川川川川川川川川卅川“1國國隰國?I課卜矍解逅加加依

題型一楊輝三角

例1如下圖，它滿足：①第〃行首尾兩數(shù)均為〃；②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則

第〃行(〃22)第二個數(shù)是多少？

1

22

343

4774

51114115

6162525166

方法歸納

解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般方法是：觀察——分析，實驗——猜想結(jié)論——證明，

要得出楊輝三角中的數(shù)字的諸多排列規(guī)律，取決于我們的觀察能力，注意觀察方法：橫看、

豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察(橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同).

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第行中從左

至右第14與第15個數(shù)的比為2:3.

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

題型二二項式系數(shù)和與各項的系數(shù)和的基本問題

例2(1)在(3x2-1)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32,則展開式中各項系數(shù)的

和為()

A.-32B.0C.32D.1

(2)在(x+專了的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為32,則廣的系數(shù)為()

A.50B.70C.90D.120

方法歸納

(1)對于(a+力”展開式中，二項式系數(shù)的和是CR+禺+鬣+-+C?=2n.

(2)對于(辦+力”的式子，求其展開式中的各項系數(shù)之和常用賦值法.

跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)(5x一次)”的展開式的各項系數(shù)之和為二項式系數(shù)之和為N,M-

N=240,則展開式中％3項的系數(shù)為()

A.500B.-500

C.150D.-150

(2)如果(3x-金7的展開式中各項系數(shù)之和為128,則〃的值為,展開式中妥的

系數(shù)為.

題型三二項展開式中系數(shù)和問題

例3已知(1—ZxAuao+aix+ai/H------\~aix1.

(1)求m+〃2+…+s；

(2)求ai+s+as+s；

(3)求1aoi+|ai|T----\-\aj\.

狀元隨筆解決二項式系數(shù)和問題的思維過程如下:

對久孑中的*賦值，月的曼

切入點

腑二項五的系數(shù)分離出來

求

二怎樣藥工賦值

項

思

父

考展外式中的常數(shù)項和最高

系

點

數(shù)次項的系數(shù)如何求出

的

和如何得到所求他的代教關(guān)系

一|解題過行一—X賦闔一I變巧I一I結(jié)論

方法歸納

對于(4+法)"=〃0+〃|無+〃加2+—+04的展開式，求各項系數(shù)和時，可令X=1,得ao

+〃i+〃2H-----F〃〃=(〃+/?)”.

若求奇數(shù)項和或偶數(shù)項和，可分別令x=l和x=-1,得

(a()+ai+a2+???+an=(a+b)n,

nn

l^o—a1+a2—…+(—l)an=(a—b),

兩式相加減即可求出結(jié)果.對于形如(渥+〃x+c)〃的式子，求其展開式的各項系數(shù)和，

只需令x=l.對于("+勿)"(〃，為常數(shù))的式子，求其展開式的各項系數(shù)和，可令x=y=l.

跟蹤訓(xùn)練3多項式元3+xlO=4o+〃](x+1)+…+〃9(x+1)9+。10(工+I)10.

(1)求oo+.T-----卜愚+內(nèi)。的值；

(2)求。0—〃]+。2—〃3+…—。9+。10的值；

⑶求如

易錯辨析錯用二項式系數(shù)的性質(zhì)

例4(1+2%嚴(yán)的展開式中，X的奇次項系數(shù)的和與“的偶次項系數(shù)的和各是多少？

解析：設(shè)x的奇次項系數(shù)的和為A,x的偶次項系數(shù)的和為3,則令x=l,得A+5=32。,

令x=—1,得B—A=l,

；.28=32。+1,4=空3

22

即奇次項系數(shù)的和為殳F，偶次項系數(shù)的和為號.

【易錯警示】

易錯原因糾錯心得

求解本題，容易出現(xiàn)下列兩種錯誤.

錯解一：?.?二項展開式中奇次項系數(shù)的和與偶次項系數(shù)的和

相同，奇次項系數(shù)的和與偶次項系數(shù)的和均為2”.對于求系數(shù)和的問題，要注

錯解二：由二項展開式知x的奇次項系數(shù)的和為C2K2+%?意用賦值法解決.奇、偶次

35

2+C^0-2+-+C^-219,項是針對X的指數(shù)而言，奇、

x的偶次項系數(shù)的和為C*o+22+C丸.24+…/C翁22。.偶數(shù)項是針對第幾項而言.

錯解一是將系數(shù)和與二項式系數(shù)和混淆了；錯解二解法欠妥，

很難求出數(shù)值.其原因在于沒把握住求系數(shù)和的根本方法.

［課堂十分鐘］

1.楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具

有類似性質(zhì)的行是（)

1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.第6行B.第7行

C.第8行D.第9行

2.在（a+勿"的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則〃=（）

A.6B.7

C.8D.9

3.若（x+3），）"展開式的各項系數(shù)和等于（7“+6>°展開式中的二項式系數(shù)之和，則〃的值

為（）

A.5B.8

C.10D.15

4.若卜2+e）n展開式的各項系數(shù)之和為32,則其展開式中的常數(shù)項是.

1

5.已知（x一機）7=如+。［%+42%2_j-----\-ajx的展開式中/的系數(shù)是一35,求ai+az+eH—

+。7.

4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)

新知初探?課前預(yù)習(xí)

要點一

(1)相等⑵和Cfl+踹

要點二

(1)2"(2)2廣1

［基礎(chǔ)自測］

1.(1)V(2)X(3)X(4)X

2.解析：令x=l得各項系數(shù)和為-1.

答案：B

3.解析：7i+i=C3(3x)?,

由C^=6,得〃=4.

/(3x)3,故第4項的系數(shù)為第X33=1O8,故選D.

答案：D

4.解析：令展開式左、右兩邊x=l,得各項系數(shù)和為1;各二項式系數(shù)之和為26=64.

答案：164

題型探究?課堂解透

例1解析：設(shè)第〃行第2個數(shù)為斯(〃22),

nlfa2=2.

貝留??all+\-an=n.

{n+an=an+1(n>2)

—〃〃-1)+H----F(6-2

an=(an-i-a,i-2)他)+〃

=2+2+3+4H------

’.(n—1)(14-n—1)

_n2-n+2

2?

跟蹤訓(xùn)練1解析：即」.,?〃=34.

Cfi3n—33

答案：34

例2解析：(1)由題意知2〃=32,得〃=5.令x=l,可得展開式中各項系數(shù)的和為(3X12

-1>=32.故選C.

(2)令x=l,得各項系數(shù)和為4〃，又二項式系數(shù)和為2〃，所以由題意知2〃=32,得〃=5,

二項展開式的通項為T"C。產(chǎn)〈?匕小叱一秋，令5一主=2,得-2,所以爐的系數(shù)

為鬣32=90,故選C.

答案：(l)C(2)C

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)N=2",令x=l,則M=(5-l)"=4"=(2")2

.?.(2")2—2"=240

；.2"=16,An=4.

k

...71+1="(5x)4-{(一五)"=(一1)("54-4-￡

令4-5=3,即仁2

此時以Sq-iyniso.

(2)令x=l,得展開式的各項系數(shù)之和為2",

,5k

所以2"=128,解得〃=7,所以展開式的通項為(一1戶37-七多-一9，

令7—1%=-3,解得仁6.

所以展開式中專的系數(shù)是3。=21.

答案：(l)C(2)721

例3解析：(1)當(dāng)x=l時，等號左邊為(1—2)7=—1,等號右邊為ao+“i+a2H------Fs,

.??4o+4]+〃2+…+〃7=-1.當(dāng)X=0時，。0=1.

??a\+公+…+。7=—1—1=-2.

(2)令X=l,得00+0+02+…+。7=-1,①

令x=-1,得ao~a]+。2-々3+441的+/一S=37,②

①一②，得2(〃]+。3+。5+。7)=—1—37,

.??。|+。3+。5+。7=-^-=-1094.

(3)由展開式，知0,。3,。5,。7均為負(fù)數(shù)，卬，〃2,6U,%均為正數(shù)，

；?|。()|+|〃||+…+|〃7|=40-〃]+"2-S+S-■恁+期-。7.

由(2)可知，引一0+々2—④+四一。5+46—。7=