四川省校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文科含解析

Page17第Ⅰ卷（選擇題）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將答案涂在答題卡上.1.命題p：，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞命題的否定的學(xué)問(wèn)確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，留意到是否定結(jié)論，不否定條件，所以D選項(xiàng)正確.故選：D2.設(shè)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二次不等式解法解出，再依據(jù)充分條件和必要條件的概念即可推斷．【詳解】或，則，，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3.設(shè)是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，則（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的方程的特點(diǎn)和雙曲線的定義即可求解.【詳解】由，得解得．因?yàn)槭请p曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，所以.由雙曲線的定義可知．故選：A.4.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，依據(jù)拋物線的定義，.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.若，則等于（）A2 B.0 C.-2 D.-4【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【詳解】因?yàn)?，所以所以，得所以，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，較簡(jiǎn)潔.6.若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)，，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線平行于直線，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C7.已知函數(shù)圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項(xiàng)C符合要求.故選：C8.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【答案】B【解析】【詳解】f′(x)=6x2+2ax+36,因?yàn)閒(x)在x=2處有極值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以從選項(xiàng)看函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(3,+∞).點(diǎn)睛：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有極值．9.已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若C的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：記，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，從而，∴.∵，∴.故選:B10已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)（其中位于第一象限），若，則（）A. B. C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，利用拋物線定義及得，利用三角形學(xué)問(wèn)求出傾斜角，進(jìn)一步求出直線斜率即可【詳解】由題意知，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)A作的垂線，垂足為M，如圖，設(shè)，因?yàn)椋?，則，所以，即直線的傾斜角等于，可得直線的斜率為.故選：A.11.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得，令，求導(dǎo)求最值即可.【詳解】若在上恒成立，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故.故選：B.12.已知橢圓:的左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，如圖，若，為線段的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，由題知，，所以，再結(jié)合橢圓的定義得，進(jìn)而在中結(jié)合勾股定理得，最終依據(jù)離心率的公式求解即可.【詳解】如圖,連接,因?yàn)椋瑸榫€段的三等分點(diǎn),所以在中,為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)檫^(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A的半徑為，所以，由橢圓的定義得：，所以，所以在中，，即，整理得：，即：，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于證明，，進(jìn)而依據(jù)橢圓的定義得，再結(jié)合勾股定理得.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則切線斜率，又，則切點(diǎn)為，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.14.已知命題“∈[1，2]，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，即可得到所求a的范圍．【詳解】命題“?x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命題，即有2a＜x0在[1，2]的最大值，由x0在[1，2]遞增，可得x0＝2取得最大值，則2a，可得a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，）．故答案為（﹣∞，）．【點(diǎn)睛】本題考查存在性命題的真假問(wèn)題解法，留意運(yùn)用分別參數(shù)法，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．15.已知函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【詳解】由題意知f′(x)＝x＋2a?≥0在上恒成立，即2a≥?x＋在上恒成立，∵＝，∴2a≥，即a≥.16.已知函數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令，則，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，即，解得，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于雙變量的范圍問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量（解方程、主元法等），構(gòu)造函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域即可.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17題10分，其余每題12分.17.已知命題，命題有意義．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先分別求兩個(gè)命題表示的的取值范圍，再求交集，即可求解；（2）由題意可知，與都為假命題，即與都為真命題，求與表示集合的交集.【小問(wèn)1詳解】由題知，解得，即，要使有意義，只需，解得或，即或，若為真，則有，解得：，實(shí)數(shù)取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】由（1）知或，若為假命題，則與都為假命題，即與都為真命題，或，只需，解得或．則實(shí)數(shù)的取值范圍：或．18.已知函數(shù)在點(diǎn)處切線斜率為，且．（1）求和；（2）試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合，進(jìn)行求解即可；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變更確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)，由，得解得：．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，求導(dǎo)，令，得，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．19.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的弦AB，求AB的長(zhǎng)；（3）求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）25（3）54【解析】【分析】（1）雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)出雙曲線方程，把已知條件代入解方程組即可；（2）寫出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，依據(jù)弦長(zhǎng)公式求得；（3）由雙曲線的定義及弦長(zhǎng)AB得出的周長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，由題意得，解得，所以雙曲線方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意得直線AB的方程為，設(shè)，.聯(lián)立，得，，且，所以.【小問(wèn)3詳解】由（2）知A，B兩點(diǎn)都在雙曲線左支上，且，由雙曲線定義，，從而，的周長(zhǎng)為．20.直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離為.（1）求拋物線方程；（2）設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知，將直線與拋物線的方程聯(lián)立，依據(jù)求出的取值范圍，依據(jù)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求出的值，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到軸的距離為，則，可得，所以，拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：若，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，則，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，解得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，整理可得，又因?yàn)椋獾?，易知拋物線交軸于點(diǎn)，則有，可得，由韋達(dá)定理可得，，由弦長(zhǎng)公式可得，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（2）若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）極大值，無(wú)微小值（2）【解析】【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值；（2）首先分和兩種狀況探討函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，無(wú)微小值.【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，所以最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不成立，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，且，解得：，且，解得：，綜上可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓E過(guò)，直線與橢圓E交于A、B．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線TA、TB的斜率分別為，，證明：；（3）直線是過(guò)點(diǎn)T的橢圓E的切線，且與直線l交于點(diǎn)P，定義為橢圓E的弦切角，為弦TB對(duì)應(yīng)的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角與弦TB對(duì)應(yīng)的橢圓周角的關(guān)系，并證明你的論．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，，解出a、b即可求解；（2）設(shè)，將直線l方程聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示、，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式對(duì)化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求解；（3）設(shè)切線方程，由直線與橢圓的位置關(guān)系求出k，得出傾斜角，可得，由，得，結(jié)合三角形的外角和即可下結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意