山東省青島市華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年七下期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

山東省青島市華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】A．，故A不符合題意；B．，故B不符合題意；C．和不能合并，故C不符合題意；D．，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2.如圖，下列說法不正確的是（）A.∠1與∠3是同位角 B.∠1與∠2是內(nèi)錯角C.∠C與∠2是同旁內(nèi)角 D.∠A與∠2是同位角【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義判斷四個選項(xiàng)即可．【詳解】解：∠1和∠3不是同位角，∠1和∠2的對頂角才是同位角，故A符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3.在實(shí)驗(yàn)課上，小亮利用同一塊木板測得小車從不同高度下滑的時間，支撐物高度（）與下滑的時間（）的關(guān)系如下表：支撐物高（）1020304050…下滑時間（）3.253.012.812.662.56…以下結(jié)論錯誤的是（）A.當(dāng)時，約2.66秒B.隨支撐物高度增加，下滑時間越來越短C.支撐物高度每增加了，時間就會減少0.24秒D.估計當(dāng)時，一定小于2.56秒【答案】C【解析】【分析】根據(jù)表格中數(shù)量的變化情況，分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)支撐物高度從10cm升高到20cm，下滑時間的減少0.24s；從20cm升高到30cm時，下滑時間就減少0.2s；從30cm升高到40cm時，下滑時間就減少0.15s；從40cm升高到50cm時，下滑時間就減少0.1s；因此，“高度每增加了10cm，時間就會減少0.2秒”是錯誤的．由表中數(shù)據(jù)可知A、B、D三個選項(xiàng)正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查變量之間的關(guān)系，理解表格中兩個變量之間的變化關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.研究表明，某新型冠狀病毒體大小約為125納米也就是0.125微米，而95口罩能過濾0.3微米的顆粒，并不能將病毒過濾，口罩的作用是阻擋病毒傳播的“載體”，而非直接擋住病毒．1納米就是0.000000001米．那么0.3微米用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：∵1微米=0.000001米=1×10-6米,∴0.3微米=0.3×1×10-6米=3×10-7米,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．5.小明有足夠多的如圖所示的正方形卡片，和長方形卡片，如果他要拼一個長為，寬為的大長方形，共需要類卡片（）．A.張 B.張 C.張 D.張【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意算出長方形的面積即可判斷.詳解】(a+2b)(a+b)，=a2+ab+2ab+2b2，=a2+3ab+2b2，由此可以看出C類卡片需要3張故選A.【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6.如圖，在下列給出的條件中，能判定AB∥DF的是（）A.∠1＝∠A B.∠A＝∠3 C.∠3＝∠4 D.∠2+∠4＝180°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可作答．【詳解】解：A、∵，∴DE∥AC，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、∵=，∴AB∥DF，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C、∵，∴ED∥AC，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、∵∠2+∠4=180°，∴DE∥AC，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練運(yùn)用平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵，即即①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．7.如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB和直線CD上，點(diǎn)P在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)H，已知，則的度數(shù)為（）A.92° B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)作//，過點(diǎn)作//，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠，結(jié)合角平分線的定義得到∠，同理可得∠【詳解】解：過點(diǎn)作//，過點(diǎn)作//，∵//∴////∴∠∵∠∴∠∴∠∵平分∠，平分∠∴∠同理可得，∠故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得出結(jié)論8.現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，連結(jié)DH，F(xiàn)H．將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2．已知甲、乙兩個正方形邊長之和為8，圖2的陰影部分面積為6，則圖1的陰影部分面積為（）A.19 B.28 C.77 D.21【答案】A【解析】【分析】設(shè)甲正方形紙片的邊長為a，乙正方形紙片的邊長為b．根據(jù)題意得a+b=8，，再根據(jù)完全平方公式求出，再結(jié)合圖1用甲，乙兩個正方形面積減去△DAH和△HEF的面積，并代入計算即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)甲正方形紙片的邊長為a，乙正方形紙片的邊長為b．∴AD=AB=a，BE=FE=b，甲正方形面積S甲=a2，乙正方形的面積S乙=b2．∵甲、乙兩個正方形邊長之和為8，圖2的陰影部分面積為6，∴a+b=8，AE=AB+BE=8，．∴．∴．∴．∵點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，∴AH=HE=4．∴，．∴S陰=S甲+S乙．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，三角形面積公式，正方形面積公式，正確對完全平方公式進(jìn)行等價變形是解題關(guān)鍵．二、填空題9.小明家離學(xué)校距離3千米，上學(xué)時小明騎自行車以10千米/小時速度走了x小時，這時離學(xué)校還有y千米．寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式_____．【答案】y=3-10x##y=-10x+3【解析】【分析】根據(jù)小明離學(xué)校的距離＝小明家離學(xué)校距離-小明騎自行車行駛的距離，列出表達(dá)式即可．【詳解】解：∵小明家離學(xué)校距離3千米，上學(xué)時小明騎自行車以10千米/小時速度走了x小時，∴小明離學(xué)校的距離．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．10.一個角的補(bǔ)角與這個角的余角的差是__________°.【答案】90【解析】【分析】設(shè)∠A=x，表示出∠A的補(bǔ)角和余角，再計算即可．【詳解】解：設(shè)∠A=x．則∠A的補(bǔ)角是，∠A的余角是．∴∠A的補(bǔ)角與∠A的余角的差是．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查求角的補(bǔ)角，求角的余角，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11.已知2x＝6，4y＝7，那么2x+2y的值是_____．【答案】42【解析】【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法法則和冪的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：∵4y＝7，2x＝6，∴∴故答案為：42【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的逆運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．12.如圖所示，把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)，位置，恰好在BC上，若∠，則等于_______°.【答案】【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)角和軸對稱的性質(zhì)，得，從而得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】如圖，∵，∴，根據(jù)題意，得，∴，∵長方形紙片ABCD，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線、補(bǔ)角、軸對稱的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線、軸對稱的性質(zhì)，從而完成求解．13.若9x2+（m﹣3）x+1是完全平方式，則m的值為_____．【答案】9或﹣3##﹣3或9【解析】【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵9x2+（m﹣3）x+1是完全平方式，∴9x2+（m﹣3）x+1＝∴，解得m＝9或﹣3．故答案為：9或﹣3．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．14.如圖1，在某個底面積為20cm2盛水容器內(nèi)，有一個實(shí)心圓柱體鐵塊，現(xiàn)在勻速持續(xù)地向容器內(nèi)注水，容器內(nèi)水的的高度y（cm）和注水時間x（s）之間的關(guān)系滿足如圖中的圖象，則水流速度是_______cm3/s．【答案】【解析】【分析】由圖可知：5s時，水面剛好到達(dá)實(shí)心圓柱體鐵塊頂端，5s后水面高度不受實(shí)心圓柱體鐵塊影響，用接下來6s鐘內(nèi)注入水的體積除以時間即可求解．【詳解】解：由圖可知：5s時，水面剛好到達(dá)實(shí)心圓柱體鐵塊頂端，5s后水面高度不受實(shí)心圓柱體鐵塊影響，則水流速度為cm3/s．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖像上獲取信息，從圖像上正確獲取信息是解題關(guān)鍵．15.將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②如果，則有；③∠2+∠CAD=180°；④如果，必有AB⊥ED．其中正確的有___________．（填寫序號）【答案】①②③④【解析】【分析】設(shè)AB與DE交于點(diǎn)M．根據(jù)角的和差關(guān)系可判斷①符合題意；根據(jù)角的和差關(guān)系和平行線的判定定理可判斷②符合題意；根據(jù)角的和差關(guān)系可判斷③符合題意；根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)可判斷④符合題意．【詳解】解：∵∠CAB=90°，∠EAD=90°，∴∠CAB=∠EAD．∴∠CAB-∠2=∠EAD-∠2，即∠1=∠3．故①符合題意．若∠2=30°．∴∠3=∠EAD-∠2=60°．∴∠CAD=∠CAB+∠3=150°．∵∠D=30°，∴∠CAD+∠D=180°．∴．故②符合題意．∵∠CAB=90°，∠EAD=90°，∴∠2+∠CAD=∠2+∠3+∠CAB=∠EAD+∠CAB=180°．故③符合題意．如下圖所示，設(shè)AB與DE交于點(diǎn)M．∵∠4=∠C，∴．∴∠AMD=∠CAB=90°．∴AB⊥ED．故④符合題意．故①②③④符合題意．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理和性質(zhì)，角的和差關(guān)系，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．16.已知動點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿圖1的邊框按從B→C→D→E→F→A的路徑移動，相應(yīng)的△ABP的面積S（cm2）與時間t（秒）之間的關(guān)系如圖2中的圖象所示．其中AB＝6cm，a=____，當(dāng)t＝_____時，△ABP的面積是18cm2．【答案】①.24②.3或14##14或3【解析】【分析】根據(jù)題意得：動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動的時間及動點(diǎn)的速度，可得BC、CD、DE、EF、AF的長；再根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：動點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，對應(yīng)的時間為0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8（cm）；動點(diǎn)P在CD上運(yùn)動時，對應(yīng)的時間為4到6秒，易得：CD＝2cm/秒×（6﹣4）秒＝4（cm）；動點(diǎn)P在DE上運(yùn)動時，對應(yīng)的時間為6到9秒，易得：DE＝2cm/秒×（9﹣6）秒＝6（cm），故圖1中的BC長是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm），∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），∴可知a＝×AB×BC＝24，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，△ABP的面積S＝×AB×2t＝6t，由△ABP的面積S＝18得6t＝18，解得t＝3，當(dāng)點(diǎn)P在AF上運(yùn)動時，△ABP的面積S＝AB（BC+CD+DE+EF+FA﹣2t）＝18，解得t＝14故答案為：24，3或14．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂圖意，明確橫軸與縱軸的意義．三、解答題17.作圖題：（1）在如圖所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．①經(jīng)過點(diǎn)P，畫線段PQ平行于AB所在直線．②過點(diǎn)C，畫線段CN垂直于CB所在直線．（2）尺規(guī)作圖：（用圓規(guī)直尺）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，請你使用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)C作直線OB的平行線．（保留作圖痕跡，不要求寫畫法）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）①在AB上取格點(diǎn)D，根據(jù)B到P的移動規(guī)律將D移動到Q，連接即可；②找到格點(diǎn)M，易找到點(diǎn)F，再通過M到E的移動規(guī)律，找到點(diǎn)N，連接即可；（2）過點(diǎn)C作的同位角即可．【小問1詳解】解：①、在AB上取格點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)B先向上1格，再向右平移4格到點(diǎn)P，則將點(diǎn)D向上1格，再向右平移4格即為點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ即為所求；②、如圖找到與點(diǎn)C在一條線上的格點(diǎn)M，則將點(diǎn)C豎直向上平移6個格點(diǎn)，記作點(diǎn)F，則MC垂直于FC，在BC上找到格點(diǎn)E，M向上平移一個格點(diǎn)到E，則將F向右平移一個格點(diǎn)即為N，連接CN，則CN即為所求；【小問2詳解】作法：（1）、以O(shè)為圓心，任意長為半徑化弧，分別交OA與OB于M、N，（2）、以點(diǎn)C為圓心，OM長為半徑化弧，交OA于點(diǎn)E．（3）、以點(diǎn)E為圓心，以MN的長為半徑畫弧，交上一弧與點(diǎn)F，則直線CF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)作圖，和平行線的尺規(guī)作圖，熟練掌握基本作圖方法是解題的關(guān)鍵．18.計算題：（1）（2x2y）3（﹣7xy2）；（2）+（0.25）2020×42022；（3）（x﹣1）2（x+1）2；（4）（2a+3b﹣c）（2a﹣3b+c）；（5）先化簡，再求值：，其中，．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）14【解析】【分析】（1）根據(jù)冪的運(yùn)算法則，積的運(yùn)算法則，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則計算即可．（2）根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算即可．（3）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計算即可．（4）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計算即可．（5）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則化簡，再代入計算即可．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】解：原式．【小問3詳解】解：原式．【小問4詳解】解：原式．【小問5詳解】解：原式．當(dāng)x=2，y=-1時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．19.請根據(jù)題目中的邏輯關(guān)系填空：已知：如圖，∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求證：∠A=∠C+∠AFC證明：∵∠1+∠AFE=180°∴CD∥EF（①）∵∠A=∠2

∴②（③）∴AB∥CD∥EF.∴∠A=④，∠C=⑤，（⑥）∵∠AFE=∠EFC+∠AFC，∴⑦．（等量代換）【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，，同位角相等兩直線平行，，，兩直線平行內(nèi)錯角相等，【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定可判定則，再由平行線性質(zhì)可得：，，最后等量代換即可求解．【詳解】證明：∵∠1+∠AFE=180°∴CD∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∵∠A=∠2∴（同位角相等，兩直線平行）∴AB∥CD∥EF．，（兩直線平行內(nèi)錯角相等）∵∠AFE=∠EFC+∠AFC，（等量代換）．故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，，同位角相等兩直線平行，，，兩直線平行內(nèi)錯角相等，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20.圖1，已知△ABC中，BC＝6，AF為BC邊上的高，P是BC上一動點(diǎn)，沿BC由B向C運(yùn)動，連接AP，在這個變化過程中設(shè)BP＝x，且把x看成自變量，設(shè)△APC的面積為S，圖2刻畫的是S隨x變化而變化的圖象．根據(jù)圖象回答以下問題：（1）①中M點(diǎn)代表的意義是．②△ABC的高AF的長為．③出S與x的關(guān)系式．④a的值為．（2）設(shè)△ABP的面積為y，寫出y與x的關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，△APC的面積與△ABP的面積相等？【答案】（1）①BP＝1時，△APC的面積為10；②4；③s＝12﹣2x；④6；（2）y＝2x，x＝3【解析】【分析】（1）①M(fèi)點(diǎn)代表的意義是：BP＝1時，△APC的面積為10，即可求解；②x＝0時，S＝S△ABC＝12＝BC×FA＝×6×AF，即可求解；③S＝×（6﹣x）×AF，即可求解；④S＝0，即可求解；（2）y＝BP×AF＝2x，當(dāng)y＝S時，△APC的面積與△ABP的面積相等，即可求解．【小問1詳解】解：①M(fèi)點(diǎn)代表的意義是：BP＝1時，△APC的面積為10，故答案為：BP＝1時，△APC的面積為10；②x＝0時，S＝S△ABC＝12＝BC×FA＝×6×AF，則AF＝4，故答案為：4；③S＝×（6﹣x）×AF＝12﹣2x，故答案為：s＝12﹣2x；④S＝12﹣2x＝0，解得：x＝6，即a＝6，故答案為：6；【小問2詳解】解：y＝BP×AF＝2x，當(dāng)y＝S時，△APC的面積與△ABP的面積相等，即：12﹣2x＝2x，解得：x＝3，故x＝3時，△APC的面積與△ABP的面積相等．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．解題關(guān)鍵是深刻理解動點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動點(diǎn)的完整運(yùn)動過程．21.如圖，，.求證：AB∥CE.【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解.【詳解】證明：，，，，.，，.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)及判定定理.22.學(xué)校組織同學(xué)們?nèi)ソ紖^(qū)實(shí)踐活動，安排校車送同學(xué)們，大多數(shù)同學(xué)選擇在學(xué)校乘車，學(xué)校還安排了第二個站點(diǎn)接學(xué)生，在第二個站點(diǎn)停車的時間為十分鐘。小明遲到了沒有趕上校車，只能讓爸爸開私家車從學(xué)校出發(fā)獨(dú)自去目的地。如圖是校車和私家車離開學(xué)校的路程y千米隨時間x分鐘的變化圖像。認(rèn)真分析圖中的信息，回答下列問題：（1）小明遲到了分鐘，先到目的地；（填小明或校車）（2）校車第二次開動后的速度是km/h；（3）小明出發(fā)后用多長時間追上校車？在距離目的地多遠(yuǎn)的地方追上校車？【答案】（1）30，小明（2）30（3）小明出發(fā)后用了分鐘追上校車，在距離目的地千米的地方追上校車【解析】【分析】（1）由觀察圖像即可得到；（2）校車在30分鐘后繼續(xù)開動，開動到60分鐘，一共花費(fèi)了小時走了15千米，用速度等于路程除以時間即可；（3）用待定系數(shù)法，求出私家車的圖像解析式和校車第二次啟動后的圖像解析式，求其交點(diǎn)即可求解．【小問1詳解】解：由圖像可知：30分鐘后，私家車離開學(xué)校的路程y才開始增加，所以小明遲到了30分鐘，又有50分鐘時私家車離學(xué)校25千米，60分鐘校車離學(xué)校25千米，所以小明先到目的地；故答案為：30，小明；【小問2詳解】由圖像可知：校車在30分鐘后繼續(xù)開動，校車行駛的時間為（分鐘），30分鐘=小時，則校車第二次開動后的速度是：（km/h）；故答案為：30；【小問3詳解】設(shè)私家車的函數(shù)解析式為：，將（30，0），（50，25）代入得：，得到：，私家車的函數(shù)解析式為：，設(shè)校車第二次啟動后的解析式為：，將代入得：解得：，校車第二次啟動后的解析式為：，則由解得：，（分鐘），（千米），∴小明出發(fā)后用了分鐘追上校車，在距離目的地千米的地方追上校車．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的信息識別，一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，兩直線交點(diǎn)問題，正確獲取函數(shù)圖像信息，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．23.現(xiàn)有長與寬分別為a、b小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于a、b的關(guān)系式：（用含a、b的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；（2）根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：①若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；②請直接寫出下列問題答案：若2m+3n＝5，mn＝1，則2m﹣3n＝；若（4﹣m）（5﹣m）＝6，則（4﹣m）2+（5﹣m）2＝．（3）如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝7，兩正方形的面積和S1+S2＝16，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）；（2）①12；②±1，13（3）【解析】【分析】（1）由圖1可知，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加上兩個長方形的面積可得；由圖2可知，大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積可得；（2）①把兩邊平方后，再代入x2+y2＝40，即可求出的值；②根據(jù)將原式變形求解即可；（3）設(shè)，得，把變形為，再代入求值即可【小問1詳解】圖1表示為：；圖2表示為：故答案為：；【小問2詳解】①∵∴∵x2+y2＝40∴∴；②由圖2知，則∴∵∴∴∴；∵，即設(shè)∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，∴∴故答案為：±1；13【小問3詳解】設(shè)∵∴∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，用兩種方法表示同一個圖形面積是求解本題的關(guān)鍵．24.【閱讀理解】：兩條平行線間的拐點(diǎn)問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例如：如圖1，，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；證明：如圖1，過點(diǎn)A作，∵，，∴，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；【類比應(yīng)用】已知直線，P平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；說明理由．（2）如圖3，設(shè)、、直接寫出、、∠P之間的數(shù)量關(guān)系為______．【聯(lián)系拓展】如圖4，直線，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，運(yùn)用（2）中的結(jié)論，求∠N的度數(shù)．說明理由．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P=180°；（3）∠N的度數(shù)為45°【解析】【分析】(1)過點(diǎn)P