2024屆山東省齊魯名校高三上學(xué)期第一次9月學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(（解析版）)

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省齊魯名校2024屆高三上學(xué)期第一次（9月）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以．故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限．故選：A.3.某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（）A.3種 B.7種 C.12種 D.24種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C.4.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（）A.5 B.7 C.9 D.12〖答案〗A〖解析〗由得，，所以．故選：A.5.已知向量，，函數(shù)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為圖象對(duì)稱中心的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意．令，，所以，，所以圖象的對(duì)稱中心為，故函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是．故選：B.6.某公司年會(huì)的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁四個(gè)封閉的盒子，盒子內(nèi)裝有現(xiàn)金．為活躍氣氛，主持人通過(guò)大屏幕給出四個(gè)〖提示〗，且只有一個(gè)〖提示〗是真的．〖提示〗1：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金不都是3000元；〖提示〗2：乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元；〖提示〗3：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金都是3000元；〖提示〗4：丁盒子中裝的現(xiàn)金不是5000元，由此可以推斷（）A.甲盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 B.乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元C.丙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 D.丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椤继崾尽?和〖提示〗3矛盾，所以〖提示〗1和〖提示〗3一真一假，因此〖提示〗2和4是假的．〖提示〗2為假能夠推斷乙盒子中裝的現(xiàn)金不是3000元，故B錯(cuò)誤；由〖提示〗4為假可知，丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元，故D正確；由〖提示〗2和〖提示〗4為假能判斷〖提示〗1正確，〖提示〗3錯(cuò)誤，但無(wú)法判斷甲、丙兩個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金是多少，故A，C錯(cuò)誤．故選：D.7.已知函數(shù)的極小值為，極小值點(diǎn)為，零點(diǎn)為．若底面半徑為1的圓錐的高，則該圓錐的表面積為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極小值，極小值點(diǎn)，令，解得，即，于是，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以該圓錐的表面積為．故選：B8.已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（）A. B.2C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因?yàn)椋环猎O(shè)，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.二、選擇題9.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊位于第三象限，且與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由三角函數(shù)定義，得，得．又是第三象限角，，所以，所以，，，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確；，則，故D正確．故選：ACD.10.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長(zhǎng)速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國(guó)校車銷量走勢(shì)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率與環(huán)比增長(zhǎng)率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)小于環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)C.1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差〖答案〗BCD〖解析〗2022年8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率比9月的低，故A錯(cuò)誤；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差為，同比增長(zhǎng)率的極差為，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差，故C正確；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的波動(dòng)大于同比增長(zhǎng)率的，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故C正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，且，所以，，，在一個(gè)周期內(nèi)，，所以，故D正確．故選：ACD12.已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（）A.直線與直線異面B.若是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.直線與平面所成角的正弦值為D.球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，如圖①，連接，，則，，所以，

所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，，所以，則的最小值為，故B正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖③，設(shè)球的半徑為，根據(jù)對(duì)稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)處.,則，所以球的表面積，故D正確．故選：BD.三、填空題13.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是，第75百分位數(shù)為，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，，所以．故〖答案〗為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________．〖答案〗4〖解析〗由于的面積為，由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為4．故〖答案〗為：4.15.已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開(kāi)式中的一個(gè)有理項(xiàng)__________．〖答案〗，，（寫出其中一個(gè)即可）〖解析〗由題意知，所以，整理得，解得或（舍去），所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，，．若為有理項(xiàng)，則，所以，4，8，故展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為：，，．故〖答案〗為：，，16.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，P為內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)P滿足，且，則的最大值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，整理可得，故點(diǎn)P在的平分線上，同理可得點(diǎn)P在的平分線上，所以點(diǎn)P為的內(nèi)心．如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，，由，得，由D，A，C三點(diǎn)共線得，所以．因?yàn)?，所以，代入得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．四、解答題17.已知函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，，求．（1）解：由函數(shù)的圖象，可得，即，所以，又由最高點(diǎn)是，所以，即，因?yàn)?，所以，可得，所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．令，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋裕曰?，所以或，?dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以；當(dāng)時(shí)，由勾股定理，得，所以．故邊的長(zhǎng)為或．18.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公比為，由，，，成等差數(shù)列，得，．當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，所以，，則．綜上，或．（2）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，所以．綜上，或19.如圖，在三棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平?又平面，所以．又，是的中點(diǎn)，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，則，，，，，，所以，，，則平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．20.研學(xué)旅行作為一種新興的教學(xué)方式，越來(lái)越受中學(xué)生的青睞，國(guó)家也頒布了一系列政策推進(jìn)研學(xué)旅行發(fā)展．為了解學(xué)生對(duì)“暑期研學(xué)旅行”的滿意度，某教育部門對(duì)180名初一至高三的中學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．參與問(wèn)卷調(diào)查的男女比例為5：4，女生初、高中比例為3：1．（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別是否有關(guān)聯(lián)；性別滿意度合計(jì)滿意不滿意男生80女生50合計(jì)（2）該教育部門采用分層隨機(jī)抽樣的方法從參與問(wèn)卷調(diào)查的女生中抽取了8名學(xué)生．現(xiàn)從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)抽取的女生是初中生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.0250.010.0050.00127063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則列聯(lián)表如下表所示：性別滿意度合計(jì)滿意不滿意男生8020100女生503080合計(jì)13050180零假設(shè)為：“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），則的可能取值為2，3，4，，，，所以的分布列為234故21.已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．（1）求的方程；（2）證明：．（1）解：由題意知，將代入，解得，所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，，所以，故拋物線的方程為．（2）證明：法一：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．對(duì)求導(dǎo)，得，所以，所以．由得所以．當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性得，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即．綜上，．法二：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．對(duì)求導(dǎo)，得，由得所以．因?yàn)?，，所以．又，所以?2.已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．（1）解：因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故．因?yàn)?，所以．令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．又對(duì)任意的，存在，使，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）證明：令，，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．令，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．又，所以．因?yàn)?，所以，故，即．山東省齊魯名校2024屆高三上學(xué)期第一次（9月）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以．故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限．故選：A.3.某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（）A.3種 B.7種 C.12種 D.24種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C.4.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（）A.5 B.7 C.9 D.12〖答案〗A〖解析〗由得，，所以．故選：A.5.已知向量，，函數(shù)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為圖象對(duì)稱中心的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意．令，，所以，，所以圖象的對(duì)稱中心為，故函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是．故選：B.6.某公司年會(huì)的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁四個(gè)封閉的盒子，盒子內(nèi)裝有現(xiàn)金．為活躍氣氛，主持人通過(guò)大屏幕給出四個(gè)〖提示〗，且只有一個(gè)〖提示〗是真的．〖提示〗1：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金不都是3000元；〖提示〗2：乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元；〖提示〗3：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金都是3000元；〖提示〗4：丁盒子中裝的現(xiàn)金不是5000元，由此可以推斷（）A.甲盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 B.乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元C.丙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 D.丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椤继崾尽?和〖提示〗3矛盾，所以〖提示〗1和〖提示〗3一真一假，因此〖提示〗2和4是假的．〖提示〗2為假能夠推斷乙盒子中裝的現(xiàn)金不是3000元，故B錯(cuò)誤；由〖提示〗4為假可知，丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元，故D正確；由〖提示〗2和〖提示〗4為假能判斷〖提示〗1正確，〖提示〗3錯(cuò)誤，但無(wú)法判斷甲、丙兩個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金是多少，故A，C錯(cuò)誤．故選：D.7.已知函數(shù)的極小值為，極小值點(diǎn)為，零點(diǎn)為．若底面半徑為1的圓錐的高，則該圓錐的表面積為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極小值，極小值點(diǎn)，令，解得，即，于是，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以該圓錐的表面積為．故選：B8.已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（）A. B.2C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因?yàn)?，不妨設(shè)，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.二、選擇題9.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊位于第三象限，且與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由三角函數(shù)定義，得，得．又是第三象限角，，所以，所以，，，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確；，則，故D正確．故選：ACD.10.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長(zhǎng)速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國(guó)校車銷量走勢(shì)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率與環(huán)比增長(zhǎng)率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)小于環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)C.1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差〖答案〗BCD〖解析〗2022年8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率比9月的低，故A錯(cuò)誤；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差為，同比增長(zhǎng)率的極差為，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差，故C正確；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的波動(dòng)大于同比增長(zhǎng)率的，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，且，所以，，，在一個(gè)周期內(nèi)，，所以，故D正確．故選：ACD12.已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（）A.直線與直線異面B.若是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.直線與平面所成角的正弦值為D.球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，如圖①，連接，，則，，所以，

所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，，所以，則的最小值為，故B正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖③，設(shè)球的半徑為，根據(jù)對(duì)稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)處.,則，所以球的表面積，故D正確．故選：BD.三、填空題13.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是，第75百分位數(shù)為，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，，所以．故〖答案〗為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________．〖答案〗4〖解析〗由于的面積為，由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為4．故〖答案〗為：4.15.已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開(kāi)式中的一個(gè)有理項(xiàng)__________．〖答案〗，，（寫出其中一個(gè)即可）〖解析〗由題意知，所以，整理得，解得或（舍去），所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，，．若為有理項(xiàng)，則，所以，4，8，故展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為：，，．故〖答案〗為：，，16.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，P為內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)P滿足，且，則的最大值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，整理可得，故點(diǎn)P在的平分線上，同理可得點(diǎn)P在的平分線上，所以點(diǎn)P為的內(nèi)心．如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，，由，得，由D，A，C三點(diǎn)共線得，所以．因?yàn)?，所以，代入得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．四、解答題17.已知函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，，求．（1）解：由函數(shù)的圖象，可得，即，所以，又由最高點(diǎn)是，所以，即，因?yàn)?，所以，可得，所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．令，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以；當(dāng)時(shí)，由勾股定理，得，所以．故邊的長(zhǎng)為或．18.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公比為，由，，，成等差數(shù)列，得，．當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，所以，，則．綜上，或．（2）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，所以．綜上，或19.如圖，在三棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平?又平面，所以．又，是的中點(diǎn)，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，則，，，，，，所以，，，則平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．20.研學(xué)旅行作為一種新興的教學(xué)方式，越來(lái)越受中學(xué)生的青睞，國(guó)家也頒布了一系列政策推進(jìn)研學(xué)旅行發(fā)展．為了解學(xué)生對(duì)“暑期研學(xué)旅行”的滿意度，某教育部門對(duì)180名初一至高三的中學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．參與問(wèn)卷調(diào)查的男女比例