高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (二)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)'直線'平面之間的位置關(guān)系》解答題(2)

1.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體488-418?%中，E,F,G,P,Q分別是C￡),CQ,公&，

AB的中點(diǎn).

(1)證明：PFc5p?GEF-,

⑵求Q到平面EFG的距離.

2.如圖，矩形ABCO中，2BC=CD,E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使4

達(dá)到P的位置，且PC1BC,M,N,尸分別為尸B,BC,EC的中點(diǎn).

(I)求證：PE1BF；

(II)求直線ND與平面MEC所成角的正弦值.

3.已知平面ABCL平面AC。，ABBCD,BE_LAC于點(diǎn)E.

A

(1)判斷￡>C與BE的關(guān)系;

(2)求證：DC1BC.

4.如圖在一個(gè)長(zhǎng)方體的容器中，里面裝有一些水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的

過(guò)程中，判斷下面的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形;

(2)水的形狀不斷變化，可能是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_(tái)或棱錐.

5.如圖，正方體4BCD-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為4,E,M分別是8C,的中點(diǎn).

(1)求證：A1，D,M,E四點(diǎn)共面；

(2)已知N在棱CCi上，求四面體為BMN的體積.

6.如圖棱錐P-ABCD的底面是菱形，AB=2,皿B=p側(cè)面PAB垂直于底面ABCD,且APAB

是正三角形.

(I)求證：PDJLAB；

(n)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.

7.如圖，已知PAJ■平面ABCC,且四邊形4BCC為矩形，M、N分別是A3、PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN1CD；

(2)若4PzM=45°,求證：MN1平面PCD.

8.如圖，ABC。—aaGDi是正方體，在圖1中，E,尸分別是GDi，BB1的中點(diǎn)，分別畫出圖1,

圖2中有陰影的平面與平面ABC。的交線，并給出證明.

9.如圖所示，在正方體4BCD中，E,尸分別是441，AB的中點(diǎn)，試判斷下列各對(duì)線段

所在直線的位置關(guān)系.

(1)4B與CG；

(2)4祖與DC；

(3)DiE與CF.

10.如圖所示，平行四邊形A8CD中，4。4B=45。,AB=2,4"=2vL將△CBD沿8。折起到△EBD

的位置，使平面EBD_L平面A8。

(1)求證：直線ABIDE；

(2)求三棱錐E-4B0的側(cè)面積.

11.如圖，在三棱錐P—ABC中，4ABe是等邊三角形，PA=PB.

(1)證明：AB1PC.

(2)若P4=PC=V7，AB=2如，求二面角力一PC—8的正弦值.

12.如圖，在三棱柱4BC-&B1G中，CCrABC,AC1BC,AC=

BC=2,CC[=3,點(diǎn)O,E分別在棱44i和棱CCi上，且AD=l,CE=2,

M為棱&Bi的中點(diǎn).

(1)求證：CiMJ.81。；

(2)求二面角B-&E-。的余弦值;

13.如圖，已知平面a與平面/?相交于直線〃?，直線nu/?,且men=4直線1ua,且〃/m.證明:

n,/是異面直線.

14.如圖，在直三棱柱力BC-&B1G中，E,F分別為&Bi，BiG的中點(diǎn).求證：平面4CG必與平

面BEF相交.

15.如圖所示，直角梯形48C￡＞中，AD//BC,AD1AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EOC尸為矩

形，CF=V3，平面EOCF平面ABCD

E

(I)求證：。尸〃平面ABE；

(口)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值;

(HI)在線段。尸上是否存在點(diǎn)尸，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為手，若存在，求出線段

BP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.如圖，在三棱柱ABC-aBiG中，CCiJ_平面ABC,AC=BC==1,ACA.BC,且￡),E,

F,Di分別為棱48,BC,AC,4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).

(/)證明：直線&尸與BiE共面;

(口)求。到平面&B1EF的距離.

17.如圖，在直三棱柱4BC-&B1G中，D,E分別為AB,4c的中點(diǎn).

(1)求證：B1G〃平面ADE；

(2)若平面為DEJ■平面求證：AB1DE.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PC_L底面ABC。，ABC。是直角梯

形，AD1DC,ABI/DC,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E是PB的

中點(diǎn).

(I)線段PA上是否存在一點(diǎn)G,使得點(diǎn)O,C,E,G共面，存在請(qǐng)證

明，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

(口)若「。=2,求二面角P-AC—E的余弦值.

19.如圖，在直三棱柱ABC—4B1G中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).

(1)求證：B1G〃平面&DE；..............（5分）

(2)若平面力1DE1平面ABBMi，求證：AB1DE.（7分）

20.如圖所示，M,N,P分別是正方體力8。。一41/6。1的棱48,BC,。以上的點(diǎn).

(1)若MN〃AC,求證：無(wú)論點(diǎn)P在。外上如何移動(dòng)，總有MN_LBP.

(2)棱DO】上是否存在點(diǎn)P,使得平面力PC】_L平面441C1C?證明你的結(jié)論.

【答案與解析】

1.答案：答案：

(1)證明：如圖，連接BiC,

在△QCBi中，P,F分別是BiG，GC的中點(diǎn)，

所以PF是AGCBi的中位線，則PF〃BC

在正方體/BCD—4B1GD1中，DC〃&Bi，G,E分別是DC的中點(diǎn),

貝|JEC〃GB「EC=GB、,所以四邊形GB]CE是平行四邊形，則BiC〃GE,

所以尸尸〃GE,所以PFu平面GEE

(2)解：如圖，在正方體4BCD-4/165中，連接OE,QG,QF,

△QGE是直角三角形，QE=QG=2,GE=yjQE2+QG2=2^2.

而且CCi〃BBi〃QG,CCrC平面QGE,

所以CC]〃平面QGE,所以點(diǎn)尸到平面QGE的距離等于點(diǎn)C到平面QGE的距離,

易知CE1平面QGE,所以點(diǎn)尸到平面QGE的距離為CE=1,

而EF=VEC2+CF2=V2.GF=jGCf+5=dGB；+當(dāng)以+?=<12+22+I2=V6?

在AFGE中，EF2+GF2=GE2,所以△FGE是直角三角形，

設(shè)求。到平面EFG的距離為d,在三棱錐Q—GEF中，VQ_GEF=VF_QGE,

即沁QGE?CE=2GEF?d,即:嗎義QExQGxCE巖嗎xEFxGF?d,

即;x；x2x2xl=；x；x夜xV^xd,解得d=2,所以Q到平面EFG的距離為2.

323233

解析：解析：

本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間中的距離的求法

(1)連接BiC,先證得四邊形GBiCE是平行四邊形，得B1c〃GE,PF//GE,即可得證

(2)由等體積法即為_(kāi)GEF=VF-QGE'可求得Q到平面EFG的距離.

2.答案：解：(I)證明：設(shè)BC=2,則BN=CN=1,CF=EF=1,

以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過(guò)C作平面BCE的垂直CQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(2,0,0),E(0,2,0),尸(0,1,0),

設(shè)P(x,y,z),PB=CD=2BC=4,

則PE=y/PD2+DE2=V22+22=2VLPC=>/PB2-BC2=V42-22=2百,

(x-2)2+y2+z2=16

????x2+(y—2)2+z2=8,解得x=0,y=2,z-2V2,

、/+y2+z2=12

???P(0,2,2V2).

~PE=(0,0,-2V2),而=(-21，0),

.-.PE-BF=0,--PFA.BF.

(n)解：?.?時(shí)為32中點(diǎn)，；.時(shí)(1/，V2)，則由=之西=(一1,1,V2).

"ID=^BP=BM=(-1,1,V2)..1,D(-l,3,V2),N(l,0,0),

'DN=(2,-3,—應(yīng))，設(shè)面MEC的法向量記=(_x,y,z),

由E.肛="+"低=°，取“魚，得記=(&,。，-D，

(n-CF=y=0'

設(shè)直線ND與平面MEC所成角為。，

_曰而_叵

Amjustn0一而麗I一_反3=屈——?

???直線NO與平面MEC所成角的正弦值為唱.

解析：(I)以C為原點(diǎn)，C8為x軸，CE為y軸，過(guò)C作平面8CE的垂直CQ為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PF1B凡

(口)求出面MEC的法向量，利用向量法能求出直線ND與平面MEC所成角的正弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

3.答案：解：⑴DC1BE,理由如下：???平面ABC1平面ACD,BE14c于點(diǎn)E,平面ABC0平面ACD=

AC,BEu平面A8C,二BEJ■平面AC。，又DCu平面AC。，BE1DC.

(2)證明：:AB1平面BCD,CDBCD,AB1CD.vBELCD,ABCiBE=B,AB,BEu平

面ABC,■■CDJ_平面ABC,又BCu平面ABC,：.CDIBC.

解析：本題考查的線段之間的關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題；

(1)由平面4BC_L平面AC￡),BEJ.AC于點(diǎn)E,AC是兩平面的交線可得BE1平面4s由此可得結(jié)論.

(2)4B1?平面BCD,CDu平面BCD,可得AB1CD.進(jìn)而可得CD，平面ABC,可得結(jié)論.

4.答案：解：(1)不對(duì)，水面的形狀就是用一個(gè)與棱

(將長(zhǎng)方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱)平行的平

面截長(zhǎng)方體時(shí)形成的截面，截面的形狀可

以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行

四邊形.

(2)不對(duì)，水的形狀就是用與棱(將長(zhǎng)方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的

棱)平行的平面將長(zhǎng)方體截去一部分后，剩余部分的幾何體,

此幾何體是棱柱.水比較少時(shí)，是三棱柱;水比較多時(shí)，可能

是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱臺(tái)或棱錐.

解析：本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查平面的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

(1)長(zhǎng)方體的特征及平面的性質(zhì)，知水面的形狀就是用一個(gè)與棱平行的平面截長(zhǎng)方體時(shí)形成的截面,

從而可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)水的形狀就是用與棱平行的平面將長(zhǎng)方體截去一部分后，剩余部分的幾何體，

即可得結(jié)論.

5.答案：解：(1)證明：連接&D,BC

因?yàn)?&〃DC且=DC,

所以四邊形&B1CD是平行四邊形，

所以4O〃BiC,

又因?yàn)镋,M分別是BC,BBi的中點(diǎn)，

所以ME//B1C,

所以ME〃4D,

所以41，D,M,E四點(diǎn)共面；

(2)由題意，得ABA/N的面積為：

SABMN=3xBMxBC=-X2x4=4,

又易得_L平面BMN,且A/】=4,

所以四面體為BMN的體積為V=ix4x4=y.

解析：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)證出ME〃40,即可證出結(jié)果；

(2)利用棱錐的體積公式直接求即可.

6.答案：解：(I)證明：取A8的中點(diǎn)0,連接0。，0P,

由題意知，AABO為等邊三角形，

所以4BJL。。，APAB是等邊三角形，所以4B10P,

又由。PnOD=。，OP.00u平面P。。，

所以4B1平面POD,PDu平面POO,

所以PD_L4B.

(口)設(shè)點(diǎn)C到平面尸甌的距離為/?,直線PC與平面尸8。所成的角是0,則sin8=2.

因?yàn)槠矫鍼4B1?平面ABC。，POLAB,^PABn￥ffii4BCD=AB,POu平面PA8,

所以P。！平面488,PD=y/PO2+DO2=V6.

由P0J.48,得PO_LC。，PC=y]PD24-CD2=^10

由'c-PBD=^P-BCDf即3S4P8O,h=]SABCD,P。，

得三.叵?％='遍?6，h=淮，sin0=&=漁.

3235PC5

所以直線PC與平面P8O所成角的正弦值為在.

5

解析：本題主要考查空間幾何中兩直線垂直的判定以及直線與平面所成角的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

(I)觀察幾何體，通過(guò)做輔助線找出直線AB與PD所處平面的垂直關(guān)系即可；

(n)利用等體積法求出%_PBD的高h(yuǎn),再通過(guò)sin。=合即可求得.

7.答案：證明：(1)連接AC,BD,設(shè)4CnBC=0,

連接NO,MO,貝l」N0〃P4.

vPA1平面ABCD,

：.NOJ■平面ABCD,

：.NOLAB,

MOLAB,

?-?ABJ_面MNO,

：.MN1AB,而CD〃AB,

MN1CD；

(2)v/.PDA=45°,

???PA=AD=BC,由△PAM三△CBM,

得PM=CM,

又N為PC的中點(diǎn)，

MN1PC,

又MNJ.CD,PCCCD=C,

AMN1平面PCD.

解析：

本題考查線面垂直的判定定理；考查線面垂直的性質(zhì)定理，利用三角形的中位線證明線線平行，屬

于中檔題.

(1)利用兩平行線中的一條垂直于平面另一條也垂直平面判斷出N。，平面利用線面垂直的判

定定理與性質(zhì)定理得到MN1CD.

(2)利用等腰三角形的中線垂直于底邊得到MN1PC,由(1)知，MNLCD,利用線面垂直的判定定

理得到

MNJ_平面PCD.

8.答案：解：如下圖1,設(shè)N為CQ的中點(diǎn)，連接NE,NB,則EN〃BF,

:.B,N,E,F四點(diǎn)共面，

??.EF與N8的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為M,連接AM.

???MeEF,且M6NB,EFu平面AEF,NBu平面ABC。，

?1.M是平面ABC。與平面4EF的公共點(diǎn)，

又???點(diǎn)A是面ABCD和平面AEF的公共點(diǎn)，

力”為兩平面的交線.

如下圖2,延長(zhǎng)0c到點(diǎn)使CM=DC,連接BM,C】M,則G"〃。修〃&B,

M在平面a$G內(nèi)，

又M在平面ABCD內(nèi)，

???M是平面48cl與平面A3CC的公共點(diǎn)，又8是平面&BC］與平面A3C。的公共點(diǎn)，

???BM是平面&BC1與平面ABCD的交線.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)以及交線的畫法，考查空間想象能力，屬于中檔題.

先找出兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，再畫出過(guò)它們的直線，該直線即為兩個(gè)平面的交線.

9.答案：解：(1);CC_L平面A3。。，

又；ABu平面.ABCO,

AB1CG,

5LAB//CD,6<=平面。。。1。1，

48〃平面CODiG，故AB與CG不相交，

即AB與CG是異面直線；

(2)vDC//AB,A^J/AB,

???A1B1//DC9

所以必當(dāng)與OC是平行直線；

⑶「E,P分別是4遇，AB的中點(diǎn)，所以EF空4B,又A、B&DQ所以EF」

所以E,F,C,劣共面且EF<L)iC,

???D】E與CF相交.

解析：本題考查空間直線的位置關(guān)系，解題時(shí)關(guān)鍵弄清直線與直線平行、相交、異面的概念，屬于

基礎(chǔ)題.

(1)判斷ABlCCi，力B〃平面CDCiG，可得A8與CCi是異面直線；

(2)根據(jù)平行線的傳遞性可得為&與。C是平行直線；

(3)先判斷與CF共面，又由EF<Z\C,可得與CF相交.

10.答案：(1)證明：在△48。中，vAB=2,AD=20/-DAB=45°,BD2=AB2+AD2-2AB-

AD-cos^DAB=4,JAlmAB2+BD2=AD2,所以ABJ.BD,

又平面EBD_L平面ABD,平面EBDC平面ABD=BD,ABu平面ABD,

AB_L平面EBD,?：DEu平面EBD,AB±DE

(2)解：顯然，S^BDE=SABCD=SAABD=3AB-BD=2,

又ABI平面BDE,BEu平面BOE,4B1BE,

?1?BE=BC=AD=2vLSMBE=-BE=2vL

???DE1BD,且平面BDE_L平面ABD,平面EBDn平面ABO=BD,DEu平面EBD,

DEI5??ABD,又4。u平面AB。，二EO140,

SMDE='DE—25/2,

綜上，三棱錐E-ABD的側(cè)面積為4魚+2.

解析：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的側(cè)面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間

思維能力的培養(yǎng)

(1)由勾股定理得481BD,由面面垂直得4BL平面EBD,由此能證明48_L0E.

⑵由已知得SABDE=SABCD=SAAB。―548,BD=2,SMBE=348,BE—2V2,5AXDE=54。'

DE=2企由此能求出三棱錐E的側(cè)面積.

11.答案：(1)證明：取A8的中點(diǎn)。，連接PC,CD.

因?yàn)镻4=PB,所以AB1PD.

因?yàn)榈酌妗鰽BC是等邊三角形，所以4C=BC,所以4B1CD.

因?yàn)镻DnCD=D,所以431平面「。。/。匚平面~7￡),CDu平面PC￡>,

因?yàn)镻Cu平面PCD,所以力B1PC;

(2)解：由(1)可知力B_L平面PCD,則以。為原點(diǎn)，麗,配的方向分別為x,y軸的正方向，

垂直平面ABC向上為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

因?yàn)锳B=2百，AP=用,所以4D=BD=W，所以CO=3,PD=好不=2,

則cosNPDC=誓言=3從而P(0/，B)，4(—舊,0,0)，B(g,0,0)，

C(0,3,0),故定=(0,2,一回AC=(V3,3,0),BC=(-V3,3,0).

設(shè)平面尸AC的法向量為五=(x1,y1,z1)f

則E叱=2廠84=。，令…3,得元=(3,-V3,-2).

同?AC=遍/+3y1=0,

設(shè)平面P8C的法向量為沆=(x2,y2?Z2),

則佇.竺=2"恁2=。，令右

=3,得3=(3,祗2).

[mBC=-V3X2+3y2=°,

IITXT.—?―>、記?沅9—3—41

從而cos<n,m>=而而=b9

故二面角4—PC—B的正弦值為薩?

解析：本題考查線面垂直的判定判斷線線位置關(guān)系以及利用空間向量法求二面角的正弦值，屬于中

檔題目.

(1)利用線面垂直的判定定理得出AB，平面PCD,進(jìn)而得出AB1PC；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系求出面APC與面PC8的法向量，進(jìn)而由公式得出cos〈元,沆〉，求出二面

角A-PC-B的正弦值即可.

12.答案：證明：(1)AC=BC,：.4cl=BG，

???M為棱為當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，GM，&&.

???CCi1平面ABC,BBJ/CC^,ABBi1平面ABC,即電1

平面A/iG，

又BB、u平面488遇],平面_L平面為當(dāng)口，

又平面ABB1&n平面力iB1Ci=力道1，GMu平面4B1G，

C-iM1?平面ABB1公,

vB[Du平面ABB1公,

???CrM1當(dāng)0；

解：(2)以C為原點(diǎn)，C4、CB、CCi所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),8(0,2,0),0(2,0,1),8式0,2,3),E(0,0,2),

=(0,-2,-1).DE=(-2,0,1),

設(shè)平面BiE。的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),

則[工..=_2y_z=0,令z=2,得記=(1,_1,2),

(jin-DE=-2x+z=0

???CCI1平面ABC,：.CC11AC,

???AC1BC,CC'CBC=C,CC、、BCu平面

AC，平面8%,

平面BE%的一個(gè)法向量為記=(1,0,0),

.?.cos<—>m—*,n>=1^=V-6>

由圖可知，平面/ED與平面SEB1所成角為銳角，

故二面角8-B[E-。的余弦值為

解析：(1)由CC]，平面ABC,可推出SB11平面&B1Q,進(jìn)而得平面4BB1&_L平面乙當(dāng)?shù)?，易知GM1

①勺，再由面面垂直的性質(zhì)定理可證得QM_L平面4BB遇1，故C.M1B】D；

(2)以C為原點(diǎn)，以。、CB、CCi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出4、B、D、

Bi、E的坐標(biāo)，根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面的法向量沅；可證得4C1平面BEBi，故平面BEB1的

一個(gè)法向量為元=(1,0,0),由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B-BiE-D的余弦值.

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角和二面角的求法，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)

定理、面面垂直的性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理線面角、二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)

生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.答案：證明：若〃，/共面，設(shè)該平面為y,

vAEn,ncy,

???AGyf

又?.?兩luy,.?.平面y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線/,

平面y與a重合，

由于a與y重合，且muy,

???平面經(jīng)過(guò)直線”和小

m與〃是相交直線，

??.y與0也重合，于是a與￡重合，這就與條件平面a與平面￡相交于直線機(jī)矛盾，

故假設(shè)不成立。/是異面直線.

解析：本題考查異面直線的判定，屬于中檔題.

利用反證法證明直線異面.

14.答案：【證明】???在矩形44B1B中，E為A聲1的中點(diǎn)，

:.441與BE不平行，

則441，BE的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為G,

G&AA^>GGBE.

又AAiu平面ACC14,BEu平面BEF,

Ge平面4CG4，Ge￥ffiBEF,

???平面4CG①與平面BEF相交.

解析：

本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于一般題.

根據(jù)兩平面相交的性質(zhì)證明即可.

15.答案：解：（I）證明：取。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，QE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

如圖所示：

則4(1,0,0),8(1,2,0),

E(0,0,g)，F(xiàn)(-l,2,V3).

BE=(-1,-2,V3)-AB=(0,2,0),

設(shè)平面ABE的法向量為五=(%,>',z),

(-X—2y+V3z=0

"k2y=0J

y=0,令Z=l,則％=V5，

???平面ABE的法向量為記=(V3,0,1),

又麗^(-1,2,V3)，

.-.DFn=-V3+0+V3=0>

:.OF1n>

又...DFC平面ABE,

???〃平面ABE；

(H)vBF=(-1，-2,V3).BF=(-2,0,回

設(shè)平面BEF的法向量為記=(a力，c),

.(—a-2b+V3c=0

I—2a+V3c=0

令c=4,則a=2A/3，b=V3>

則平面8EF的法向量為沅=(2>/3,V3,4).

設(shè)平面ABE與平面EFB所成銳二面角為仇

c1mn.105>/31

?,?處。=|而而|=年=寸

平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值是鬻；

(UI)設(shè)麗=2加=X(-l,2,V3)

=(-A,2A,V3A)>AG[0,1],

P(-A,2A,V31)，BP=(-A-1,24-2,V3A).

又平面ABE的法向量為五=(V3,0,1),

設(shè)直線BP與平面ABE所成角為a,

?-sina=|cos<BP，n>\=

_|一(一；1-1)+6；l|_V3

J(-A-l)2+(2A-2)2+(V3A)2X24，

化簡(jiǎn)得8"—6A+1=0,

解得;I=Eu=~

當(dāng)，=9時(shí),BP=(-1,-l,y)，

A1BPI=2;

當(dāng)，=凱寸,肝=(一|,-|卓，

.-.\BP\=2;

綜上，I前I=2.

解析：本題主要考查利用向量方法解決立體幾何的應(yīng)用問(wèn)題，考查利用空間向量判定線面平行關(guān)系

和利用空間向量求線面和面面的夾角，確定平面的法向量是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

(I)取。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，QE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE的

法向量成與向量而，根據(jù)而?元=0證明而J.元，從而證明DF〃平面A8E；

(II)求平面BEF的法向量沅，再計(jì)算平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值；

(ID)設(shè)笳=2詼，Ae[O,l],求向量而與平面ABE的法向量記所成角的余弦值，列出方程解方程得;I

的值，從而求出|前|的值.

16.答案：(1)證明：-E,尸分別是BC,AC的中點(diǎn)，??.EF〃4B,

由棱柱性質(zhì)易得EF〃48i，

E,F,公，Bi四點(diǎn)共面，即直線為尸與BiE共面.

(2)解：如圖，設(shè)CODE如=0,則ODi=平面4/花/0平面CQDiD,

過(guò)。作10D]于H,可得OH即為。到平面&B1EF的距離，

在RtAOOOi中，-AC=BC=1,AC1BC,

AB=V2，CD=—,則0。=—,又DDi=AA=1,

24r

則在RtAOO2中，0%=+。耳=Ji+；凈

故DH=等"=1即0到平面4道止尸的距離為"

C

解析：本題考查兩直線共面的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間

的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(1)推導(dǎo)出E/7/4B,由棱柱性質(zhì)得從而E/7/&B1，由此能證明直線4F與8出共面；

(2)如圖，設(shè)C￡)nEF=。，過(guò)。作DHd.0為于，，可得。，即為。到平面力道遂?的距離，從而根

據(jù)等也求解即可.

17.答案：證明：(1)在直三棱柱中，四邊形/BCG是平行四邊形，所以/CJ/BC.

在4ABe中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，故8C//DE,

所以BiCJ/DE.

又BiQu平面A、DE,DEu平面A、DE,

所以BiG〃平面4DE.

(2)如圖，在平面內(nèi),過(guò)A作4F1&0于F.

因?yàn)槠矫?DE平面44BB1，平面&DEn平面=&。，AFu平面A[ABB、,

所以4F1平面4DE.

又DEc平面A\DE、所以4F1DE.

在直三棱柱ABC-AiBiG中，平面ABC,DEu平面ABC,所以4遇，DE.

因?yàn)?Fn414AFu平面A\ABB?A】Au平面A、ABB\,所以O(shè)E_1平面414881.

因?yàn)?Bu平面A、ABB\,所以DEJ.AB.

解析:

本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能

力以及邏輯推理能力.

(1)證明BiCJ/BC,推出BiCJ/OE,然后證明BiG〃平面40E.

(2)在平面內(nèi)，過(guò)4作力Fl&D于凡證明AF_L平面4CE,推出2F1DE,證明441CE,

得到DE工平面44B&,即可證明DE1AB.

［易錯(cuò)警示］在立體幾何中，一定要用課本中允許的有關(guān)定理進(jìn)行推理論證，在進(jìn)行推理論證時(shí)一定

要將定理的條件寫全，不能遺漏，否則，在評(píng)分時(shí)將給予扣分.高考閱卷對(duì)立體幾何題證明的規(guī)范

性要求很高.要適度關(guān)注性質(zhì)定理的使用，因?yàn)樾再|(zhì)定理的使用往往涉及添置輔助線或輔助平面，

這無(wú)疑就增加了試題的難度.

18.答案：解：(I)證明：存在%的中點(diǎn)G滿足條件，P

連接GE,GD,則GE是三角形PAB的中位線，

所以GE〃/1B,又由已知力B〃DC,

所以GE〃Z)C,所以G,E,C,。四點(diǎn)共面./二，/'\s

(H)取AB的中點(diǎn)M,連接CM,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，/______

以CM,CD,CP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),P(0,0,2),4(1,1,0),FCp-j.l),

所以石？=(1J，0),CP-(0,0,2),CE=C，-1,1),

設(shè)記=(Xi，yi，Zi)為平面P4C的法向量，

則沆-CA=x1+y1=0fm-CP=2z1=0，

得Zi=0,令=1,=-1,得記=(1,—1,0),

設(shè)記=(%2，丫2,22)平面ACE的法向量，

則元,CA=%2+丫2=°，幾CE=-%25y2+Z2=0，

取%2=1，=—2、Z2=—1,即3=(1,—1,—1),

所以COS<而，元>=1X1+(T)1〉)+°X(T)=漁,

72733

又因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，所以二面角P-A