2025屆江蘇省蘇州市相城區(qū)南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2025屆江蘇省蘇州市相城區(qū)南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．中，角所對(duì)的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．設(shè)向量，，則向量與的夾角為()A． B． C． D．3．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．34．光線自點(diǎn)M（2，3）射到N（1，0）后被x軸反射，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．5．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．6．某學(xué)校有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全體師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若女學(xué)生一共抽取了80人，則n的值為（）A．193 B．192 C．191 D．1907．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，若A．45 B．54C．63 D．278．若函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．9．將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．10．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)之和為，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線在軸上的截距為（）A．-10 B．-9 C．10 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某縣現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師500人，統(tǒng)計(jì)這500人的學(xué)歷情況，得到如下餅狀圖，該縣今年計(jì)劃招聘高中數(shù)學(xué)新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學(xué)?？茖W(xué)歷的教師比例下降到，且研究生的比例保持不變，則該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù)為_______.12．已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．13．公比為的無(wú)窮等比數(shù)列滿足：，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14．若在區(qū)間（且）上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為_____．15．在等比數(shù)列中,若,則__________.16．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則=.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．正方體的棱長(zhǎng)為點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)（1）證明：四邊形是一個(gè)梯形：（2）求幾何體的表面積和體積18．向量函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值及取最值時(shí)的值．19．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：（）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并比較與的大小.20．已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．21．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡(jiǎn)得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時(shí)不能隨便約分漏解．2、C【解析】

由條件有，利用公式可求夾角.【詳解】,.又又向量與的夾角的范圍是向量與的夾角為.故選：C3、D【解析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請(qǐng)考生切記！4、B【解析】試題分析：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線即在直線上，由，∴，故選B.考點(diǎn)：直線方程的幾種形式.5、C【解析】分析：先確定不超過30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.6、B【解析】

按分層抽樣的定義，按比例計(jì)算．【詳解】由題意，解得．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于簡(jiǎn)單題．7、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1又由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得S9【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及利用等差數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

先由誘導(dǎo)公式以及兩角和差公式得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)伸縮平移得到，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)，即的所有零點(diǎn)之和，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像，有6個(gè)交點(diǎn)，故得到根之和為.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，以及函數(shù)零點(diǎn)問題。于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)非常函數(shù)，注意讓非常函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。9、C【解析】

根據(jù)圖象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后將g（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到f（x）的圖象．【詳解】由圖象知A＝1，（），即函數(shù)的周期T＝π，則π，得ω＝2，即g（x）＝sin（2x+φ），由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得2φ＝2kπ+π，k,得φ，則g（x）＝sin（2x），將g（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到f（x）的圖象，即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）=，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結(jié)合圖象求出A，ω和φ的值以及利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．10、B【解析】試題分析：因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以其前項(xiàng)和為，令，所以直線方程為，令，解得，即直線在軸上的截距為，故選B．考點(diǎn)：數(shù)列求和及直線方程．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、50【解析】

先計(jì)算出招聘后高中數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)，然后利用比例保持不變，得到該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù).【詳解】招聘后該縣高中數(shù)學(xué)專科學(xué)歷的教師比例下降到，則招聘后，該縣高中數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)為，招聘后研究生的比例保持不變，該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和分析能力，從題目中提煉關(guān)鍵字眼“比例保持不變”是解題的關(guān)鍵.12、相交【解析】

根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個(gè)圓相交．故答案為：相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．13、【解析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍?！驹斀狻坑深}意有，即，因?yàn)?，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。14、【解析】

首先求出在上的兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)周期性算出至少含有30個(gè)零點(diǎn)時(shí)的值即可【詳解】根據(jù)，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，∴不妨假設(shè)（此時(shí)，），則此時(shí)的最小值為，（此時(shí)，），∴的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解決此類問題通常結(jié)合周期、函數(shù)圖形進(jìn)行解決。屬于難題。15、80【解析】

由即可求出【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以即故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡(jiǎn)單16、【解析】

考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力,等比數(shù)列的通項(xiàng),有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，=-9.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）表面積為，體積為【解析】

（1）在正方體中，根據(jù)分別是棱的中點(diǎn)，由中位線得到且，又由，根據(jù)公理4平行關(guān)系的傳遞性得證.（2）幾何體的表面積，上下底是直角三角形，三個(gè)側(cè)面，有兩個(gè)是全等的直角梯形，另一個(gè)是等腰梯形求解，體積按照棱臺(tái)體積公式求解.【詳解】（1）如圖所示：在正方體中，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，所以且，所以四邊形是一個(gè)梯形.（2）幾何體的表面積為：.體積為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體中的截面問題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.18、（1），（2），最大值為；，最小值為0【解析】

（1）用已知的向量表示出，再進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可得；（2）由正弦函數(shù)的值域可得?！驹斀狻浚?）由題得，，化簡(jiǎn)整理得，因此的最小正周期為，由得，則單調(diào)增區(qū)間為.（2）若，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，當(dāng)，即時(shí)，取最小值0.綜上，當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值0.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算和函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間以及最值，知識(shí)點(diǎn)考查全面，難度不大。19、（1）見證明；（2）見解析【解析】

(1)將原式變形為，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到，錯(cuò)位相減得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件得，易知，兩邊同除以得，又，故數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為.（2）由（1）知，則……①……②兩式相減得即.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等．20、（1），]（2）值域?yàn)閇，]．【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)條件，可求出周期和，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，求出，再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求出的解析式，再利用正弦函數(shù)定義域，即可求出時(shí)的值域.【詳解】解：（1）由題意得，因?yàn)橄噜弮蓪?duì)稱軸之間距離為，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，∴，因?yàn)椋怨屎瘮?shù)令.得.令得，因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，]（2）由題意可得，因?yàn)?，所以所以?即