人教A版高二數(shù)學上學期重難點突破期末復習專題1.1 空間向量及其運算（七個重難點突破）（解析版）

專題1.1空間向量及其運算知識點1空間向量的有關概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號表示法若向量SKIPIF1<0的起點是A，終點是B，則SKIPIF1<0也可記作SKIPIF1<0，其模記為SKIPIF1<0或SKIPIF1<02.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為SKIPIF1<0單位向量1SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相反向量相反相等記為SKIPIF1<0共線向量相同或相反SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等向量相同相等SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知識點2空間向量的線性運算1.空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量SKIPIF1<0的乘積SKIPIF1<0仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義SKIPIF1<0SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的方向相同SKIPIF1<0的長度是SKIPIF1<0的長度的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的方向相反SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其方向是任意的3.空間向量的運算律交換律SKIPIF1<0結合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<0知識點3共線向量與共面向量1.直線SKIPIF1<0的方向向量定義：把與SKIPIF1<0平行的非零向量稱為直線SKIPIF1<0的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要條件是存在實數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0共面向量定理：若兩個向量SKIPIF1<0不共線，則向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使SKIPIF1<0對空間任一點O，SKIPIF1<0空間中SKIPIF1<0四點共面的充要條件是存在有序實數(shù)對SKIPIF1<0，使得對空間中任意一點SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0重難點1空間向量的線性運算1．如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，化簡下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,所以SKIPIF1<0，再根據(jù)空間向量的加法運算即可求出結果；（2）由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,所以SKIPIF1<0，再根據(jù)空間向量的減法運算即可求出結果；（3）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，再根據(jù)空間向量的加法運算即可求出結果；(1)解：因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(2)解：因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(3)解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.2．如圖，點M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點，求證：SKIPIF1<0.【答案】詳見解析.【分析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可求證.【詳解】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．在正六棱柱SKIPIF1<0中，化簡SKIPIF1<0，并在圖中標出化簡結果．

【答案】SKIPIF1<0，作圖見解析【分析】先利用正六棱柱的性質證得SKIPIF1<0，從而利用空間向量的線性運算即可得解.【詳解】因為六邊形SKIPIF1<0是正六邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又在正六棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在圖中標記如下，

4．如圖.空間四邊形OABC中，SKIPIF1<0，點M在OA上，且滿足SKIPIF1<0，點N為BC的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.【詳解】SKIPIF1<0.故選：D.5．如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：SKIPIF1<0.

【答案】證明見解析.【分析】先利用基底SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，進而證得SKIPIF1<0成立.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.6．如圖，設A是SKIPIF1<0所在平面外的一點，G是SKIPIF1<0的重心.求證：SKIPIF1<0.【答案】證明見解析.【分析】連接SKIPIF1<0，延長后交SKIPIF1<0于點E，利用G是SKIPIF1<0的重心即可得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關系.【詳解】連接SKIPIF1<0，延長后交SKIPIF1<0于點E，連接SKIPIF1<0，由G為SKIPIF1<0的重心，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.7．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用平行六面體的性質以及空間向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知：在平行六面體SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.重難點2共線問題8．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間中兩個不共線的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且A，B，D三點共線，則實數(shù)SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0；【分析】A，B，D三點共線，故存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，再由已知條件表示出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0,建立方程組可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0值．【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為A，B，D三點共線，所以存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了空間向量中三點共線問題，共線向量定理常常用來解決此問題．9．在正方體SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)分別是底面SKIPIF1<0和側面SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/－0.5【分析】作圖，連接連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構造三角形中位線解題﹒【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點E在SKIPIF1<0上，點F在SKIPIF1<0上，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<010．(多選)若空間中任意四點O，A，B，P滿足SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，其中m+n=1，則結論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點共面 D．P，A，B三點共線【答案】ACD【解析】由題意可得SKIPIF1<0，代入向量式化簡可得SKIPIF1<0，可得向量共線，進而可得三點共線，可得結論．【詳解】解:因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=n(SKIPIF1<0)，即SKIPIF1<0=nSKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共線.又SKIPIF1<0有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈直線AB.因為SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，故O，A，B，P四點共面.故答案為：ACD【點睛】本題考查平面向量的共線問題，熟練表示出向量共線的條件是解決問題的關鍵，屬中檔題．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同，且SKIPIF1<0，則λ的值為；（2）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，則λ的值為.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】根據(jù)向量共線可得答案.【詳解】由于SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向時，SKIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0是空間的一個基底，下列不能與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構成空間的另一個基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)基底向量任意兩向量不共線，三個向量不共面可判斷求解.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相加可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面故SKIPIF1<0不能與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構成空間的另一個基底．故選：A13．已知平面單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的正數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個，則SKIPIF1<0的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由向量的模的計算公式得SKIPIF1<0，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可求得答案.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由于使SKIPIF1<0成立的正數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個，故關于以SKIPIF1<0為未知數(shù)的一元二次方程有且只有一個正實數(shù)根，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0故舍去，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的范圍是唯一一個實數(shù)SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.14．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F(xiàn)在對角線A1C上，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點共線.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知得SKIPIF1<0，由此可得答案；（2）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由此可得證.【詳解】解：（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點共線.15．如圖，已知SKIPIF1<0為空間的9個點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意，SKIPIF1<0，轉化SKIPIF1<0，代入結合題干條件運算即得證；（2）由題意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，運算即得證【詳解】證明：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.重難點3向量的共面問題16．已知空間SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且其中任意三點均不共線，設SKIPIF1<0為空間中任意一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決.【詳解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且其中任意三點均不共線，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故選：B17．已知點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內，并且對空間任一點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)四點共面的知識列方程，由此求得SKIPIF1<0.【詳解】由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<018．已知SKIPIF1<0三點不共線，對于平面SKIPIF1<0外的任意一點SKIPIF1<0，判斷在下列各條件下的點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0是否共面．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0三點不共線，可得SKIPIF1<0三點共面，對于平面SKIPIF1<0外的任意一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面.（2）解：因為SKIPIF1<0三點不共線，可得SKIPIF1<0三點共面，對于平面SKIPIF1<0外的任意一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共面．19．已知SKIPIF1<0為兩個不共線的非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0四點共面．【答案】證明見解析【分析】用共面向量定理證明SKIPIF1<0共面，即可得四點共面．【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為兩個不共線的非零向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面，故原命題得證．20．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三個不共面的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面，則SKIPIF1<0的值為.【答案】-3【分析】由題知存在實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，代入條件，比較系數(shù)列方程求解.【詳解】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面，則存在實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：-3.21．下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】要使空間中的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，只需滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即可.【詳解】對于A選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點不共面；對于B選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點不共面；對于C選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點不共面；對于D選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共面.故選：D.22．若{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐項判斷可得答案．【詳解】由平面向量基本定理得：對于A選項，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個向量共面；對于B選項，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個向量共面；對于C選項，則存在實數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0共面，與已知矛盾，因此C選項中向量不共面；對于D選項，SKIPIF1<0，所以三個向量共面；故選：C．知識點1空間向量的夾角如圖，已知兩個非零向量SKIPIF1<0，在空間任取一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0，夾角的范圍：SKIPIF1<0，特別地，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，記作SKIPIF1<0知識點2空間向量的數(shù)量積運算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的數(shù)量積，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即SKIPIF1<0.2．數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結合律SKIPIF1<0交換律SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<03．投影向量在空間，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量SKIPIF1<0共線的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0稱為向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．4．數(shù)量積的性質若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零向量，則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0重難點4空間向量數(shù)量積的運算23．在正四面體SKIPIF1<0中，棱長為1，且D為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】在正四面體SKIPIF1<0中，由中點性質可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可代換為SKIPIF1<0，由向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】如圖，因為D為棱SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正四面體得性質，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，同理SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D.24．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】分析可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.25．在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0=.【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的線性運算及數(shù)量積的運算性質求解.【詳解】如圖，在正方體中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：1.26．給出下列命題：①空間中任意兩個單位向量必相等；②若空間向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③在向量的數(shù)量積運算中SKIPIF1<0；④對于非零向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中假命題的個數(shù)是．【答案】4【分析】根據(jù)空間向量的性質，結合數(shù)量積公式，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于①：空間中任意兩個單位向量的方向不能確定，故不一定相等，故①錯誤；對于②：空間向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，但方向可能不同，故不能得到SKIPIF1<0，故②錯誤；對于③：數(shù)量積運算不滿足結合律，故③錯誤；對于④：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，無法得到SKIPIF1<0，故④錯誤.所以錯誤的命題個數(shù)為4.故答案為：427．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可得SKIPIF1<0，再利用空間向量的數(shù)量積運算即可得到答案.【詳解】因為點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，所以SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B．.28．設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.其中正確的個數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷①、②、③；利用空間向量數(shù)量積的運算律可判斷④.【詳解】對于①，SKIPIF1<0，①正確；對于②，向量不能作比值，即SKIPIF1<0錯誤，②錯誤；對于③，設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，③錯誤；對于④，由空間向量數(shù)量積的運算性質可得SKIPIF1<0，④正確.故選：B.【點睛】本題考查利用空間向量數(shù)量積的定義與運算性質判斷等式的正誤，屬于基礎題.29．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，試求(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)11(2)SKIPIF1<0【分析】（1）計算SKIPIF1<0，展開計算得到答案.（2）SKIPIF1<0，代入計算得到答案.【詳解】（1）向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<030．在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，根據(jù)條件列出方程建立SKIPIF1<0的關系，利用等量代換計算SKIPIF1<0即得.【詳解】設SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0重難點5用數(shù)量積解決夾角問題31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用向量模的計算公式和向量的數(shù)量積的運算即得出BD1的長；（2）分別求出SKIPIF1<0的值，代入數(shù)量積求夾角公式，即可求得異面直線BD1與AC所成角的余弦值．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝24，∴SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以直線BD1與AC所成角的余弦值為SKIPIF1<0．32．（多選）如圖所示，平行六面體SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0是相交直線D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】對選項A，根據(jù)SKIPIF1<0，再平方即可判斷A正確，對選項B，根據(jù)SKIPIF1<0，即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)圖形即可判斷C錯誤，對選項D，根據(jù)空間向量夾角公式即可判斷D正確.【詳解】對選項A，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；對選項B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對C，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0是異面直線，C錯誤；對D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：ABD33．已知向量SKIPIF1<0都是空間向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用向量夾角公式、范圍及已知求SKIPIF1<0的大小.【詳解】由題設SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<034．已知不共面的三個向量SKIPIF1<0都是單位向量，且夾角都是SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意計算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而計算夾角即可得答案.【詳解】解：由題意，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.35．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0中點．(1)求SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)首先設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再平方即可得到答案；(2)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0計算即可.【詳解】（1）因為在平行六面體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這三個向量不共面，SKIPIF1<0構成空間的一個基底．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．36．如圖，二面角SKIPIF1<0的棱上有兩個點A，B，線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】設這個二面角的度數(shù)為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0．【詳解】解：設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的度數(shù)為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．重難點6投影向量37．在標準正交基SKIPIF1<0下，已知向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為，在SKIPIF1<0上的投影之積為．【答案】-1256【分析】根據(jù)向量的加法求得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影分別為-12，8，7，即可得答案.【詳解】解：易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影分別為-12，8，7，其在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的投影之積為SKIPIF1<0．故答案為：-12；56.38．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，則空間向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)投影的定義結合已知條件求解即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<039．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別求向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量．【答案】向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.【分析】分析可得SKIPIF1<0，利用投影數(shù)量公式可求得向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量.【詳解】解：非零向量SKIPIF1<0在非零向量SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，由空間向量的平行六面體法則可得SKIPIF1<0，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0.40．如圖，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量等于.【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出SKIPIF1<0，再根據(jù)投影向量的公式計算即可.【詳解】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.41．在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量的模是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由正方體的性質可得向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0