廣東省六校（北江中學(xué)、河源中學(xué)、清遠(yuǎn)一中、惠州中學(xué)、陽江中學(xué)、茂名中學(xué)）2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題（教師版）

北中、河中、清中、惠中、陽中、茂中2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試高一數(shù)學(xué)命題單位：北江中學(xué)數(shù)學(xué)備課組說明：本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.答案須做在答題卡上；選擇題填涂需用2B鉛筆，非選擇題需用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.考試結(jié)束后只需交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合滿足，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的交集、并集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合滿足,因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以，即集合中的元素個(gè)數(shù)為4．故選：B.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D3.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案【詳解】令，，當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則需使是上的增函數(shù)且，則且，解得，必有，故必要性成立；當(dāng)時(shí)，取，可知在上有小于零的情況，此時(shí)無意義，即充分性不成立，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：C．4.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性以及時(shí)的正負(fù)即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，是奇函?shù)，排除選項(xiàng)C和D，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)B.故選：A．5.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)，AB＝4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為（）A.64 B.62 C.34 D.32【答案】A【解析】【分析】利用線面平行的判定與性質(zhì)證明直線為過直線且過點(diǎn)B的平面與平面的交線,從而證得四點(diǎn)共面,然后在正方體中求等腰梯形的周長(zhǎng)即可.【詳解】作圖如下:因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面，由線面平行的性質(zhì)定理知,過直線且過點(diǎn)B的平面與平面的交線平行于直線,結(jié)合圖形知,即為直線,過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面即為等腰梯形,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)AB＝4,所以,所以所求截面的周長(zhǎng)為64,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體的截面問題和線面平行的判定定理和性質(zhì)定理；重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力;屬于中檔題.6.如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)題意，得到且，再由，可得是的四等分點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，由已知為的重心，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，且，又由，可得是的四等分點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，所以．故選：C.7.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上不單調(diào)C.在區(qū)間上無最大值 D.在區(qū)間上的最小值為【答案】A【解析】分析】把相位看成一個(gè)整體變量，再結(jié)合正弦曲線，即可分析各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，設(shè)，則，由在區(qū)間上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合正弦曲線可知直線在線段之間，不含點(diǎn)，可以含，所以，得.故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，且時(shí)，設(shè)，則，由正弦函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，設(shè)，則，由在區(qū)間上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合正弦曲線可知，這條對(duì)稱軸正好取到最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，設(shè)，則，由在區(qū)間上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則說明相鄰的那條對(duì)稱軸不在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，所以結(jié)合正弦曲線可知，這條對(duì)稱軸正好取到最大值，說明在這個(gè)區(qū)間內(nèi)沒有取到最小值，故D錯(cuò)誤；故選：A.8.某工業(yè)園區(qū)有、、共3個(gè)廠區(qū)，其中，，，現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】法一：設(shè)，，則，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以當(dāng)時(shí)，所以最小值為．法二：如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)在如圖所示的圓上，圓的直徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，所以，．連接，可得（當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）．在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，即，所以的最小值為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，，則的最小值為4D.若，，，則的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)，舉反例即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故的最小值為4，故D正確．故選：ACD.10.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，母線長(zhǎng)為，則（）A.圓臺(tái)的母線與底面所成的角為B.圓臺(tái)的側(cè)面積為C.圓臺(tái)的體積為D.若圓臺(tái)的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，先求出圓臺(tái)的高，進(jìn)而求出圓臺(tái)的母線與底面所成的角即可；選項(xiàng)B，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可；選項(xiàng)C，由圓臺(tái)的體積公式求解即可；選項(xiàng)D，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以圓臺(tái)的高為：，根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角，A正確；對(duì)于B，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式，求得圓臺(tái)側(cè)面積為：，B正確；對(duì)于C，由圓臺(tái)的體積公式，求得圓臺(tái)體積為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可知球心在下底面下方，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，解得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，且，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.（參考公式：）【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由可得，即可判斷；B選項(xiàng)，由可得，由為奇函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，則令可得，即可判斷；C選項(xiàng)，由可得，則得，即可判斷；D選項(xiàng)，由前面推導(dǎo)結(jié)果，可得函數(shù)每4項(xiàng)和為0，周期為4，所以，計(jì)算可得結(jié)果，即可判斷.【詳解】由，則，所以，A正確；所以．由，令，則有，所以．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以．令，則，所以．令可得，，所以，所以，B錯(cuò)誤；所以，即有．又因?yàn)?，所以，所以函?shù)是偶函數(shù)，C正確；令，則有；令，則．綜上，時(shí)，，，，．所以，所以，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積和投影向量的計(jì)算方法，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由向量和，可得，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．故答案為：.13.在中，是的中點(diǎn)，，，，則______．【答案】【解析】【分析】先在中利用正弦定理解得，再利用余弦定理解得，最后利用余弦定理求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以，由正弦定理得：，又因?yàn)?，，所以，解得，再由余弦定理可得：，代入已知?shù)據(jù)得：，，解得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，再由余弦定理可得：，代入已知數(shù)據(jù)可得：，則．故答案為：.14.人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份．在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．已知二維空間兩個(gè)點(diǎn)、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離為．已知，、、、，若，，則______．【答案】【解析】【分析】利用定義得到，進(jìn)而得到，同理可得，，從而利用余弦和角公式得到，故，得到，利用二倍角公式求出，從而求出.【詳解】因，，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)?，則，所以．因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后把曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖像．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助三角函數(shù)平移變換與伸縮變換的性質(zhì)推導(dǎo)即可得；（2）由的范圍，可得的范圍，即可得函數(shù)的值域．【小問1詳解】的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像，再將其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，得到的圖像；【小問2詳解】設(shè)，由，得，則，即在區(qū)間的值域?yàn)椋?6.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）64【解析】【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，可得，由線面平行的判定可得答案（2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案；（3）在中過點(diǎn)作，垂足為，可得平面，利用相等可得答案.【小問1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則在中，則DE是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】在中，由，，，由余弦定理，得，則，即，為直角三角形，．又平面，平面，，又，平面，平面，平面，．【小問3詳解】在中過點(diǎn)作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面易知，，，．17.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）邊化角，將變形為的形式，進(jìn)而求得，可得；（2）法一，應(yīng)用正弦定理將轉(zhuǎn)化，結(jié)合為銳角三角形，求得，即可得解；法二，由為銳角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解.【小問1詳解】已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因?yàn)?，所以，且，所以，即．【小?詳解】法一：由正弦定理得：，即，且，，即．而由為銳角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為．法二：由，不妨設(shè)，由為銳角三角形，只需，由余弦定理得：，即．又．（*）所以，得：，．由（*）式得：，所以，且，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為．18.某市環(huán)保部門對(duì)市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的環(huán)境綜合污染指數(shù)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作．（1）當(dāng)時(shí)，求環(huán)境綜合污染指數(shù)的值域；（2）求的解析式；（3）規(guī)定當(dāng)時(shí)為綜合污染指數(shù)超標(biāo)，求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該市市中心的綜合污染指數(shù)超標(biāo)．【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，綜合污染指數(shù)超標(biāo)．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)直接代入，當(dāng)時(shí)由基本不等式求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)解析式，利用單調(diào)性比較端點(diǎn)值的大小，分類討論得出的最大值的表達(dá)式；（3）分和兩種情況，分別解不等式，可得該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)的范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以．綜上所述，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，所以，于是，在時(shí)是單調(diào)遞減函數(shù)，在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，解，得，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即．【小問3詳解】由，得①無解，②，解得，綜上，．所以當(dāng)時(shí)，綜合污染指數(shù)超標(biāo)．19.已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使不等式在時(shí)恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）賦值法得到，由求得（2）當(dāng)時(shí)，，故，根據(jù)求出解析式；（3）求出的定義域?yàn)?，根?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到?在??上單調(diào)遞減，構(gòu)造，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到使得，故需要滿足，先由定義域得到，分和、兩種情況，兩種情況下求出最小值，分析得到均不合題意，則這樣的實(shí)數(shù)不存在.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)闀r(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，解得．【小?詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，故，所以當(dāng)時(shí)，．【小問3詳解】由，即：，所以的定義域?yàn)椋舸嬖跐M足題意的，首先有在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，首先有，其次令，關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，還要保證，解得，當(dāng)時(shí)，只需，解得，所有在時(shí)恒成立當(dāng)且僅當(dāng)．因?yàn)?，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的值域是的子集．當(dāng)時(shí)，在上先增后減，在或處取得最小值，且，，，其中為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故的值域是的子集，綜上，的值域是的子集．故只需考慮在的情況即可，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到在上單調(diào)遞減，又時(shí)，圖