新八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第10講分式的運(yùn)算-滿分班(學(xué)生版+解析)

第10講分式的運(yùn)算分式的乘除注意分式的乘除法應(yīng)用關(guān)鍵是理解其法則.⑴先把除法變?yōu)槌朔?；⑵接著?duì)每個(gè)相乘的分式的分子、分母進(jìn)行因式分解，當(dāng)然有乘方運(yùn)算要先算乘方，然后同其它分式進(jìn)行約分；⑶再把每個(gè)分式的分子與分子相乘、分母與分母相乘；⑷最后還應(yīng)檢查相乘后的分式是否為最簡(jiǎn)分式．分式的乘法分式的除法分式的乘方【例題精選】例1(2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）．（2）÷．例2(2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（a﹣2b）2﹣a（a﹣4b）（2）【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?曹縣期中）計(jì)算的結(jié)果是（）A．2a﹣4 B．﹣2a+4 C．﹣2a﹣4 D．2a+42．(2023秋?莫旗期末）化簡(jiǎn)x2÷（）2的結(jié)果為_(kāi)_______．3．(2023?北京模擬）如果代數(shù)式m2+2m＝1，那么÷的值為_(kāi)_______．分式的加減⑴同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減。⑵異分母分式加減法則：運(yùn)算步驟：①先確定最簡(jiǎn)公分母；②對(duì)每項(xiàng)通分,化為相同分母；③按同分母分式運(yùn)算法則進(jìn)行；④注意結(jié)果可否化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)分式．同分母分式相加減異分母分式相加減0指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（，為正整數(shù)）【例題精選】例1(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2（2）例2(2023秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）；（2）（x+1﹣）+【隨堂練習(xí)】1．(2023?柯橋區(qū)模擬）計(jì)算的結(jié)果是_______．2．(2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)：+的結(jié)果為_(kāi)_______．3．(2023秋?呼蘭區(qū)期末）計(jì)算：﹣＝__________．分式的混合運(yùn)算注意分式的混合運(yùn)算的順序：先進(jìn)行乘方運(yùn)算，其次進(jìn)行乘、除運(yùn)算，再進(jìn)行加、減運(yùn)算，遇有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的.如果分式的分子或分母中含有多項(xiàng)式，并且能分解因式，可先分解因式，能約分的先約分，再進(jìn)行運(yùn)算.【例題精選】例1(2023秋?大興區(qū)期中）已知a為整數(shù)，且+÷為整數(shù)，求所有符合條件的a值．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）；（2）．分式的化簡(jiǎn)求值【例題精選】例1(2023?溫嶺市模擬）先化簡(jiǎn)代數(shù)式（a+）÷，然后判斷該代數(shù)式的值能否等于0？并說(shuō)明理由．例2(2023?玉山縣一模）先化簡(jiǎn)（1﹣）÷，再?gòu)牟坏仁絰﹣1≤2的正整數(shù)解中選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?江陰市期中）先化簡(jiǎn)，再求值：計(jì)算﹣÷，再?gòu)末?、0、2、3四個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．2．(2023秋?姜堰區(qū)期末）化簡(jiǎn)并求值，其中m滿足m2﹣m﹣2＝0．綜合應(yīng)用1．準(zhǔn)備完成如圖這樣一道填空題，其中一部分被墨水污染了，若該題化簡(jiǎn)的結(jié)果為（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于1嗎？為什么？2．先化簡(jiǎn)，再求值：+÷，其中a＝．3．先化簡(jiǎn)，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．4．（1）計(jì)算：（﹣2019）（﹣）2．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．第10講分式的運(yùn)算分式的乘除注意分式的乘除法應(yīng)用關(guān)鍵是理解其法則.⑴先把除法變?yōu)槌朔?；⑵接著?duì)每個(gè)相乘的分式的分子、分母進(jìn)行因式分解，當(dāng)然有乘方運(yùn)算要先算乘方，然后同其它分式進(jìn)行約分；⑶再把每個(gè)分式的分子與分子相乘、分母與分母相乘；⑷最后還應(yīng)檢查相乘后的分式是否為最簡(jiǎn)分式．分式的乘法分式的除法分式的乘方【例題精選】例1(2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）．（2）÷．分析：（1）原式利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可求出值；（2）原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝﹣3x2+4x；（2）原式＝?＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的乘除法，以及整式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．例2(2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（a﹣2b）2﹣a（a﹣4b）（2）分析：（1）直接利用乘法公式以及整式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接利用分式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）原式＝a2+4b2﹣4ab﹣a2+4ab＝4b2；（2）原式＝??1＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?曹縣期中）計(jì)算的結(jié)果是（）A．2a﹣4 B．﹣2a+4 C．﹣2a﹣4 D．2a+4【解答】解：原式＝?＝2（a﹣2）＝2a﹣4，故選：A．2．(2023秋?莫旗期末）化簡(jiǎn)x2÷（）2的結(jié)果為_(kāi)_______．分析：先乘方，再算除法．【解答】解：原式＝x2÷＝x2×＝故答案為：3．(2023?北京模擬）如果代數(shù)式m2+2m＝1，那么÷的值為_(kāi)_______．【解答】解：÷＝＝m2+2m，因?yàn)閙2+2m＝1，所以÷的值為1，故答案為：1分式的加減⑴同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減。⑵異分母分式加減法則：運(yùn)算步驟：①先確定最簡(jiǎn)公分母；②對(duì)每項(xiàng)通分,化為相同分母；③按同分母分式運(yùn)算法則進(jìn)行；④注意結(jié)果可否化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)分式．同分母分式相加減異分母分式相加減0指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（，為正整數(shù)）【例題精選】例1(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2（2）分析：（1）根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則可得原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；（2）將異分母分式化為同分母分式進(jìn)行可得原式＝+＝＝．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；（2）原式＝+＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加減法和完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；熟練掌握分式加減法的運(yùn)算法則，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．例2(2023秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）；（2）（x+1﹣）+分析：（1）根據(jù)平方差公式和多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算，可得原式＝a2﹣4﹣a2+3a＝3a﹣4；（2）將異分母分式化為同分母分式進(jìn)行運(yùn)算，可得原式＝+＝．【解答】解：（1）原式＝a2﹣4﹣a2+3a＝3a﹣4；（2）原式＝﹣+＝+＝+＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加減法，平方差公式和多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算；熟練掌握分式的加減法運(yùn)算法則，平方差公式，多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023?柯橋區(qū)模擬）計(jì)算的結(jié)果是_______．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣1，故答案為：﹣1．2．(2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)：+的結(jié)果為_(kāi)_______．【解答】解：原式＝＝＝x+1．故答案為：x+1．3．(2023秋?呼蘭區(qū)期末）計(jì)算：﹣＝__________．【解答】解：原式＝﹣＝，故答案為：分式的混合運(yùn)算注意分式的混合運(yùn)算的順序：先進(jìn)行乘方運(yùn)算，其次進(jìn)行乘、除運(yùn)算，再進(jìn)行加、減運(yùn)算，遇有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的.如果分式的分子或分母中含有多項(xiàng)式，并且能分解因式，可先分解因式，能約分的先約分，再進(jìn)行運(yùn)算.【例題精選】例1(2023秋?大興區(qū)期中）已知a為整數(shù)，且+÷為整數(shù)，求所有符合條件的a值．分析：化簡(jiǎn)所給式子可得，原式═1+，由已知可得a﹣1＝±1，a﹣1＝±2即可求a的值．【解答】解：原式＝+×＝+＝＝1+，∵分式為整數(shù)，∴a﹣1＝±1，a﹣1＝±2，∴a＝2或a＝0或a＝3或a＝﹣1，∵a≠±1，a≠2，∴a＝0或a＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算；熟練掌握分式的運(yùn)算法則，注意分母不為零的情況是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）；（2）．【解答】解：（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）＝x2+4xy+4y2﹣x2﹣4xy＝4y2；（2）＝＝＝＝．分式的化簡(jiǎn)求值【例題精選】例1(2023?溫嶺市模擬）先化簡(jiǎn)代數(shù)式（a+）÷，然后判斷該代數(shù)式的值能否等于0？并說(shuō)明理由．分析：直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，進(jìn)而利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：該代數(shù)式的值不能等于0，理由：原式＝?＝?＝，∵要使該代數(shù)式的值為0，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1，然而當(dāng)a＝﹣1時(shí)原式?jīng)]意義，故該代數(shù)式的值不能等于0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例2(2023?玉山縣一模）先化簡(jiǎn)（1﹣）÷，再?gòu)牟坏仁絰﹣1≤2的正整數(shù)解中選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．分析：直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，進(jìn)而利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝?＝?＝﹣，∵x﹣1≤2，∴x≤3，把x＝3代入上式得，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?江陰市期中）先化簡(jiǎn)，再求值：計(jì)算﹣÷，再?gòu)末?、0、2、3四個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．【解答】解：﹣÷＝＝＝＝，當(dāng)a＝﹣2，2，3時(shí)，原分式無(wú)意義，故當(dāng)a＝0時(shí)，原式＝＝﹣1．2．(2023秋?姜堰區(qū)期末）化簡(jiǎn)并求值，其中m滿足m2﹣m﹣2＝0．【解答】解：原式＝?＝，由m2﹣m﹣2＝0得，m1＝2，m2＝﹣1，因?yàn)閙≠﹣1，所以m＝2時(shí)，原式＝．綜合應(yīng)用1．準(zhǔn)備完成如圖這樣一道填空題，其中一部分被墨水污染了，若該題化簡(jiǎn)的結(jié)果為（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于1嗎？為什么？【解答】解：（1）÷＝?（x﹣3）＝，∴被墨水污染的部分為x﹣4；（2）原式＝＝4，∴x＝4，由于÷＝?∴x＝4時(shí)，此時(shí)無(wú)意義．2．先化簡(jiǎn)，再求值：+÷，其中a