高中數(shù)學(xué)必修二《第十章 概率》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第十章概率》同步練習(xí)《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列現(xiàn)象中，不可能事件是()A．三角形的內(nèi)角和為180°B．a(chǎn)⊥α，b⊥α，a∥bC．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊C[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]2．下列事件中的隨機事件為()A．若a，b，c都是實數(shù)，則a(bc)＝(ab)cB．沒有水和空氣，人也可以生存下去C．拋擲一枚硬幣，反面向上D．在標準大氣壓下，溫度達到60℃時水沸騰C[A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律，對任意實數(shù)a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不可能事件．拋擲一枚硬幣時，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會是正面向上還是反面向上，故C是隨機事件．在標準大氣壓的條件下，只有溫度達到100℃，水才會沸騰，當(dāng)溫度是60℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件．]3．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個興趣小組，某學(xué)生只選報其中的2個，則試驗的樣本點共有()A．1個B．2個C．3個D．4個C[該生選報的所有可能情況是：{數(shù)學(xué)和計算機}，{數(shù)學(xué)和航空模型}，{計算機和航空模型}，所以試驗的樣本點共有3個．]4．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為()①三角形內(nèi)角和為180°；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內(nèi)角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊A．1個B．2個C．3個 D．4個A[若兩內(nèi)角的和小于90°，則第三個內(nèi)角必大于90°，故不是銳角三角形，∴③是隨機事件，而①②④均為必然事件．]5．從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點數(shù)為()A．2個B．3個C．4個 D．5個C[從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.其中“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4個．]二、填空題6．投擲兩枚骰子，點數(shù)之和為8所包含的樣本點有個．5[樣本點為(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5個．]7．下列試驗中是隨機事件的有．①某收費站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù)；②一個平行四邊形的對邊平行且相等；③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍；④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢；⑤沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發(fā)芽．①③④[①③④都是隨機事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]8．從1,2,3，…，10中任意選一個數(shù)，這個試驗的樣本空間為，滿足“它是偶數(shù)”樣本點的個數(shù)為．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點有：2,4,6,8,10，共有5個．]三、解答題9．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)寫出“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點．[解](1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．(2)試驗樣本點的總數(shù)是12.(3)“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點為：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．10．現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況．(1)寫出該試驗的樣本空間；(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些？[解]以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石頭、丙出布．(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．[等級過關(guān)練]1．“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)”，該試驗的樣本點共有()A．6種 B．12種C．24種 D．36種D[試驗的全部樣本點為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種．]2．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機事件的是()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品C[25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機事件．]3．一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現(xiàn)在把球隨機地一個一個摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值為．16[至少需摸完黑球和白球共15個．]4．下列試驗中，隨機事件有，必然事件有．①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；②打開電視機，正好在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任摸4個，全部都是黃球；④下周六是晴天．②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是隨機事件．]5．設(shè)有一列北上的火車，已知?？康恼居赡现帘狈謩e為S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票．設(shè)試驗的樣本空間Ω表示火車所有可能?？康恼?，令A(yù)表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合．(1)寫出該試驗的樣本空間Ω；(2)寫出A，B包含的樣本點；(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？[解](1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)鐵路局需要準備從S1站發(fā)車的車票共計9種，從S2站發(fā)車的車票共計8種，……，從S9站發(fā)車的車票1種，合計共9＋8＋…＋2＋1＝45(種)．《10.1.2事件的關(guān)系和運算》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩個事件是互斥事件的為()A．“都是紅球”與“至少1個紅球”B．“恰有2個紅球”與“至少1個白球”C．“至少1個白球”與“至多1個紅球”D．“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”D[A，B，C中兩個事件是包含與被包含關(guān)系，只有D，兩個事件不可能同時發(fā)生，是互斥事件．]2．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．]3．給出以下三個命題：(1)將一枚硬幣拋擲兩次，記事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B是對立事件；(2)在命題(1)中，事件A與事件B是互斥事件；(3)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，記事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件．其中命題正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B[(1)還有可能出現(xiàn)一次出現(xiàn)正面，一次出現(xiàn)反面這種情況，所以事件A和B是互斥事件，但不是對立事件，所以(1)錯誤；(2)正確；(3)中可能出現(xiàn)2件次品，1件正品的情況，所以事件A與事件B不是互斥事件．故選B.]4．對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪DD[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，∴A∪C≠B∪D.]5．如果事件A，B互斥，那么()A．A∪B是必然事件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定互斥D.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不互斥B[用集合的表示法中的“Venn圖”解決比較直觀，如圖所示，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)＝I是必然事件，故選B.]二、填空題6．事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4個是黑球”的對立事件是．某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至多3個是黑球[事件“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至少4個是黑球”的對立事件是“某人從裝有5個黑球，5個白球的袋中任取5個小球，其中至多3個是黑球”．]7．同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件為．①一個是5點，另一個是6點；②一個是5點，另一個是4點；③至少有一個是5點或6點；④至多有一個是5點或6點．③[同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個，“都不是5點且不是6點”包含16個，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”．]8．向上拋擲一枚骰子，設(shè)事件A＝{點數(shù)為2或4}，事件B＝{點數(shù)為2或6}，事件C＝{點數(shù)為偶數(shù)}，則事件C與A，B的運算關(guān)系是．C＝A∪B[由題意可知C＝A∪B.]三、解答題9．某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們是否是對立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.[解](1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．10．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，用集合的形式分別寫出下列事件，并判斷下列每對事件的關(guān)系：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．[解]設(shè)3名男生用數(shù)字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示選出參加比賽的2名同學(xué)，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，(1)設(shè)A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，則A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因為A∩B＝?，所以事件A與事件B互斥且不對立．(2)設(shè)C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，則C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因為C∩D＝D，所以D?C.即事件C與事件D不互斥(3)設(shè)E＝“至少有1名男生”，F(xiàn)＝“全是女生”，則E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F(xiàn)＝{(4,5)}，因為E∪F＝Ω，E∩F＝?，所以E和F互為對立事件．(4)設(shè)G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，則G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，由于G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G與H不互斥．[等級過關(guān)練]1．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．以上說法都不對B[因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件．]2．下列各組事件中，不是互斥事件的是()A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班的數(shù)學(xué)成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%B[對于B，設(shè)事件A1為平均分不低于90分，事件A2為平均分不高于90分，則A1∩A2為平均分等于90分，A1，A2可能同時發(fā)生，故它們不是互斥事件．]3．拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點}，事件B＝{出現(xiàn)2點}，事件C＝{出現(xiàn)奇數(shù)點或2點}，則下列不成立的是()A．A?C B．A∩B＝?C．A∪B＝C D．B∩C＝?D[易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以選項D不正確．]4．現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A，B，C，D，E，則事件“取出的是理科書”可記為．B∪D∪E[由題意可知事件“取出的是理科書”可記為B∪D∪E.]5．從學(xué)號為1,2,3,4,5,6的6名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長，其中1,3,5號同學(xué)為男生，2,4,6號同學(xué)為女生，記：C1＝“選出1號同學(xué)”，C2＝“選出2號同學(xué)”，C3＝“選出3號同學(xué)”，C4＝“選出4號同學(xué)”，C5＝“選出5號同學(xué)”，C6＝“選出6號同學(xué)”，D1＝“選出的同學(xué)學(xué)號不大于1”，D2＝“選出的同學(xué)學(xué)號大于4”，D3＝“選出的同學(xué)學(xué)號小于6”，E＝“選出的同學(xué)學(xué)號小于7”，F(xiàn)＝“選出的同學(xué)學(xué)號大于6”，G＝“選出的同學(xué)學(xué)號為為偶數(shù)”，H＝“選出的同學(xué)學(xué)號為奇數(shù)”，等等．據(jù)此回答下列問題：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？(3)如果事件H發(fā)生，則可能是哪些事件發(fā)生？在集合中，事件H與這些事件之間有何關(guān)系？(4)有沒有某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生的情況？它們之間的關(guān)系如何描述？(5)兩個事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例子嗎？[解](1)必然事件有：E；隨機事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F.(2)如果事件C1發(fā)生，則事件H一定發(fā)生．(3)可能是C1，C3，C5發(fā)生，H＝C1∪C3∪C5.(4)D2和D3同時發(fā)生時，即為C5發(fā)生了．D2∩D3＝C5，(5)有，如：C1和C2；C3和C4等等．《10.1.3古典概型》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊和第二冊相鄰的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)C[試驗的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6個樣本點，事件“第一冊和第二冊相鄰”包含4個樣本點，故第一冊和第二冊相鄰的概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)D[設(shè)所取的數(shù)中b>a為事件A，如果把選出的數(shù)a，b寫成一數(shù)對(a，b)的形式，則試驗的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15個，事件A包含的樣本點有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3個，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]3．從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當(dāng)選的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(3,5)C[從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).]4．同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面，二枚反面的概率等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)C[試驗的樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8種，出現(xiàn)一枚正面，二枚反面的樣本點有3種，故概率為P＝eq\f(3,8).]5．有五根細木棒，長度分別為1,3,5,7,9，從中任取三根，能搭成三角形的概率是()A.eq\f(3,20)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)D[設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事件A，試驗的樣本空間Ω＝{(1,3,5),(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，樣本空間的總數(shù)為10，由于三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)成三角形的樣本點只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三種情況，故所求概率為P(A)＝eq\f(3,10).]二、填空題6．從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率為．eq\f(1,2)[設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，試驗的樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6個．其中恰有1件是次品的樣本點有：AD，BD，CD，共3個，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).]7．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先于A，C通過的概率為．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則試驗的樣本空間Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6個樣本點，其中事件B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2個樣本點，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]8．從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是．eq\f(1,5)[從5個數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，樣本點的總數(shù)為10，若取出的兩數(shù)之和等于5，則有(1,4)，(2,3)，共有2種樣本點，所以取出的兩數(shù)之和等于5的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).]三、解答題9．甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(shè)(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝．你認為此游戲是否公平？說明你的理由．[解](1)方片4用4′表示，試驗的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點的總數(shù)為12.(2)不公平．甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5種，甲勝的概率為P1＝eq\f(5,12)，乙勝的概率為P2＝eq\f(7,12)，因為eq\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此游戲不公平．10．某學(xué)校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調(diào)查．(1)求應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從分層隨機抽樣抽取的6名教師中隨機抽取2名教師做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名教師均為初級教師的概率．[解](1)由分層隨機抽樣知識得應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(2)在分層隨機抽樣抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為A1，A2，A3,2名中級教師分別記為A4，A5，高級教師記為A6，則從中抽取2名教師的樣本空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即樣本點的總數(shù)為15.抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)的樣本點為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).[等級過關(guān)練]1．(2019·全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)D[設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示．由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“√”的情況)共有12種，故所求概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故選D.]2．(2019·全國卷Ⅱ)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)B[設(shè)5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B.]3．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為．eq\f(2,5)[如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，試驗空間共有15個樣本點，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6個樣本點，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為．eq\f(2,5)[設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則試驗的樣本空間Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，則樣本空間的總數(shù)有15個．兩球顏色為一白一黑的樣本空間有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個．∴其概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]5．袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．已知從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b.記事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．[解](1)由題意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)不放回地隨機抽取2個小球的樣本空間Ω＝{(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12個，事件A包含的樣本點為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).《10.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7C[∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.]2．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕适?0%，則甲、乙兩人下和棋的概率是()A．60% B．30%C．10% D．50%D[“甲獲勝”與“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不輸”即“甲獲勝或甲、乙下成和棋”，故P(甲不輸)＝P(甲勝)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不輸)－P(甲勝)＝90%－40%＝50%.]3．從分別寫有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)B[試驗的樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10個樣本點，其中事件“這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的”包含4個樣本點，故所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]4．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.90A[不夠8環(huán)的概率為1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]5．古代“五行”學(xué)說認為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)C[試驗的樣本空間Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10個樣本點，事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5個樣本點，故其概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).]二、填空題6．甲、乙兩人打乒乓球，兩人打平的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸?shù)母怕适牵甧q\f(5,6)[乙不輸表示為和棋或獲勝，故其概率為P＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).]7．盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為．eq\f(3,5)[設(shè)3個紅色球為A1，A2，A3,2個黃色球為B1，B2，從5個球中，隨機取出2個球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10種．其中2個球的顏色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6種，所以所求概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).]8．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為．eq\f(1,12)[易知試驗樣本點的總數(shù)為36，由log2xy＝1，得2x＝y(tǒng)，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))共3個樣本點，所以P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).]三、解答題9．一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三：(利用對立事件求概率)(1)由法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).10．一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．[解](1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2個，因此所求事件的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，試驗的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16個樣本點．又滿足條件n≥m＋2的樣本點有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個．所以，滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).[等級過關(guān)練]1．?dāng)S一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A＋eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)C[擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因為eq\o(B,\s\up6(－))表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，因此事件A與eq\o(B,\s\up6(－))互斥，從而P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次任取一個，有放回地取3次，則eq\f(8,9)是下列哪個事件的概率()A．顏色全同 B．顏色不全同C．顏色全不同 D．無紅球B[試驗的樣本空間Ω＝{黃黃黃，紅紅紅，白白白，紅黃黃，黃紅黃，黃黃紅，白黃黃，黃白黃，黃黃白，黃紅紅，紅黃紅，紅紅黃，白紅紅，紅白紅，紅紅白，黃白白，白黃白，白白黃，紅白白，白紅白，白白紅，黃紅白，黃白紅，紅黃白，紅白黃，白紅黃，白黃紅}，其中包含27個樣本點，事件“顏色全相同”包含3個樣本點，則其概率為eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)＝1－eq\f(8,9)，所以eq\f(8,9)是事件“顏色不全同”的概率．]3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為eq\f(4,5)，那么所選3人中都是男生的概率為．eq\f(1,5)[設(shè)A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都為男生}，則A，B為對立事件，∴P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).]4．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率為．eq\f(5,6)[將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\o(A,\s\up6(－))＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\o(A,\s\up6(－))包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]5．(2019·天津高考)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教育〇〇×〇×〇繼續(xù)教育××〇×〇〇大病醫(yī)療×××〇××住房貸款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××贍養(yǎng)老人〇〇×××〇①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)①從已知的6人中隨機抽取2人，試驗空間Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個樣本點．②由表格知，事件M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共11個樣本點，所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).《10.2事件的相互獨立性》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．袋內(nèi)有大小相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，則A與B是()A．互斥事件B．相互獨立事件C．對立事件D．非相互獨立事件D[根據(jù)互斥事件、對立事件及相互獨立事件的概念可知，A與B為非相互獨立事件．]2．甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A.eq\f(1,20)B.eq\f(15,16)C.eq\f(3,5)D.eq\f(19,20)C[設(shè)“從甲盒中取一螺桿為A型螺桿”為事件A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母”為事件B，則A與B相互獨立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，則從甲、乙兩盒中各任取一個，恰好可配成A型螺栓的概率為P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).]3．兩名射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96C[∵兩人都沒有擊中的概率為0.2×0.3＝0.06，∴目標被擊中的概率為1－0.06＝0.94.]4．在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則在這三處都不停車的概率為()A.eq\f(7,64)B.eq\f(25,192)C.eq\f(35,192)D.eq\f(35,576)C[由題意可知汽車在這三處都不停車的概率為eq\f(25,60)×eq\f(35,60)×eq\f(45,60)＝eq\f(35,192).]5．如圖所示，A，B，C表示3個開關(guān)，若在某段時間內(nèi)，它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7，則該系統(tǒng)的可靠性(3個開關(guān)只要一個開關(guān)正常工作即可靠)為()A．0.504B．0.994C．0.496 D．0.064B[由題意知，所求概率為1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]二、填空題6．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊員每次罰球的命中率為．eq\f(3,5)[設(shè)此隊員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5).]7．已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(Aeq\x\to(B))＝；P(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))＝.eq\f(1,6)eq\f(1,6)[∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3).∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).]8．甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人都達標的概率是，三人中至少有一人達標的概率是．0．240.96[由題意可知三人都達標的概率為P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人達標的概率為P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]三、解答題9．設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．求：(1)進入商場的1位顧客，甲、乙兩種商品都購買的概率；(2)進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率．[解]記A表示事件“進入商場的1位顧客購買甲種商品”，則P(A)＝0.5；記B表示事件“進入商場的1位顧客購買乙種商品”，則P(B)＝0.6；記C表示事件“進入商場的1位顧客，甲、乙兩種商品都購買”；記D表示事件“進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種”．(1)易知C＝AB，則P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)，則P(D)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.10．甲、乙兩名跳高運動員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7,0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率．[解]記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi(i＝1,2,3)，依題意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互獨立．(1)“甲試跳三次，第三次才成功”為事件eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，且這三次試跳相互獨立．∴P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C.P(C)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.[等級過關(guān)練]1．甲、乙兩人參加知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,12)D[根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).]2．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)等于()A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)D[由題意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))．設(shè)P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y(tǒng).))∴x2－2x＋1＝eq\f(1,9)，∴x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)，∴x＝eq\f(2,3).]3．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立．則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于．0．128[記“該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪”為事件A，由題意，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.]4．一個人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，則他第k次恰好打開房門的概率等于．eq\f(1,n)[由“第k次恰好打開，前k－1次沒有打開”，∴第k次恰好打開房門的概率為eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(n－k－1,n－k－2)×eq\f(1,n－k－1)＝eq\f(1,n).]5．某中學(xué)籃球體育測試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試，“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機會，先進行“立定投籃”測試，如果合格才有機會進行“三步上籃”測試，為了節(jié)約時間，每項只需且必須投中一次即為合格．小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為eq\f(1,2)，“三步上籃”的命中率為eq\f(3,4)，假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中互不影響，求小明同學(xué)一次測試合格的概率．[解]設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai，第i次“三步上籃”命中為事件Bi(i＝1,2)，依題意有P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(3,4)(i＝1,2)，“小明同學(xué)一次測試合格”為事件C.P(eq\o(C,\s\up12(－)))＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＋P(A1eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＋P(A1)·P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2＝eq\f(19,64).∴P(C)＝1－eq\f(19,64)＝eq\f(45,64).《10.3.1頻率的穩(wěn)定性》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．某地氣象局預(yù)報說：明天本地降水的概率為80%，則下列解釋正確的是()A．明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水B．明天本地有80%的時間降水，20%的時間不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上說法均不正確C[選項A，B顯然不正確，因為明天本地降水的概率為80%不是說有80%的區(qū)域降水，也不是說有80%的時間降水，而是指降水的可能性是80%.故選C.]2．某中學(xué)要在高一年級的二、三、四班中任選一個班參加社區(qū)服務(wù)活動，有人提議用如下方法選班：擲兩枚硬幣，正面向上記作2點，反面向上記作1點，兩枚硬幣的點數(shù)和是幾，就選幾班．按照這個規(guī)則，當(dāng)選概率最大的是()A．二班 B．三班C．四班 D．三個班機會均等B[擲兩枚硬幣，共有4種結(jié)果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故選四班的概率是eq\f(1,4)，選三班的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，選二班的概率為eq\f(1,4)，故選B.]3．給出下列四個命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點的頻率是eq\f(9,50).其中正確命題有()A．① B．②C．③ D．④D[①錯，次品率是大量產(chǎn)品的估計值，并不是針對200件產(chǎn)品來說的；②③混淆了頻率與概率的區(qū)別．④正確．]4．投擲一枚普通的正方體骰子，四位同學(xué)各自發(fā)表了以下見解：①出現(xiàn)“點數(shù)為奇數(shù)”的概率等于出現(xiàn)“點數(shù)為偶數(shù)”的概率；②只要連擲6次，一定會“出現(xiàn)1點”；③投擲前默念幾次“出現(xiàn)6點”；投擲結(jié)果“出現(xiàn)6點”的可能性就會加大；④連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于19.其中正確的見解有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個B[①擲一枚骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點和出現(xiàn)偶數(shù)點的概率都是eq\f(1,2)，故①正確；②“出現(xiàn)1點”是隨機事件，故②錯誤；③概率是客觀存在的，不因為人的意念而改變，故③錯誤；④連續(xù)擲3次，每次都出現(xiàn)最大點數(shù)6，則三次之和為18，故④正確．故選B.]5．甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是()A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝B[對于A，C，D，甲勝、乙勝的概率都是eq\f(1,2)，游戲是公平的；對于B，點數(shù)之和大于7和點數(shù)之和小于7的概率相等，但點數(shù)等于7時乙勝，所以甲勝的概率小，游戲不公平．]二、填空題6．某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個乒乓球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01]500.50[40.01,40.03)200.20合計1001.00若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm，則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm的概率約為．0．90[標準尺寸是40.00mm，并且誤差不超過0.03mm，即直徑需落在[39.97,40.03]范圍內(nèi)．由頻率分布表知，所求頻率為0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以直徑誤差不超過0.03mm的概率約為0.90.]7．小明和小展按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有5支鉛筆，每次取1支或2支，最后取完鉛筆的人獲勝，你認為這個游戲規(guī)則．(填“公平”或“不公平”)不公平[當(dāng)?shù)谝粋€人第一次取2支時，還剩余3支，無論是第二個人取1支還是取2支，第一個人在第二次取鉛筆時，都可取完，即第一個人一定能獲勝，所以不公平．]8．種子發(fā)芽率是指在規(guī)定條件和時間內(nèi)長成的正常幼苗數(shù)占供檢種子數(shù)的百分率．種子發(fā)芽率的測定通常是在實驗室內(nèi)進行，隨機取600粒種子置于發(fā)芽床上，通常以100粒種子為一個重復(fù)，根據(jù)不同種類的種子控制相應(yīng)的溫度、水分、光照等條件，再到規(guī)定的時間鑒定正常幼苗的數(shù)量，最后計算出種子的發(fā)芽率．下表是獼猴桃種子的發(fā)芽試驗結(jié)果：種子粒數(shù)100100100100100100發(fā)芽粒數(shù)797881798082發(fā)芽率79%78%81%79%80%82%根據(jù)表格分析獼猴桃種子的發(fā)芽率約為．80%[由表格中的數(shù)據(jù)可知，該獼猴桃種子的發(fā)芽率約為80%.]三、解答題9．某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq\f(m,n)(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？[解](1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89附近，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.10．某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果如下表：每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率(1)請完成上述表格(保留3位小數(shù))；(2)該油菜籽發(fā)芽的概率約為多少？[解](1)填入題表中的數(shù)據(jù)依次為1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如下：每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903(2)由(1)估計該油菜籽發(fā)芽的概率約為0.900.[等級過關(guān)練]1．在調(diào)查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調(diào)查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為()A.4.33% B.3.33%C.3.44% D.4.44%B[因為擲硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為eq\f(1,2)，大約有150人回答第一個問題，又身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，另外5個回答“是”的人服用興奮劑．因此我們估計這群人中大約有3.33%的人服用過興奮劑．]2．下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球，游戲1游戲2游戲33個黑球和1個白球1個黑球和1個白球2個黑球和2個白球任取兩個球取1個球任取兩個球取出的兩個球同色→甲勝取出的球是黑球→甲勝取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球不同色→乙勝取出的球是白球→乙勝取出的兩個球不同色→乙勝問其中不公平的游戲是()A．游戲1 B．游戲1和游戲3C．游戲2 D．游戲3D[游戲1中取2個球的所有可能情況有：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲勝的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以游戲1是公平的．游戲2中，顯然甲勝的概率是0.5，游戲是公平的．游戲3中取2個球的所有可能情況有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1),(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲勝的概率為eq\f(1,3)，所以游戲3是不公平的．]3．某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標為1000度，按照上個月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過指標，若這個月(按30天計)仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標的概率約是．0．4[由頻率的定義可知用電量超過指標的頻率為eq\f(12,30)＝0.4，由頻率估計概率知第一天用電量超過指標的概率約是0.4.]4．從某自動包裝機包裝的白糖中隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝白糖質(zhì)量在497.5～501.5g之間的概率約為．0．25[易知袋裝白糖質(zhì)量在497.5～501.5g之間的袋數(shù)為5，故其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，即其概率約為0.25.]5．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值．(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值．(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．[解](1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.《10.3.2隨機模擬》同步練習(xí)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計4件產(chǎn)品中至少有3件為合格品的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4件產(chǎn)品．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：75270293704098570347437386366947141746980301623326168045600136619597742476104001據(jù)此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,20)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)D[∵4件產(chǎn)品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).]2．某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0,1,2,3表示手術(shù)不成功，4,5,6,7,8,9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271，989,730,537,925,907.由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5A[由10組隨機數(shù)知，4～9中恰有三個的隨機數(shù)有569,989兩組，故所求的概率為P＝eq\f(2,10)＝0.2.]3．已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192C．0.8 D．0.75D[該射擊運動員射擊4次至少擊中3次，考慮該事件的對立事件，故看這20組數(shù)據(jù)中含有0和1的個數(shù)多少，含有2個或2個以上的有5組數(shù)，故所求概率為eq\f(15,20)＝0.75.]4．在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機取出兩個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)A[隨機取出兩個小球有：(1,2)，(1,3)，(1,4)