2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓與二次函數(shù)的綜合壓軸題

2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓與二次函數(shù)的綜合壓軸

題

1.如圖，拋物線y=ax?+2ax-3a(a*0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且

OA=OC,直線y=-x與該拋物線交于E,F兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PHLEF于點(diǎn)H,求PH的最大值.

(3)以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，OC上是否存在點(diǎn)D,使得△BCD是以CD為直

角邊的直角三角形？若存在，耳毯寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.如圖，拋物線y=ax?+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a#0)經(jīng)過原點(diǎn)。和兩點(diǎn),

點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的。P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2).

(1)a=_,b=_,c=_；

(2)求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，G>P始終與x軸相交；

(3)設(shè)。P與x軸相交于M、N兩點(diǎn)，M在N的左邊.當(dāng)AAMN為等腰三角形時(shí)，

直接寫出圓心P的橫坐標(biāo).

u

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(3,4)的拋物線交y軸與A點(diǎn)，交x軸與B、

C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線與點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相

切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與。C的位置關(guān)系，并給出證明.

(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使4ACP是以AC為直角邊的直角三角形.若存在，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)。且與X軸Y軸分別相交于A(-6,

(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于Y軸且經(jīng)過點(diǎn)M,頂點(diǎn)C在圓M上,開口向下且經(jīng)

過點(diǎn)B.求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式

(3)設(shè)(2)中的拋物線交X軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得

=百若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由

5.如圖，二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.且B（1,

0）,若將△BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得△DOE的頂點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合,且^ACD

的面積為3.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.

（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M,請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)P,使得△PAM的周長(zhǎng)最小，

并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）設(shè)這個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸1交x軸于點(diǎn)N,問：A、M、C、D、N這5個(gè)點(diǎn)是否

會(huì)在同一個(gè)圓上？若在同一個(gè)圓上，請(qǐng)求出這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，并作簡(jiǎn)要說明；若不可

能，請(qǐng)說明理由.

6.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A0）為圓心，以2、萬為半徑的圓與x軸相

（1）若拋物線?“二二S'去的.Tse，經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)B是

否在該拋物線上

（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P,使得APBD的周長(zhǎng)最小

（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使

得四邊形BCQM是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C(1,1)為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A,

B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且其頂點(diǎn)P在。C上.

(1)求/ACB的大??；

(2)寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)試確定此拋物線的解析式；

(4)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段0P與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖，已知拋物線y=ax?+bx+c(a>0,c<0)交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,設(shè)

過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)如圖1,已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(0,-4)；

①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，求ABDM面積的最大值；

(2)如圖2,若a=l,求證：無論b,c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)O,且與x軸、〉軸分別相交于A(-8,

0),B(0,-6)兩點(diǎn).

(1)求出直線4B的函數(shù)解析式；

(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)頂點(diǎn)C在圓M上，開口向下，且

經(jīng)過點(diǎn)B,求此拋物線的函數(shù)解析式；

(3)設(shè)(2)中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得SAPDE=

上SAABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.如圖，一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,4)和點(diǎn)C(4,0),該拋物線的頂

點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D坐標(biāo).

(2)如圖，若P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM±x軸于點(diǎn)M,求四邊形PMAB

的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)過拋物線頂點(diǎn)D,作DELx軸于E點(diǎn)，F(xiàn)(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以BF為

直徑的圓與線段DE有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

11.如圖1,已知拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(—3,0)兩點(diǎn)，且與y軸

交于點(diǎn)C.

(1)求b,c的值.

(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P,使得APBC的面積最大？求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓

與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo).

12.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=eix2+2x+c與x軸交于點(diǎn)A(-

1,0)和點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的對(duì)稱軸為直線/.

(1)求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)如果直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

為N,試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

(3)點(diǎn)P在直線/上，且以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線1=三交J軸于點(diǎn)3,交X軸于點(diǎn)4,拋物線

逑=■，戈芋上,翻He.經(jīng)過點(diǎn)3,與直線J交于點(diǎn)C(4.-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，橫坐標(biāo)為”;的點(diǎn),1/在直線3。上方的拋物線上，過點(diǎn)作.1/E］軸交

直線3C于點(diǎn)E，以口￡’為直徑的圓交直線3c于另一點(diǎn)0.當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，求

_/)￡',/的周長(zhǎng)；

(3)將繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90:，得到，點(diǎn)d0；B

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是一士.。..瓦.若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)5

的坐標(biāo).

O

14.如圖，已知拋物線y=ax?+yx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于丁C,且A

(2,0),C(0,-4),直線1：y=-；x-4與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線丫=2*2+?

x+c上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE_Lx軸，垂足為E,交直線1于點(diǎn)F.

(1)試求該拋物線表達(dá)式；

(2)求證：點(diǎn)C在以AD為直徑的圓上；

(3)是否存在點(diǎn)P使得四邊形PCOF是平行四邊形，若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，不存在

請(qǐng)說明理由.

15.如圖，圓C過原點(diǎn)并與坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B為圓C圓周上一動(dòng)點(diǎn),

(1)直接寫出圓心C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)△BOD為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)若以點(diǎn)B為圓心、r為半徑作圓B,當(dāng)圓B與兩個(gè)坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，求點(diǎn)B的坐

標(biāo).

16.如圖，已知拋物線尸加+法-3(f#0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(-1,0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)求切點(diǎn)〃的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)尸在拋物線上，是否存在以點(diǎn)8,C,Q,尸為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

y

Bx

C

參考答案：

1.(1)y=x2+2x-3；(2)組1；(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(之叵，一3-叵)或(一"°,

8101010

。麗、一一二、一，412

—3H------)或(1,-3)或(-=，----).

1055

2.(1)a=—,b=0,c=0；(2)(3)0或a=2±或a=—2±2-73

3.解：(1).??拋物線的頂點(diǎn)為(3,4),...可設(shè)此拋物線的解析式為：y=a(尤-3?+4.

;此拋物線過點(diǎn)A(0,-5),.*.-5=a(0-3)2+4,解得a=—l.

,此拋物線的解析式為：y=-(x-3)2+4,即y=-/+6尤一5.

(2)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸與。C相離.證明如下：

令y=0,即_犬+6*_5=0,得x=l或x=5,

AB(1,0),C(5,0).

令x=l,得y=-5,.,.A(0,-5).

如圖，過點(diǎn)C作CELBD于點(diǎn)E,作拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F,

1.

5\

VABXBD,AZABO=90°-ZABO=ZCBE.

VZAOB=ZBEC=90°,/.AAOB^ABEC.

.OB_AB

"EC"BC'

XVOB=LOA=5,...根據(jù)勾股定理，得AB=JOA?+OB?=后+F=標(biāo).

又：BC=4,.?，=叵，即EC=雙羽.

EC413

VCF=2,.?.CF—EC=2-乳羽=近箔一巫^>0,即CF>EC.

131313

拋物線的對(duì)稱軸與。C相離.

(3)存在.

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)PG，*),

2

,點(diǎn)P(金,%)在拋物線y=f2+6x-5上，yP=-Xp+6xp-5.

XAC2=OA2+OC2=52+52=50,

222

AP=(Ap-O)+(yp+5)=與？+”2+10yp+25,

222

CP=(xP-5)+(yP-O)=尤p?+yp2-10xp+25.

①當(dāng)/A=90。時(shí)，在RfACAP中，由勾股定理，得AC?+AP2=CP2,

50+/~+井-+10井+25=Xp~+%--10斗+25,整理，得與+">+5=0.

Xp+(_與~+6與-5)+5=0,解得馬=7或尤p=0,月=-12或井=-5.

.??點(diǎn)P為(7,-12)或(0,-5)(舍去).

②當(dāng)/C=90。時(shí)，在R/AACP中，由勾股定理，得AC2+CP2=AP2,

_

50+xp~+yp—10xp+25=xp~+yp~+lOyp+25,整理，得與+*—5=0.

年+6%-5)-5=0,解得與=2或即=5,井=3或井=0.

.?.點(diǎn)P為(2,3)或(5,0)(舍去).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,-12)或(2,3).

2

4.(1)5=-jX-8(2)y=-x-6^-8(3)P_?-3,1kP:(42-3-1),-3-1)

5.(1)y=—2x+3；(2)P(0,3);(3)(—2,2)

6.(1)y=；x2-述x-3,點(diǎn)B(-V3,0)在拋物線上；

33

(2)(5-2)；

(3)存在，M(-3石，12)或(5月，12)或(百，-4).

7.(1)120°；(2)A(1-石，0),B(1+6，0)；(3)y=-x2+2x+2；(4)D(0,2).

8.(1)①y=：(x+2)(x-8),D(0,4)；②36；(2),(0,1).

3

9.(1)解析式為y=-/x-6；

199103713

10.(1)y=——(x-1)'+—；(1,—?);(2)P(一,