第三講　數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 DEA模型-CCR

第三講數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA模型_CCR第三講數(shù)據(jù)包絡(luò)分析——評價相對有效性的DEA模型

例1某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，為評價這幾個企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表

企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（萬元）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268哪個企業(yè)生產(chǎn)率最高？多指標(biāo)輸入和多指標(biāo)輸出例2某地區(qū)為了優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，對該地區(qū)的建筑、食品、紡織、醫(yī)藥、電子和房地產(chǎn)產(chǎn)業(yè)進(jìn)行分析，確定相對優(yōu)勢的產(chǎn)業(yè)，為制定地區(qū)產(chǎn)業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略服務(wù)。序號

指標(biāo)行業(yè)投入指標(biāo)產(chǎn)出指標(biāo)固定資產(chǎn)投資x1勞動力用量x2流動資產(chǎn)占用x3利稅額y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703紡織1013042605820421091204醫(yī)藥2034223101256012680216805電子2056112101351021760432506房地產(chǎn)4632179012640792021320例3(多指標(biāo)評價問題)某市教委需要對六所重點中學(xué)進(jìn)行評價,其相應(yīng)的指標(biāo)如下表所示,表中的生均投入和非低收入家庭百分比是輸入指標(biāo),生均寫作得分和生均科技得分是輸出指標(biāo).請根據(jù)這些指標(biāo),評價中哪些學(xué)校是相對有效的.1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentanalysis,簡稱DEA模型）的方法，用于評價相同部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個模型被命名為C2R模型.這一模型是用來研究具有多個輸入,特別是具有多個輸出的“生產(chǎn)部門”同時為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性”.1987年查恩斯,庫伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個新的研究領(lǐng)域.查恩斯和庫伯等人的第一個應(yīng)用DEA的十分成功的案例,就是評價為弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項目的效果.在評估中,輸出包括“自尊”等無形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無論哪種指標(biāo)都有無法與市場價格相比較,也難以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)),這也是DEA的優(yōu)點之一.DEA的優(yōu)點吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行等方面.目前,這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地擴(kuò)大.它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性(例如投資項目的評價);研究在決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何(例如建立新廠后,新廠相對于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評價，即對各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會效益）作一個相對有效性評價。

例1某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，為評價這幾個企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表

企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（萬元）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268

由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。

對于第一個企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。我們定義第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比，即類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：我們限定所有的hj值不超過1，即，這意味著：若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。因此，建立第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。max設(shè)則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃max

設(shè)vi為第i個指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個企業(yè)投入的綜合值為，產(chǎn)出的綜合值為其生產(chǎn)效率定義為:

于是問題實際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個企業(yè)的效率值hj最大。這個最大的效率評價值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可能更高的相對效率評價值。

我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj≤1。這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk<1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的

根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個企業(yè)（如第3個企業(yè)即丙企業(yè)）的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：

☆評價決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型假設(shè)有n個部門或單位(稱為決策單元,DecisionMakingUnits),這n個單元都具有可比性.對于每個企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。這n個企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：x11x12...x1j...x1nx21x22...x2j...x2n：：：：：：xm1xm2...xmj...xmnv11→v22

→

：：vmm

→12...j...n→1u1→2u2

：：

→susy11y12...y1j...y1ny21y22...y2j...y2n：：：：：：xm1ym2...ymj...ymn在上表中,xij(i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)表示第j個決策單元對第i種輸入的投入量，并且滿足xij>0;yrj(r=1,2,...,s,j=1,2,...,n)表示第j個決策單元對第r種輸出的產(chǎn)出量，并且滿足yrj>0;vi(i=1,2,...,m)表示第i種輸入的一種度量(或稱為權(quán));ur(r=1,2,...,s)表示第r種輸出的的一種度量(或稱為權(quán)).將上表中的元素寫成向量形式，如下表所示.X1X2...Xj...Xnv→12...j...n→uY1Y2...Yj...Yn在上表中,Xj,Yj(j=1,2,...,n)分別為決策單元j的輸入、輸出向量，v,u分別為輸入、輸出權(quán)重.每個決策單元的效率評價指數(shù)定義為：

j=1,2,…,nj=1,2,…,n向量表示而第j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為：

上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評價第j0個決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p（1）

這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令

則模型（1）轉(zhuǎn)化為：（2）（2）寫成向量形式有:定義1:若該模型中則稱決策單元j0是弱DEA有效的.定義2:若該模型中存在最優(yōu)解并且,有則稱決策單元j0是弱DEA有效的.例2某地區(qū)為了優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，對該地區(qū)的建筑、食品、紡織、醫(yī)藥、電子和房地產(chǎn)產(chǎn)業(yè)進(jìn)行分析，確定相對優(yōu)勢的產(chǎn)業(yè)，為制定地區(qū)產(chǎn)業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略服務(wù)。序號

指標(biāo)行業(yè)投入指標(biāo)產(chǎn)出指標(biāo)固定資產(chǎn)投資x1勞動力用量x2流動資產(chǎn)占用x3利稅額y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703紡織1013042605820421091204醫(yī)藥2034223101256012680216805電子2056112101351021760432506房地產(chǎn)4632179012640792021320對建筑業(yè)的線性規(guī)劃模型為其他行業(yè)的模型可仿此建立，共需針對六個行業(yè)，建立六個模型。六個模型的求解結(jié)果為：電子、房地產(chǎn)業(yè)的最優(yōu)值為1，為DEA有效；建筑、食品、紡織、醫(yī)藥行業(yè)的最優(yōu)值小于1，為DEA無效。DEA無效的含義是與其他行業(yè)相比，本行業(yè)投入的綜合評價為1時，最大產(chǎn)出小于1.說明該行業(yè)效率較低，需進(jìn)一步研究內(nèi)部管理是否有問題和是否適應(yīng)本地條件等問題。DEA有效說明與其他行業(yè)相比，本行業(yè)投入的綜合評價為1時，最大產(chǎn)出等于1.投入與產(chǎn)出是較匹配，效率較高的。例3(多指標(biāo)評價問題)某市教委需要對六所重點中學(xué)進(jìn)行評價,其相應(yīng)的指標(biāo)如下表所示,表中的生均投入和非低收入家庭百分比是輸入指標(biāo),生均寫作得分和生均科技得分是輸出指標(biāo).請根據(jù)這些指標(biāo),評價中哪些學(xué)校是相對有效的.例

4(繼例3)

運(yùn)用C2R模型求解例3.解按照C2R模型寫出相應(yīng)的LINGO程序，程序名：exam0810.lg4.C2R模型的求解運(yùn)行程序時，P的值分別輸入(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),...,(0,0,0,0,0,1)，經(jīng)過6次計算，得到6個最優(yōu)目標(biāo)值

1,0.9096132,0.9635345,0.9143053,1,1,并且對于學(xué)校A(決策單元1)有對于學(xué)校E(決策單元5)有和對于學(xué)校F(決策單元6)有因此，學(xué)校A,E,F是DEA有效的。解按照模型寫出相應(yīng)的LINGO程序：sets:DMU/1..6/:S,T,P;!DecisionMakingUnit;II/1..2/:w;!InputIndex;OI/1..2/:u;!OutputIndex;IV(II,DMU):X;!InputVariable;OV(OI,DMU):Y;!OutputVariable;endsetsdata:P=?;X=89.3986.25108.13106.3862.4047.1964.39999.69696.279.9;Y=25.228.229.426.427.225.2223287317291295222;enddatamax=@sum(DMU:P*T);@for(DMU(j):S(j)=@sum(II(i):w(i)*X(i,j));T(j)=@sum(OI(i):u(i)*Y(i,j));S(j)>=T(j));@sum(DMU:P*S)=1;END在上述程序，P的值分別輸入（1，0，0，0，0，0），（0，1，0，0，0，0）…，（0，0，0，0，0，1）經(jīng)過6次計算，得到6個最優(yōu)目標(biāo)值1，0.9096132，0.9635345，0.9143053，1，1并且對于學(xué)校A（決策單元1）有，對于學(xué)校E（決策單元5）有，對于學(xué)校F（決