陜西省渭南市2024屆高三年級下冊教學質(zhì)量檢測數(shù)學（文科）試題（含答案與解析）

渭南市2024年高三教學質(zhì)量檢測（U）

數(shù)學（文科）

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.

3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=-5+12i（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的實部為5B.復(fù)數(shù)z的虛部為I2i

C.復(fù)數(shù)z的共鈍復(fù)數(shù)為5+12iD.復(fù)數(shù)z的模為13

2.設(shè)全集U=R,集合A={Mv=/gx},B={x|-7<2+3x<5},則Cu（AUB）=（）

A.{x|0<x<l}B.{犬降0或忘1}C.[x\x<-3}D.[x\x>-3}

3.北宋數(shù)學家沈括的主要數(shù)學成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這種

長方臺形狀的物體垛積.設(shè)隙積共九層，上底由個物體組成，以下各層的長、寬一次各增加一個物

體，最下層（即下底）由cxd個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為

s=6[（2b+d）a+（b+2d）c]+/（c—a）.已知由若干個相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所

示，則該垛積中所有小球的個數(shù)為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.83B.84C.85D.86

4已知平面向量d=（2cosa,—l）,Z?=（coscr,l）,其中?！辏?,兀），若〃」/?,貝！］。=（）.

71兀-3兀

A.ci——B.oc——或。=—

444

-兀兀__2兀

Ca=-D.cc——或（X——

333

5.設(shè)戊，6為兩個平面，則尸的充要條件是

A.戊內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行

B.e內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.￡平行于同一條直線

D.a,/3垂直于同一平面

6.在正四面體A-BCD的棱中任取兩條棱，則這兩條棱所在的直線互相垂直的概率是（）

12

A.-B.-

55

34

C-D.-

55

%3%</

7.已知函數(shù)/'（》）='，若存在加使得關(guān)于x的方程/（%）=加有兩不同的根，則/的取值范圍為

X,X>t

()

A.(-1,O)U(O,1)B.(-l,0)O(l,4w)

C.(f-l)u(O,l)D.

S2n—3

設(shè)等差數(shù)列｛叫，也｝的前〃項和分別為n

8.S",Tn,若對任意正整數(shù)〃都有竦=^—T，則

L4"-3

------:------1-------------)

瓦+瓦b5+b7

19

D.—E.均不

40

(0,兀］)的圖像是()

10.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃x)+/(—x)=0J(f—l)=〃—x+1),當x?0,l)時,

〃x)=2-逐測/(1%80)=()

A._@B.一拽C,V5D.好

555

22

11.已知雙曲線C：二-1=1(。>03>0),拋物線E：V=4%的焦點為R,準線為/,拋物線E與雙曲

ab

線C的一條漸近線的交點為P,且P在第一象限，過尸作/的垂線，垂足為Q,若直線QF的傾斜角為120°,

則雙曲線。的離心率為()

叵V7

A普~r~TD.2

,eI

12.已知正數(shù)Q1滿足——+2Z?<〃+—lnZ?+l,則e"+b=（）

82

933

A.—B.—C.1D.

424

第II卷非選擇題（共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y>2,

13.若實數(shù)x,y滿足約束條件<2x+yW4,則z=x+2y的最小值是.

x-y>-2,

15.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，

滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得。分；③部分

選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個

正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學試題的考試中，小明同學三個多選題

中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學多選題

所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

16.用國表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛叫滿足：a,=1,4+i—1）,“eN*.若

~20241-

2=0,〃=一2,則a“=；若2=〃=1,貝！］V―=.

_/=i%_

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.在中，內(nèi)角的對邊分別為已知4cos——-4sinBsinC=3.

2

（1）求A；

（2）^bc-cosA+ac-cosB=a2-b2,求一ABC面積.

18.手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的

時間稱為手機的待機時間.

為了解A,8兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A,3兩個型號的手機各5

臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下:

手機編號12345

A型待機時間（h）120125122124124

8型待機時間（h）118123127120a

已知A,3兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等.

（1）求。的值；

（2）求A型號被測試手機待機時間方差和標準差的大??；

（3）從被測試的手機中隨機抽取A3型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率.

222

（注：”個數(shù)據(jù)占,％2,…，毛的方差『=-[（%1-x）+（%9-%）+%）],其中無為數(shù)據(jù)和々，???

n

，%的平均數(shù)）

19.如圖所示，在直三棱柱ABC-431G中，平面ABC，平面4用氏4,且A&=A3=2.

（1）求證：平面

（2）若三棱錐A-A3。外接球的體積為￡，求四棱錐4-5。。避1的體積.

20.已知函數(shù)/（x）=4%2+（8-a）x-alnx.

（1）求了（九）的單調(diào)區(qū)間；

(2)當q=2時，證明：/(x)>4x2-2eY+6x+4.

21.已知橢圓E:=+\=l(a〉6〉0)的左，右焦點分別為耳，耳，。為E短軸的一個端點，若是

ab

等邊三角形，點PIf■，坐］在橢圓E上，過點耳作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,C。分別交橢

33

圓E于A,B,C,D,且M,N分別是弦AB,CD的中點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：直線MN過定點；

(3)求瑪面積的最大值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.已知在平面直角坐標系中，以坐標原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線G

x=m+^3cosa

的極坐標方程為O=2sin，；在平面直角坐標系中，曲線C2的參數(shù)方程為《廠(?

y=A/3sina

為參數(shù))，點A的極坐標為且點A在曲線上.

(1)求曲線C1普通方程以及曲線G的極坐標方程；

(2)已知直線/:x-石y=0與曲線G，G分別交于P，。兩點，其中P，。異于原點。，求△APQ

的面積.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2］—。上一1|,aeR.

(1)當。=2時，求不等式/(x)W0的解集；

(2)當。=-1時，函數(shù)/(%)的最小值為機，若4，b,。均為正數(shù)，且求

a+Z>+2c的最大值.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=-5+12i(i是虛數(shù)單位)，則下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z實部為5B.復(fù)數(shù)z的虛部為12i

C.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為5+12iD.復(fù)數(shù)z的模為13

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得選項.

【詳解】解：z=-5+12i,

??.z的實部為-5,虛部為12,z的共軌復(fù)數(shù)為—5-12i,模為J(一5)2+(12)2=13.

說法正確的是復(fù)數(shù)z的模為13.

故選：D.

2.設(shè)全集U=R,集合A={x|y=/gx},B=[x\-7<2+3x<5},則Cu(AUB)=()

A.{x|0<x<l}B.{x降0或x'l}C.{x|x<-3}D.{x\x,>-3}

【答案】C

【解析】

【分析】可求出集合A,B,然后進行并集、補集的運算即可.

【詳解】解：A={x\x>0},B={x\-3<x<l}；

/.AUB={x|x>-3}；

Cu(AUB)={x\x<-3}.

故選C.

【點睛】考查描述法的定義，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及并集、補集的運算.

3.北宋數(shù)學家沈括的主要數(shù)學成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙''者，如果棋、層壇之類，這種

長方臺形狀的物體垛積.設(shè)隙積共九層，上底由axb個物體組成，以下各層的長、寬一次各增加一個物

體，最下層(即下底)由cxd個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為

s=6[(2b+d)a+(b+2d)c]+g(c-a).已知由若干個相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所

示，則該垛積中所有小球的個數(shù)為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.83B.84C.85D.86

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖，求出公式中對應(yīng)的。力,，,也〃，代入公式進行求解.

【詳解】從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知a=3,b=l,c=1,d=5,n=5,

代入公式S=2[（2+5）X3+（1+10）X7]+W（7_3）=^^+^=^=85,

66363

故選：C.

4.已知平面向量@=（2cos%-l）,Z?=（coscr,l）,其中ae（0,兀），若a_Lb，則&=（）.

7171?371

A.cc——B.a=—或a=—

444

7T7T_?27r

C.a=-D.cc——或a=—

333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示得出cos2a=0,結(jié)合角的范圍求解即可.

【詳解】alb,

:,a-b-2cos2a-1=cos2a=0，

ore（0,7i）,e（0,2TI）,

_兀fc3兀

/.2。=—或2。=——，

22

71?3兀

cc——或a——,

44

故選:B.

5.設(shè)戊，夕為兩個平面，則夕的充要條件是

A.戊內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行

B.c內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,《平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行

的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：戊內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是夕的充分條件，由面面平行性質(zhì)

定理知，若a//月，則&內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以戊內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a//〃的必要

條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：

“若aua,bu0,al1b,則a//￡”此類的錯誤.

6.在正四面體A-BCD的棱中任取兩條棱，則這兩條棱所在的直線互相垂直的概率是（）

12

A.-B.-

55

34

C.-D.一

55

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，正四面體A-BCD共有6條棱，其中任取兩條，共有=15種取法，

其中在正四面體A—BCD中，對棱互相垂直，只有A3與CD,AC與班＞,AD與BC,三組互相垂

直，

31

其余任意兩條棱夾角都為60°,所以這兩條棱所在直線互相垂直的概率尸二百=彳.

故選：A.

尤？x<t

7.已知函數(shù)/(%)=，，若存在加使得關(guān)于龍的方程/(%)=根有兩不同的根，則r的取值范圍為

x,x>t

()

A.(-l,0)U(0,l)B.(-1,O)U(1,4W)

C.kJ(0,1)D.(^o,-l)o(l,4<o)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用累函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合題意，列出

不等式，即可求解.

冗3x<(

【詳解】由函數(shù)〃X)=',可得函數(shù)y=/(x)在(—“/),上,+8)上為增函數(shù)，

x,x>t

當X</時，盤式力―/，當/時，源.(％)=/,

若存在機使得關(guān)于X的方程/(力=機有兩不同的根，只需->f,

解得—1<.<0或/>1,所以f的取值范圍為(—1,0)。。,+a).

故選：B.

rxzxS2〃—3

8.設(shè)等差數(shù)列{4},{%}的前幾項和分別為S,,,Tn,若對任意正整數(shù)〃都有聲=H三,則

-----1-----=￡)

b4+bsb5+/?7

A.A51919

B.——c.—D.——E.均不是

7214140

【答案】C

【解析】

【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前九項和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得,

+<311

/cig_a3a9_a3+a9_ax+au_2^_Sn_2x11_3_19

“+4+4+8724+242b￡T(4+4I)--4x11-3-41

故選：C.

9.函數(shù)y=[x+—卜inx(xe[-7i,0)（0,可）的圖像是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可排除BD,再由當（0,兀］時，y>0,可排除A.

【詳解】因為函數(shù)定義域為［-兀,0）5。，可關(guān)于原點對稱,

11

且/(T)=—XH---s--i--n(-x)XH----sinx=/(x),

—XX

1

則函數(shù)>=XH----sinx為偶函數(shù)，故BD錯誤;

X

當（0,可時，y>0,故A錯誤，C正確;

故選：C

10.已知定義在R上的函數(shù)〃力滿足/(x)+/(—x)=0,〃f—1)=〃—x+1),當ex(0,1)時,

/(%)=2"一行，貝U/(log480)=()

A.一旦B.—逑C,75D,6

555

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)=/(f+1)找到周期為2,則/(log480)=/(log45),因為1<log45<2,不在

(0,1)內(nèi)，所以根據(jù)奇偶性，有/(log45)=-/(-log45)，再根據(jù)周期性有/(log480)=-/(2-log45)，此

時2-log45e(0,1),代入f(x)=2x-V5中，根據(jù)分數(shù)指數(shù)幕的計算法則,及對數(shù)恒等式，對數(shù)運算法則求出

結(jié)果即可.

【詳解】解:由題知〃x)+/(—x)=0,

所以/(%)為奇函數(shù)，

因為/(—x—l)=/(_%+1)，

將上式中-X代替X,

有〃1)=小+1),

將上式中X+1代替X,

有〃x)=〃x+2),

所以了(%)周期T=2,

則/(log480)=f(log4(16x5))

=/(log416+log45)

=/(2+log45)

=/(log45)

=-/(-log45)

=-/(2-log45),

Slog44<log45<log416,

即1<log45<2,

所以2-log45e（0,l）,

因為x?O,l）時,〃力=2「君,

2|og45

所以/（2-log45）=2--75

=工_亞

210g45”

=券飛

--A/5

2M5

__75

210g2"

一_旦,

5

所以/(log480)=—/(2—log45)=^.

故選:D

22

11.已知雙曲線C：二-斗=1(。>0/>0),拋物線E：>2=4%的焦點為R,準線為/,拋物線E與雙曲

ab

線。的一條漸近線的交點為P,且P在第一象限，過P作/的垂線，垂足為Q,若直線QR的傾斜角為120。，

則雙曲線。的離心率為()

A.B.叵C.立D.2

332

【答案】B

【解析】

b

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點P的坐標，進而求出一即可求解作答.

【詳解】拋物線E：V=4x的焦點為b(1,0),準線為/：x=-l,令/交x于點丁，即有|FT|=2,

由尸Q，/,直線QF的傾斜角為120，得NPQF=NQFT=60,貝H。尸|=2|FT|=4,

181=2百，

又|PF|=|PQ|,則為正三角形，|PQ|=4,因此點P(3,2百)，

22Uub2

雙曲線C：三-當=1(。>0,6>0)過點P的漸近線為y=—X,于是2立=3?一，解得一=F，

故選：B

62a1

12.已知正數(shù)。力滿足—+264。+—1昉+1,則e°+b=()

82

933

A.—B.—C.1D.—

424

【答案】A

【解析】

【分析】不等式可化為e2a_8a<41nb—16人+8,分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由

不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.

p2a1

【詳解】由J+2bVa+—In/j+loe?。一8a<41n6—166+8,

82

設(shè)f(x)=ex-4x,則/(x)=e*—4,

當x>ln4時，f'(x)>0,當x<ln4時，/'(x)<0,

所以/(x)在(0,ln4)上單調(diào)遞減，在(In4,+8)上單調(diào)遞增，

則/(x)而0=/Qn4)=4—81n2,故/(2a)=e?"—8a之4—81n2，

當且僅當2a=ln4,即a=ln2時取等號；

設(shè)g(x)=41nx-16x+8,則g'(x)=火】如),

x

當0<x(工時g'(x)>0,當工<x時g'(x)<0,

44

所以g(X)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以g(x)max=g［；j=4-81n2,故gS)=41nZ?—16Z?+8W4—81n2,

當且僅當人=工時取等號，

4

又/(2a)<g(b),則又2a)=gg)=4-81n2,

119

此時a=ln2,b=—,則e〃+b=2+—=—.

444

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)鍵

之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點之二，

據(jù)此建立方程求解即可.

第n卷非選擇題(共為分)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y>2,

13.若實數(shù)x,y滿足約束條件(2x+yW4,則z=x+2y的最小值是.

x-y>-2,

【答案】2

【解析】

【分析】作出可行域，再將目標函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進行平移，數(shù)形結(jié)合即可得出最值.

【詳解】作出可行域，如下圖：

0

將直線Z=尤+2y進行平移，觀察直線I在y軸上的截距變化，

可知當直線/經(jīng)過點A時，直線/在y軸上的截距最小，此時目標函數(shù)z=x+2y取到最小值,

聯(lián)立［x2+x+yy==24'解得t(x==20,可得點A/.，。、)，

即Zmin=2+0=2.

故答案為：2

,257t2兀

1.」n2

14.e+logsin-----?-log3tan

26T

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】綜合運用對數(shù)恒等式、對數(shù)的運算性質(zhì)和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進行計算即可?

.25兀2兀

［詳解］eln2

+logsin-------log3tan

26T

C1.(4兀i兀

?！鲆?/p>

=2+log2sin44■一?log3tan_7id

I6\3

.71i兀

嗚tan-

=2+log2sin—.1

6\3

=2+^log2^-(log3V3)=2+(-l)l=|.

3

故答案為：—.

2

15.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，

滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得°分；③部分

選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個

正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學試題的考試中，小明同學三個多選題

中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學多選題

所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

【答案】11

【解析】

【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.

【詳解】由題意得小明同學第一題得6分；

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得。分、4分和6分；

第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分

共8種情況，

所以中位數(shù)為電詈=11,

故答案為：n.

16.用國表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛4｝滿足：％=，，%+小九/；—〃（%—1）,“eN*.若

~2024]~

A=0,〃=一2,則；若2=〃=1,貝!]V一=.

_.=1%

2"

【答案】①.2——，②.2

3

【解析】

2

【分析】當4=0,〃=—2時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列｛4-2｝是等比數(shù)列，求出4—2=—§X2"T,進而

111

得出⑸；當丸=〃=1時，由題目中的遞推關(guān)系式可得%+1>%,—=——7----------7，025>2-即可

aa1

n4Tn+l-

求解.

【詳解】當4=0,〃=—2時，%=2（4-1）,即4+1—2=2（4—2）,

9

則數(shù)列｛%—2｝是以q-2=-§為首項，2為公比等比數(shù)列.

2

所以%—2=—§X2〃T,即%=2—、.

當丸=〃=1時，%=。；一（a”T，即%T=%（a”T），且%+i-4=（%-1）&。,

4

故4什1?為,故%之4=§>1,故4+]—4=(%—1)2->0,

1111111

an-1*0,所以所以一=

一1a”(a”T)??-1冊44+1

41111

因為^S-=-+-+H--------

%024

(111(111(111

++?+

、4-1%—1,、出一1%—1,、12024—1。2025—1,

1」=3-」

%一1%025—1。2025

由。1=3,4+i=d一（為—1）可得:131336916-10

dr.=------4-......，--------11>2.

一98146561

1_20241

因為Q〃+i>a?,所以“2025>2,0<-<i,則z—=2.

a2025.1

故答案為：2-L；2.

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前〃項和.利用構(gòu)造法即可求解第一

111

空；借助遞推關(guān)系式得出見+1＞。“，—=—7—,4025〉2是解答第二空的關(guān)鍵.

a

an4—1n+\-1

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.在ABC中，內(nèi)角A5c的對邊分別為“,仇。，已知4cos2g—--4sinBsinC=3.

2

（1）求A；

(2)(^bc-4^3^cosA+ac-cosB=a2-b2,求一ABC面積.

【答案】⑴f

（2）1

【解析】

【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換的知識化簡已知條件，求得cosA,進而求得A.

（2）利用余弦定理化簡已知條件，求得be,進而求得三角形ABC的面積.

【小問1詳解】

l+cos（B-C）

4x------------------4sinBsinC

2

=2+2cos（B-C）-4sinBsinC

=2+2（cosBcosC+sinBsinC）-4siaBsinC

=2+2cos5cosc—2sinBsinC

=2+2cos（JB+C）=2+2cos（兀—A）

=2-2cosA=3,cosA,

2

?..2TI

0<A<7c,A——.

3

【小問2詳解】

由僅。-4gkosA+aocosjB="一"，

得（尻_46）?"+<2〃+*./+<2/=不_/,

'）2bclac

211112121

b+C-a.f-b+C-aa-be-b2.2

----------------4v3----------------1---------------------=Q—b,

22bc2

:.b2+c2-a2-4yf3-b+C~a=0>

2bc

A=—,:.b2+c~~cr^O,

3

1—————O,bc—2^3,S=-besmA=-x2^/3x,

2bcARcC2222

18.手機完全充滿電量，在開機不使用狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的

時間稱為手機的待機時間.

為了解A,3兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取AB兩個型號的手機各5

臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下:

手機編號12345

A型待機時間(h)120125122124124

B型待機時間(h)118123127120a

已知A,8兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等.

(1)求。的值；

(2)求A型號被測試手機待機時間方差和標準差的大?。?/p>

(3)從被測試的手機中隨機抽取A,3型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率.

222

(注：〃個數(shù)據(jù)X],%…，X”的方差?=-[(%1-%)+(%2-x)+...-%)],其中方為數(shù)據(jù)...

n

，%的平均數(shù))

【答案】(1)a=127

⑵叱士卮

55

(3)P(C)=—

25

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系求。；

(2)根據(jù)方差公式以及標準差公式求結(jié)果；

(3)先確定總事件數(shù)，再求對立事件：兩臺待機時間不超過122小時的事件數(shù)，進而確定至少有1臺的

待機時間超過122小時的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率

【小問1詳解】

=123

-2+3+7+0+("120)

=120+

5

由乙=XB，解得a=127.

【小問2詳解】

設(shè)A型號被測試手機的待機時間的方差為“，

則S：=7[(石—xj+(^2~XA)+]

=卻(120-123/+(125-123/+(122-123/+(124-123)2+(124—⑵了

5-

_16

=，

5

所以A型號被測試手機的待機時間的標準差為：〃=175；

【小問3詳解】

設(shè)A型號手機為Ai,A2)A3,A4,A5；B型號手機為Bi,Bi,B3,84,B5,從被測試的手機中隨機抽取

A,8型號手機各1臺，不同的抽取方法有25種.

事件C：“至少有1臺的待機時間超過122小時”

事件“抽取的兩臺手機待機時間都不超過122小時”的選法有：

(Ai,Bi),(Ai,BQ,(A3,Bi),(A3,&),共4種.

因此P?=],所以P(C)=1-P?=||.

【點睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

⑴列舉法.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常

采用樹狀圖法.

(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.

19.如圖所示，在直三棱柱ABC-A與G中，平面ABC,平面44及1,且A&=AB=2.

(1)求證：5cl平面4月處1；

(2)若三棱錐A-ABC外接球的體積為色，求四棱錐A-5CG用的體積.

【答案】(1)證明見解析；

(2)

3

【解析】

【分析】(1)連接AB1，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得四邊形44氏4為正方形，于是A51_LA3,又由面面垂直

的性質(zhì)，可得人耳！.平面ABC,AB,1BC,結(jié)合耳3人BC,利用線面垂直的判定定理可得3cl平

面A與84；

(2)先證明A。為三棱錐A-A3C外接球的直徑，可得AC=3,根據(jù)勾股定理可得3c=1,再證明

14

AB1平面45CG后，可得匕『BCG4=§xlx2x2=].

【小問1詳解】

連接ABt,■：ABC-451cl為直三棱柱，且A4=A3,

ABX±\B,又平面ABC,平面4用而，

且平面ABCc平面4用84=4臺，AB]U平面4耳氏4,

A耳，平面ABC,又BCu平面ABC,A3]，3C,

又與5,平面ABC,BCu平面ABC,

用3人BC,又AB[CB[B=B,且4與，耳5<=平面4與54,

/.3cl平面443A.

【小問2詳解】

4q兀3

由題可知：—兀N=,解得外接球半徑尺=一,

322

由(1)可知3C，45,；/4人。=N45C=90°,

A。為三棱錐A-ABC外接球的直徑，

...AC=3,又M=2,:.AC=小，又AB=2，，3C=1，

AB±BC,AB±BBX,BCcBB】=B,I.AB1平面片BCG,

14

；?J-5。。1片=］Xlx2x2=§.

20.已知函數(shù)/(%)=4%2+(8-a)x-aln%.

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=2時，證明：/(x)>4廠一2e'+6x+4.

【答案】(1)答案不唯一，見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分aW0和。〉0兩類討論，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)原不等式等價于0(x)=e、—Inx—2>0,分析函數(shù)有唯一極值點％,只需證明0(％)>0即可，結(jié)

合零點可知。(％0)=—+/-2,利用均值不等式可知最小值大于0,即可證明.

xo

【小問1詳解】

由題意知/(X)的定義域為(0,+8).由已知得/'(x)="+(8-。)1=(8x—a)(x+l)

XX

當aW0時,/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間.

當a>0時，令/'曲)>0,得令/(