2023屆浙江省高考模擬測數學試卷05（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省2023屆高考數學模擬測試卷05一、單選題1．設集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因為集合，，所以，故選：A.2．設復數，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗A〖解析〗，，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.3．Logistic模型是常用的數學模型之一，可應用于流行病學領域，有學者根據公布的數據建立某地區(qū)流感累計確診病例數（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數，為非零常數，當時，的值為（

）A．60 B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，且，得，解得，故選：A.4．若直線與直線垂直，則實數a的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗直線與直線垂直，則，解得，故選：B.5．我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.若對同一“表高”兩次測量，“晷影長”分別是“表高”的倍和倍（所成角記、），則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意知，，所以.故選：D.6．在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17〖答案〗C〖解析〗設，則有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故選：C.7．已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對角線CE的中點，Q是對角線BD上一個動點，則P，Q兩點之間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗C〖解析〗取邊的中點為,連接,P是CE的中點，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當時，此時最小，故的最小值為,所以，、故選：C.8．設正數滿足，當時，恒有，則乘積的最小值是（

）A． B．2 C． D．〖答案〗B〖解析〗不妨設，由，解得，同理可得，所以，解得，又因為，解得，所以.因為，所以，構建，.因為，所以為開口向下的二次函數，所以的最小值為或，則有：①若的最小值為，則，解得，所以，構建，則，令，解得；令，解得，則在上單調遞增，在上單調遞減，且，所以的最小值為2，即的最小值為2；②若的最小值為，則，解得，所以，構建，則，則在上單調遞減，則，所以的最小值為，即的最小值為,綜上所述，的最小值為2.故選：B.二、多選題9．擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據這5次的統計結果，下列選項中有可能出現點數1的是（

）．A．中位數是3，眾數是2 B．平均數是4，中位數是5C．極差是4，平均數是2 D．平均數是4，眾數是5〖答案〗BCD〖解析〗對于A，中位數是3，則這5個數從小到大排列后，第3個數是3，第1、2個數是2才能使眾數為2，故第1個數不是1，故A不正確，對于B，有可能出現點數1，例如；對于C，有可能出現點數1，例如；對于D，有可能出現點數1，例如；故選：BCD.10．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當時，的最大值為C．函數的圖象關于點對稱D．函數在點處的切線方程為〖答案〗AD〖解析〗由圖可知，，，即，又，所以，由五點作圖法可得，所以，，對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，當時，，所以，所以的最大值為2，故B錯誤；對于C，當時，，，所以函數的圖象不關于點對稱，故C錯誤；對于D，由，可得，，所以函數在點處的切線方程為，故D正確．故選：AD．11．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，點是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段為直徑的圓經過點，則（

）A．的面積為 B．點的橫坐標為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為〖答案〗AB〖解析〗由雙曲線方程知，，所以雙曲線的漸近線方程為，故C錯誤；又，所以為直徑的圓方程為，故D錯誤；由，得或，所以點的橫坐標為2或，故B正確；又，所以，故A正確．故選：AB．12．數列共有M項（常數M為大于5的正整數），對于任意正整數，都有，且當時，，記的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．當時，B．當時，C．對任意小于M的正整數i，j，一定存在正整數p，q，使得D．對中任意一項，必存在中兩項，使，，按照一定的順序排列可以構成等差數列.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，故，所以，A正確；對于B，因為，所以，所以，又當時，，所以，B錯誤，對于C，當為偶數時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，當為奇數時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，所以要證明對任意小于M的正整數i，j，一定存在正整數p，q，使得，只需證明對任意的小于等于的正整數，一定存在正整數p，q，使得，又當時，，所以原命題成立，C正確；對于D，當為偶數時，若，則，取，，此時成等差數列，若，則，取，，此時成等差數列，若，則，取，，此時成等差數列，當時，可得，，因為存在與所以存在與按照一定的順序排列可以構成等差數列，當為奇數時，只需考慮的情況，（其它情形與為偶數的情況一樣），此時取，，可得成等差數列，D正確；故選：ACD.三、填空題13．的展開式中二項式系數最大的項是________.〖答案〗〖解析〗的二項展開式有7項，其二項式系數為，由組合數的性質可知最大，故由二項式定理得二項式系數最大的一項是.故〖答案〗為：14．已知橢圓經過點和，則橢圓的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗將兩個點代入橢圓方程得：，解得，故.故〖答案〗為：15．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則的值是______．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，因為，，所以，故〖答案〗為：16．已知函數.如果存在實數使函數，在處取得最小值，則實數的最大值為__．〖答案〗〖解析〗，當時，在處取得最小值，則，即：，當時,不等式恒成立.當時,不等式可化為：，設，，知其圖象是開口向下的拋物線,故在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，且則不等式成立的充要條件是整理得,則該不等式在上有解，即得解,故實數的最大值為.故〖答案〗為：四、解答題17．已知數列的前n項和為，，，且．（1）求數列的通項公式；（2）已知，求數列的前n項和．（1）解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數列，則；（2）解：由題知則18．在△中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且，．（1）求證：△為等腰三角形；（2）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求AC邊上的高h．條件①：△的面積為；條件②：△的周長為20．（1）證明：因為，由余弦定理可得：，又，設，則，解得（舍）或，故△為等腰三角形，即證.（2）解：選①：△的面積為，由，可得，又，故，則，又，故可得，又，則，因為AC邊上的高為h，故，故可得；選②：△的周長為20，則，即，結合可得，由，可得，又，故，則，即，解得.綜上所述，選擇①②作為條件，均有.19．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個法向量．因為，所以．又平面，所以平面．（2）解：因為，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為．設直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．20．某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質花苗．（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質花苗數的分布列和數學期望；（3）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質花苗與培育方法有關．優(yōu)質花苗非優(yōu)質花苗合計甲培育法20乙培育法10合計附：下面的臨界值表僅供參考．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（參考公式：，其中．）解：（1）由，解得．令得分中位數為x，由，解得．故綜合評分的中位數為82.5．（2）由（1）與頻率分布直方圖，優(yōu)質花苗的頻率為，即概率為，設所抽取的花苗為優(yōu)質花苗的顆數為X，則，；；；．其分布列為：X0123P所以，所抽取的花苗為優(yōu)質花苗的數學期望．（3）結合（1）與頻率分布直方圖，優(yōu)質花苗的頻率為，則樣本中，優(yōu)質花苗的顆數為60棵，列聯表如下表所示：優(yōu)質花苗非優(yōu)質花苗合計甲培育法203050乙培育法401050合計6040100可得．所以，有90%的把握認為優(yōu)質花苗與培育方法有關系．21．已知橢圓的離心率為，C上點M到C外點的距離最小值為2．（1）求C的方程；（2）設A，B為C的左右頂點，點M關于x軸的對稱點為，經過點M的直線與直線相交于點N，直線與的斜率之積為．記和的面積分別為S1，S2，求的最大值．解：（1）由點在軸上，所以橢圓的右頂點到的距離最小，故．由，得b=1．所以C的方程為．（2），設，則，所以直線與的斜率之積為．因為直線與的斜率之積為，所以直線斜率為斜率的3倍．因為，設，由得，．由對稱性知經過x軸上的定點，因為，由，得且，所以，所以經過定點．解法1：所以．設，因為，所以．設，，因為當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以．因此，當且僅當取等號，取等號時，，．于是當，時，取最大值．解法2：可知MN不垂直于y軸，設，聯立得，因為，所以,因此．由，得，當，時等號成立，于是取最大值．22．已知函數，（其中是自然對數的底數）（1）試討論函數的零點個數；（2）當時，設函數的兩個極值點為、且，求證：.（1）解：由可得，令，其中，則函數的零點個數等于直線與函數圖象的公共點個數，，令可得，列表如下：減極小值增如下圖所示：當時，函數無零點；當時，函數只有一個零點；當時，函數有兩個零點.（2）證明：，其中，所以，，由已知可得，上述兩個等式作差得，要證，即證，因為，設函數的圖象交軸的正半軸于點，則，因為函數在上單調遞增，，，，設函數的圖象在處的切線交直線于點，函數的圖象在處的切線交直線于點，因為，所以，函數的圖象在處的切線方程為，聯立可得，即點，構造函數，其中，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，所以，對任意的，，當且僅當時等號成立，由圖可知，則，所以，，因為，可得，函數在處的切線方程為，聯立，解得，即點，因為，所以，，構造函數，其中，則，，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，所以，對任意的，，當且僅當時，等號成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.浙江省2023屆高考數學模擬測試卷05一、單選題1．設集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因為集合，，所以，故選：A.2．設復數，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗A〖解析〗，，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.3．Logistic模型是常用的數學模型之一，可應用于流行病學領域，有學者根據公布的數據建立某地區(qū)流感累計確診病例數（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數，為非零常數，當時，的值為（

）A．60 B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，且，得，解得，故選：A.4．若直線與直線垂直，則實數a的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗直線與直線垂直，則，解得，故選：B.5．我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.若對同一“表高”兩次測量，“晷影長”分別是“表高”的倍和倍（所成角記、），則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意知，，所以.故選：D.6．在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17〖答案〗C〖解析〗設，則有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故選：C.7．已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對角線CE的中點，Q是對角線BD上一個動點，則P，Q兩點之間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗C〖解析〗取邊的中點為,連接,P是CE的中點，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當時，此時最小，故的最小值為,所以，、故選：C.8．設正數滿足，當時，恒有，則乘積的最小值是（

）A． B．2 C． D．〖答案〗B〖解析〗不妨設，由，解得，同理可得，所以，解得，又因為，解得，所以.因為，所以，構建，.因為，所以為開口向下的二次函數，所以的最小值為或，則有：①若的最小值為，則，解得，所以，構建，則，令，解得；令，解得，則在上單調遞增，在上單調遞減，且，所以的最小值為2，即的最小值為2；②若的最小值為，則，解得，所以，構建，則，則在上單調遞減，則，所以的最小值為，即的最小值為,綜上所述，的最小值為2.故選：B.二、多選題9．擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據這5次的統計結果，下列選項中有可能出現點數1的是（

）．A．中位數是3，眾數是2 B．平均數是4，中位數是5C．極差是4，平均數是2 D．平均數是4，眾數是5〖答案〗BCD〖解析〗對于A，中位數是3，則這5個數從小到大排列后，第3個數是3，第1、2個數是2才能使眾數為2，故第1個數不是1，故A不正確，對于B，有可能出現點數1，例如；對于C，有可能出現點數1，例如；對于D，有可能出現點數1，例如；故選：BCD.10．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當時，的最大值為C．函數的圖象關于點對稱D．函數在點處的切線方程為〖答案〗AD〖解析〗由圖可知，，，即，又，所以，由五點作圖法可得，所以，，對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，當時，，所以，所以的最大值為2，故B錯誤；對于C，當時，，，所以函數的圖象不關于點對稱，故C錯誤；對于D，由，可得，，所以函數在點處的切線方程為，故D正確．故選：AD．11．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，點是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段為直徑的圓經過點，則（

）A．的面積為 B．點的橫坐標為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為〖答案〗AB〖解析〗由雙曲線方程知，，所以雙曲線的漸近線方程為，故C錯誤；又，所以為直徑的圓方程為，故D錯誤；由，得或，所以點的橫坐標為2或，故B正確；又，所以，故A正確．故選：AB．12．數列共有M項（常數M為大于5的正整數），對于任意正整數，都有，且當時，，記的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．當時，B．當時，C．對任意小于M的正整數i，j，一定存在正整數p，q，使得D．對中任意一項，必存在中兩項，使，，按照一定的順序排列可以構成等差數列.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，故，所以，A正確；對于B，因為，所以，所以，又當時，，所以，B錯誤，對于C，當為偶數時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，當為奇數時，由可得若，則，則，同理可得若，則，，所以要證明對任意小于M的正整數i，j，一定存在正整數p，q，使得，只需證明對任意的小于等于的正整數，一定存在正整數p，q，使得，又當時，，所以原命題成立，C正確；對于D，當為偶數時，若，則，取，，此時成等差數列，若，則，取，，此時成等差數列，若，則，取，，此時成等差數列，當時，可得，，因為存在與所以存在與按照一定的順序排列可以構成等差數列，當為奇數時，只需考慮的情況，（其它情形與為偶數的情況一樣），此時取，，可得成等差數列，D正確；故選：ACD.三、填空題13．的展開式中二項式系數最大的項是________.〖答案〗〖解析〗的二項展開式有7項，其二項式系數為，由組合數的性質可知最大，故由二項式定理得二項式系數最大的一項是.故〖答案〗為：14．已知橢圓經過點和，則橢圓的離心率為___________.〖答案〗〖解析〗將兩個點代入橢圓方程得：，解得，故.故〖答案〗為：15．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則的值是______．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，因為，，所以，故〖答案〗為：16．已知函數.如果存在實數使函數，在處取得最小值，則實數的最大值為__．〖答案〗〖解析〗，當時，在處取得最小值，則，即：，當時,不等式恒成立.當時,不等式可化為：，設，，知其圖象是開口向下的拋物線,故在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，且則不等式成立的充要條件是整理得,則該不等式在上有解，即得解,故實數的最大值為.故〖答案〗為：四、解答題17．已知數列的前n項和為，，，且．（1）求數列的通項公式；（2）已知，求數列的前n項和．（1）解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數列，則；（2）解：由題知則18．在△中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且，．（1）求證：△為等腰三角形；（2）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求AC邊上的高h．條件①：△的面積為；條件②：△的周長為20．（1）證明：因為，由余弦定理可得：，又，設，則，解得（舍）或，故△為等腰三角形，即證.（2）解：選①：△的面積為，由，可得，又，故，則，又，故可得，又，則，因為AC邊上的高為h，故，故可得；選②：△的周長為20，則，即，結合可得，由，可得，又，故，則，即，解得.綜上所述，選擇①②作為條件，均有.19．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個法向量．因為，所以．又平面，所以平面．（2）解：因為，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為．設直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．20．某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質花苗．（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質花苗數的分布列和數學期望；（3）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質花苗與培育方法有關．優(yōu)質花苗非優(yōu)質花苗合計甲培育法20乙培育法10合計附：下面的臨界值表僅供參考．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（參考公式：，其中．）解：（1）由，解得．令得分中位數為x，由，解得．故綜合評分的中位數為82.5．（2）由（1）與頻率分布直方圖，優(yōu)質花苗的頻率為，即概率為，設所抽取的花苗為優(yōu)質花苗的顆數為X，則，；；；．其分布列為：X0123P所以，所抽取的花苗為優(yōu)質花苗的數學期望．（3）結合（1）與頻率分布直方圖，優(yōu)質