3.1.2 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.1.2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓是平面上的曲線，其所有點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以通過(guò)將橢圓方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式來(lái)得到，其中涉及到橢圓的離心率和半長(zhǎng)軸、半短軸等參數(shù)。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的方程和性質(zhì)，這為理解橢圓的定義和性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。其次，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程和二次函數(shù)方程，這有助于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程。最后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)和向量，這為計(jì)算橢圓的離心率和參數(shù)提供了工具。

本節(jié)課的內(nèi)容與課本《數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)》第3章“圓錐曲線”中的“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”相關(guān)聯(lián)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠掌握橢圓的定義和性質(zhì)，學(xué)會(huì)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的能力。通過(guò)學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生將能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。同時(shí)，本節(jié)課還將培養(yǎng)學(xué)生與他人合作交流的能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法1.重點(diǎn)：

-橢圓的定義及其幾何屬性

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)

-橢圓的應(yīng)用實(shí)例

2.難點(diǎn)：

-橢圓定義的深入理解

-橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程

-橢圓的應(yīng)用實(shí)例分析

解決辦法：

-對(duì)于橢圓定義的深入理解，可以通過(guò)實(shí)際例子和圖形的直觀展示來(lái)幫助學(xué)生理解橢圓的形狀和性質(zhì)。

-對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，可以通過(guò)逐步引導(dǎo)和公式推導(dǎo)，讓學(xué)生跟隨教師的思路，逐步掌握推導(dǎo)過(guò)程。

-對(duì)于橢圓的應(yīng)用實(shí)例分析，可以通過(guò)實(shí)際問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、建立模型、求解問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

突破策略：

-采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流討論，共同解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

-利用多媒體教學(xué)手段，如動(dòng)畫、視頻等，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和生動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

-設(shè)計(jì)一些實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料。本節(jié)課所需教材為人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)，第3章“圓錐曲線”中的“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。這些資源主要包括：

-橢圓的圖形展示，包括標(biāo)準(zhǔn)橢圓、斜橢圓、雙曲型橢圓等，以幫助學(xué)生直觀地理解橢圓的形狀和性質(zhì)。

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程的步驟圖解，以幫助學(xué)生理解推導(dǎo)過(guò)程。

-橢圓的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例，如衛(wèi)星軌道、行星軌道等，以幫助學(xué)生了解橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。本節(jié)課不涉及實(shí)驗(yàn)，故無(wú)需準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)器材。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等。具體布置如下：

-將教室分成幾個(gè)小組討論區(qū)，每個(gè)小組配備一張桌子、幾把椅子，以便學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作學(xué)習(xí)。

-在教室的一側(cè)設(shè)置一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，用于展示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程的步驟圖解，以便學(xué)生更直觀地了解推導(dǎo)過(guò)程。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.導(dǎo)入：通過(guò)一個(gè)關(guān)于橢圓的實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓的定義和性質(zhì)。

2.講解：結(jié)合教材和輔助材料，講解橢圓的定義、幾何屬性、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。講解過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生思考和理解，及時(shí)解答學(xué)生的疑問(wèn)。

3.實(shí)踐：通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流討論，共同解決一個(gè)關(guān)于橢圓的實(shí)際問(wèn)題。在討論過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新能力。

4.總結(jié)：對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓的定義、幾何屬性、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5.作業(yè)：布置與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固所學(xué)知識(shí)。

六、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂參與度：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況。

2.小組合作學(xué)習(xí)：觀察學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，了解學(xué)生是否能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

3.作業(yè)完成情況：檢查學(xué)生的作業(yè)完成情況，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握程度。

4.課后反饋：收集學(xué)生的意見和建議，了解學(xué)生對(duì)課堂的滿意度，為今后的教學(xué)提供參考。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)興趣。

過(guò)程：教師通過(guò)展示一個(gè)關(guān)于橢圓的實(shí)際問(wèn)題，如衛(wèi)星軌道的形狀，引發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓的定義和性質(zhì)。

2.橢圓的定義與幾何屬性（10分鐘）

目標(biāo)：使學(xué)生了解橢圓的定義和幾何屬性。

過(guò)程：教師結(jié)合教材和輔助材料，講解橢圓的定義、幾何屬性，如焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等，并通過(guò)圖形展示，幫助學(xué)生直觀地理解橢圓的形狀和性質(zhì)。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)（20分鐘）

目標(biāo)：使學(xué)生掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。

過(guò)程：教師結(jié)合教材和輔助材料，講解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)逐步引導(dǎo)和公式推導(dǎo)，讓學(xué)生跟隨教師的思路，逐步掌握推導(dǎo)過(guò)程。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

過(guò)程：教師給出一個(gè)關(guān)于橢圓的實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生在小組內(nèi)交流討論，共同解決問(wèn)題。在討論過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新能力。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：檢查學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況，提高學(xué)生的表達(dá)能力和自信心。

過(guò)程：每個(gè)小組派代表上臺(tái)展示本小組的討論成果，其他同學(xué)認(rèn)真傾聽，教師對(duì)每個(gè)小組的表現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出優(yōu)點(diǎn)和不足，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

過(guò)程：教師對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓的定義、幾何屬性、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程，同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)之美》一書中關(guān)于橢圓的內(nèi)容，作者：吳軍。

-《幾何原本》中關(guān)于橢圓的定義和性質(zhì)的描述。

-《解析幾何》一書中關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程的詳細(xì)講解。

-《橢圓的應(yīng)用與研究》一文，介紹了橢圓在天文、工程、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-要求學(xué)生查閱相關(guān)資料，深入了解橢圓的定義、幾何屬性、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。

-鼓勵(lì)學(xué)生探索橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用，如衛(wèi)星軌道、行星軌道、天文望遠(yuǎn)鏡等。

-引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓與其他曲線（如圓、雙曲線、拋物線等）的關(guān)系，探索它們之間的共性和差異。

-要求學(xué)生進(jìn)行橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)練習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和計(jì)算能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與橢圓的實(shí)驗(yàn)探究，如制作橢圓模型、測(cè)量橢圓的參數(shù)等，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

-引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用橢圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，如設(shè)計(jì)橢圓形的跑道、計(jì)算橢圓形的面積等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.橢圓的定義及其幾何屬性

重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率等。

板書設(shè)計(jì)：

-橢圓的定義：所有點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù)

-焦點(diǎn)：橢圓上離橢圓中心最近的點(diǎn)

-長(zhǎng)軸：橢圓上距離最長(zhǎng)的直徑

-短軸：橢圓上距離第二長(zhǎng)的直徑

-離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比值

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)

重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程、推導(dǎo)過(guò)程等。

板書設(shè)計(jì)：

-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

-參數(shù)方程：\[x=a\cos(t),y=b\sin(t)\]

-推導(dǎo)過(guò)程：將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程

3.橢圓的應(yīng)用實(shí)例分析

重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：橢圓在天文、工程、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

板書設(shè)計(jì)：

-橢圓在天文學(xué)中的應(yīng)用：衛(wèi)星軌道、行星軌道等

-橢圓在工程學(xué)中的應(yīng)用：橢圓形跑道、橢圓形水池等

-橢圓在生物學(xué)中的應(yīng)用：細(xì)胞核的形狀、植物葉片的形狀等典型例題講解1.題型一：求橢圓的離心率

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的離心率。

【答案】橢圓的離心率\(e\)可以通過(guò)公式\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)計(jì)算得出。

2.題型二：求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。

【答案】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為\(2a\)，短軸長(zhǎng)度為\(2b\)。

3.題型三：求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

【答案】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((±c,0)\)，其中\(zhòng)(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

4.題型四：求橢圓的參數(shù)方程

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的參數(shù)方程。

【答案】橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，其中\(zhòng)(t\)是參數(shù)。

5.題型五：求橢圓的面積

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的面積。

【答案】橢圓的面積\(S\)可以通過(guò)公式\(S=\piab\)計(jì)算得出。

6.題型六：求橢圓的方程

【例題】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為\(2a\)，短軸長(zhǎng)度為\(2b\)，求橢圓的方程。

【答案】橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

7.題型七：求橢圓的焦點(diǎn)距離

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的焦點(diǎn)距離。

【答案】橢圓的焦點(diǎn)距離\(2c\)可以通過(guò)公式\(2c=2\sqrt{a^2-b^2}\)計(jì)算得出。

8.題型八：求橢圓的斜率

【例題】已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求橢圓的斜率。

【答案】橢圓的斜率可以通過(guò)公式\(k=-\frac{a^2}{b^2}\)計(jì)算得出。

9.題型九：求橢圓的參數(shù)\(t\)

【例題】已知橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求橢圓的參數(shù)\(t\)。

【答案】橢圓的參數(shù)\(t\)可以通過(guò)公式\(t=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)計(jì)算得出。

10.題型十：求橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)\(a\)和\(b\)

【例題】已知橢圓的參數(shù)方程為\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求橢圓的參數(shù)\(a\)和\(b\)。

【答案】橢圓的參數(shù)\(a\)和\(b\)可以通過(guò)公式\(a=\sqrt{x^2+y^2}\),\(b=\sqrt{x^2-y^2}\)計(jì)算得出。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況。重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生在課堂上的提問(wèn)、回答問(wèn)題、參與討論等情況，以及學(xué)生對(duì)橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程的理解程度。

2.小組討論成果展示：通過(guò)小組討論，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況，以及學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新能力。觀察學(xué)生在小組討論中的表現(xiàn)，了解他們是否能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，以及他們?cè)谟懻撝械膮⑴c度和貢獻(xiàn)度。

3.隨堂測(cè)試：通過(guò)隨堂測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況，以及學(xué)生的計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力。測(cè)試內(nèi)容應(yīng)包括橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程，以及橢圓的應(yīng)用實(shí)例。

4.作業(yè)完成情況：檢查學(xué)生的作業(yè)完成情況，了解學(xué)生對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握程度。重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的作業(yè)完成質(zhì)量，以及他們?cè)谧鳂I(yè)中遇到的問(wèn)題和困難。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：根據(jù)以上評(píng)價(jià)結(jié)果，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，給出有針對(duì)性的反饋和建議。對(duì)于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性。對(duì)于存在困難的學(xué)生，給予個(gè)別輔導(dǎo)和指導(dǎo)，幫助他們解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，提高他們的學(xué)習(xí)能力和自信心。同時(shí)，根據(jù)學(xué)生的反饋和建議，對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)，以提高教學(xué)效果和學(xué)生的滿意度。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入實(shí)際問(wèn)題：在教學(xué)中引入與橢圓相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如衛(wèi)星軌道、行星軌道等，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，讓學(xué)生了解橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用。

2.小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新能力。通過(guò)小組討論和合作解決問(wèn)題，提高學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)效果。

3.多媒體教學(xué)手段：利用多媒體教學(xué)手段，如動(dòng)畫、視頻等，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和生動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

（二）存在主要問(wèn)題

1.教學(xué)管理：在課堂管理方面，存在部