人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第15講 7.1.1 條件概率（原卷版）

第01講第01講7.1.1條件概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①結(jié)合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。②了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系。③能計(jì)算簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的條件概率。1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷條件概率，掌握條件概率的基本求法，能解決與條件概率相關(guān)的問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)隨機(jī)事件，且SKIPIF1<0，我們稱(chēng)SKIPIF1<0為在事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件下，事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率．①一般地，每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說(shuō)的條件概率是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的部分信息已知（即在原試驗(yàn)條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.②事件SKIPIF1<0在“事件SKIPIF1<0已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒(méi)有這個(gè)附加條件下的概率在很多情況下是不同的.③當(dāng)題目涉及“在…前提下”等字眼時(shí)，一般為條件概率.若題目沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率.④在條件概率的定義中，要強(qiáng)調(diào)SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不能用這一方法定義事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件下，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率.（2）特別說(shuō)明：①計(jì)算條件概率時(shí)，SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同時(shí)發(fā)生的概率，不能隨便用事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0；②在條件概率的表示中，“SKIPIF1<0”之后的部分表示條件；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的意義不同，SKIPIF1<0表示在事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件下事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率，而SKIPIF1<0是指在事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件下事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率；④SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的區(qū)別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗(yàn)結(jié)果”，后者的樣本空間為“在原試驗(yàn)條件下，再加上事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件”，一般地，SKIPIF1<0.知識(shí)點(diǎn)02：乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．我們稱(chēng)上式為概率的乘法公式．【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意，知SKIPIF1<0.故選：C.知識(shí)點(diǎn)03：條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)SKIPIF1<0，則①SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個(gè)互斥事件，則SKIPIF1<0；③設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互為對(duì)立事件，則SKIPIF1<0．④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：SKIPIF1<0.知識(shí)點(diǎn)04：事件的相互獨(dú)立性（1）事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨(dú)立：對(duì)任意的兩個(gè)事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0,如果SKIPIF1<0成立，則稱(chēng)事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立.（2）性質(zhì)：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨(dú)立，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也都相互獨(dú)立，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（3）易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥.題型01條件概率的求法【典例1】（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以從SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件SKIPIF1<0為“甲和乙至少一人選擇了SKIPIF1<0社區(qū)”，事件SKIPIF1<0為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）俗話(huà)說(shuō)“斜風(fēng)細(xì)雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風(fēng).已知某地8月份刮風(fēng)的概率為SKIPIF1<0，下雨的概率為SKIPIF1<0，既刮風(fēng)又下雨的概率為SKIPIF1<0.記事件SKIPIF1<0為“8月份某天刮風(fēng)”，事件SKIPIF1<0為“8月份某天下雨”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個(gè)白球與7個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）盒內(nèi)裝有除型號(hào)和顏色外完全相同的16個(gè)球，其中6個(gè)是E型玻璃球，10個(gè)是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；F型玻璃球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問(wèn)該球是E型玻璃球的概率是多少？【變式1】（2024上·遼寧·高二盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）小張?小王兩家計(jì)劃國(guó)慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤(pán)錦紅海灘”這五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風(fēng)凰山”，事件B：“兩家選擇景點(diǎn)不同”.則概率SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為.【變式3】（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的9個(gè)球，其中黃球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，綠球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件SKIPIF1<0“取出的兩個(gè)球顏色不同”，記事件SKIPIF1<0“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則SKIPIF1<0.題型02乘法公式的應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，再?gòu)?號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有2個(gè)紅球，8個(gè)黑球，從中不放回地任取1個(gè)小球，則第二次才取出紅球的概率是.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某廠(chǎng)產(chǎn)品的廢品率為4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）瑪麗想在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)一款品牌手機(jī)，客服承諾該品牌手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，瑪麗想如果手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以購(gòu)買(mǎi)，否則放棄．請(qǐng)你用所學(xué)的概率知識(shí)幫瑪麗做一下決策．題型03條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為任意兩個(gè)事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)必成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（多選）（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和SKIPIF1<0道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取SKIPIF1<0道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第SKIPIF1<0次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是可能的C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為隨機(jī)事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對(duì)立事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【變式3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問(wèn)已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.62．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某工廠(chǎng)生產(chǎn)了一批產(chǎn)品，需等待檢測(cè)后才能銷(xiāo)售.檢測(cè)人員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了5件產(chǎn)品來(lái)檢測(cè)，現(xiàn)已知這5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）擲一個(gè)均勻的骰子．記SKIPIF1<0為“擲得點(diǎn)數(shù)大于SKIPIF1<0”，SKIPIF1<0為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2024上·全國(guó)·高三期末）某校舉辦中學(xué)生乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一年級(jí)初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機(jī)選取3人組成代表隊(duì)參賽，在代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0.02 B．0.03C．0.04 D．0.056．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）核酸檢測(cè)是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對(duì)檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國(guó)外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽(yáng)性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測(cè)，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽(yáng)性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某學(xué)校安排音樂(lè)?閱讀?體育和編程四項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加，甲?乙?丙?丁4位同學(xué)每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同的概率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2024上·山東濰坊·高二昌樂(lè)二中?？计谀┮阎猄KIPIF1<0與SKIPIF1<0獨(dú)立，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2024上·全國(guó)·高三期末）已知隨機(jī)事件SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不可能事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥B．必然事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨(dú)立C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<010．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)不下雨的概率為SKIPIF1<0；刮四級(jí)以上風(fēng)的概率為SKIPIF1<0，既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為下雨，SKIPIF1<0為刮四級(jí)以上的風(fēng)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P（B|A）＝；P（A|B）＝.12．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明去書(shū)店買(mǎi)了5本參考書(shū)，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是.四、解答題13．（2024上·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子里放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球、3個(gè)黑球.(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求兩個(gè)小球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.14．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知某大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)二年級(jí)的學(xué)生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示．男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無(wú)自主創(chuàng)業(yè)打算6460從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取一人：(1)求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(2)求抽到的人是女生的概率；(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(4)判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”是否獨(dú)立．B能力提升1．（多選）（2023下·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為隨機(jī)事件，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可能不相互獨(dú)立B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF