2024年溫州市高三數(shù)學(xué)5月第三次模擬考試卷附答案解析

2024年溫州市高三數(shù)學(xué)5月第三次模擬考試卷試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘2024.05注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在中，三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．12．平面向量，若，則（

）A． B．1 C． D．23．設(shè)為同一試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，則“”是“事件互為對(duì)立事件”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，和的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值分別為和，則（

）A．B．C． D．的大小關(guān)系與有關(guān)5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點(diǎn)與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（

）A．30° B．45° C．75° D．90°10．已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的值域是，則下列命題正確的是（

）A．若，則不存在最大值 B．若，則的最小值是C．若，則的最小值是 D．若，則的最小值是非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.13．定義在上的函數(shù)滿足：，則.14．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)，沿軸將坐標(biāo)系翻折成直二面角，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15．由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點(diǎn)，平面.(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的大小.16．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）17．已知直線與雙曲線相切于點(diǎn).(1)試在集合中選擇一個(gè)數(shù)作為的值，使得相應(yīng)的的值存在，并求出相應(yīng)的的值；(2)過點(diǎn)與垂直的直線分別交軸于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.18．現(xiàn)有張形狀相同的卡片，上而分別寫有數(shù)字，將這張卡片充分混合后，每次隨機(jī)抽取一張卡片，記錄卡片上的數(shù)字后放回，現(xiàn)在甲同學(xué)隨機(jī)抽取4次.(1)若，求抽到的4個(gè)數(shù)字互不相同的概率；(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們常用樣本的均值來估計(jì)總體的期望.定義為隨機(jī)變量的階矩，其中1階矩就是的期望，利用階矩進(jìn)行估計(jì)的方法稱為矩估計(jì).（?。┯浢看纬榈降臄?shù)字為隨機(jī)變量，計(jì)算隨機(jī)變量的1階矩和2階矩；（參考公式：）（ⅱ）知甲同學(xué)抽到的卡片上的4個(gè)數(shù)字分別為3，8，9，12，試?yán)眠@組樣本并結(jié)合（?。┲械慕Y(jié)果來計(jì)算的估計(jì)值.（的計(jì)算結(jié)果通過四舍五入取整數(shù)）19．對(duì)于給定的一個(gè)位自然數(shù)（其中，），稱集合為自然數(shù)的子列集合，定義如下：{且，使得}，比如：當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合；(2)有限集合的元素個(gè)數(shù)稱為集合的基數(shù)，一般用符號(hào)來表示.（?。┮阎嚤容^大小關(guān)系；（ⅱ）記函數(shù)（其中為這個(gè)數(shù)的一種順序變換），并將能使取到最小值的記為.當(dāng)時(shí)，求的最小值，并寫出所有滿足條件的.1．C【分析】由條件可知，結(jié)合求得，從而代入得解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以；又，所以，即，所以，所以.故選：C.2．A【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，由于，所以，解得，故選：A3．B【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率的性質(zhì)可以說明條件是必要的，容易給出反例說明條件不是充分的.【詳解】若互為對(duì)立事件，根據(jù)對(duì)立事件概率公式可直接得到，故條件是必要的；若試驗(yàn)基本事件含3種及以上，其中表示概率為的兩個(gè)不同事件，則不互為對(duì)立事件，此時(shí)，故條件不是充分的.故選：B.4．A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，，再用組合數(shù)的定義驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，最大的二項(xiàng)式系數(shù)出現(xiàn)在正中間的1項(xiàng)或正中間的2項(xiàng).即，，所以，從而.故選：A.5．B【分析】先由兩角和正弦和已知條件解得，進(jìn)而得，再利用兩角和與差的正弦、余弦公式簡化所求式子即可求解.【詳解】因?yàn)椋视蓛山呛驼夜降?，故兩邊平方得，即，?故選：B.6．C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．7．D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的邊長關(guān)系，利用余弦定理即可求解.【詳解】由可知，設(shè)，則，,,則由余弦定理可得化簡可得，故，（舍去），又,所以，化簡可得，故，故選：D8．C【分析】易通過，可得，也可求得，但此數(shù)列存在不確定的首項(xiàng)，所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為，與選項(xiàng)中的四個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)一定不能為負(fù)整數(shù)，所以只能選C.【詳解】由可得：且，由上式又有：，還有，兩式相減得：，兩邊同時(shí)除以得：，由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為1，所以，由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)公式為，又由，所以可以判斷一定不能為負(fù)整數(shù)，即只能有，故選：C.9．AD【分析】過點(diǎn)作，求得直線與所成角的范圍為或，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】過點(diǎn)作，從兩對(duì)角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對(duì)稱性，可得或.故選：AD.10．ACD【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理得到，即可判斷A，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷B，利用韋達(dá)定理判斷C、D.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個(gè)根且，所以，即，故A正確；，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；又，故D正確.故選：ACD11．ABC【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的最值取得條件，周期性及單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)足夠大時(shí)，包含完整周期，故A正確；為使更小，只包含一個(gè)最大、最小值點(diǎn)，所以，解得，，所以時(shí)，，驗(yàn)證成立，故B正確；C項(xiàng)：若，當(dāng)取最小值時(shí)，周期最大，且，故，故，故C正確；D項(xiàng)：若，取最小值時(shí)，周期最大，，當(dāng)，此時(shí)，D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解?故答案為：13．##0.5【分析】依次賦值，得；賦值，得；最后賦值即可求解.【詳解】由題賦值，得，所以由，得；賦值，得，所以；賦值，得.故答案為：.14．##【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三棱錐的體積公式求解．【詳解】由于直線過焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，消去得，，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，三棱錐體積最大．故答案為：．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由已知條件證明出，即可得證平面.（2）先求平面與平面的法向量和，再由，結(jié)合二面角夾角范圍和圖形即可求解.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，則由題意且，故四邊形是平行四邊形，所以且，故且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）由題意可知兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意，又，所以，，即，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的大小為.16．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，無極小值.(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點(diǎn)，由單調(diào)性證明.【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，，，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值為，無極小值.（2）由（1）可知，且，，所以根據(jù)零點(diǎn)定理，使，使，即時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，所以存在唯一極大值點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，即，得證!17．(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2)【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由求得與的函數(shù)關(guān)系，再由的值求出相應(yīng)的的值；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求直線的斜率，得直線的斜率和方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出分點(diǎn)的坐標(biāo)，由在雙曲線上，得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）由，消去得，由，得，當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，則，，對(duì)C求導(dǎo)可得，則，有，所以，令，得，所以；令，得，所以，

所以，即，則，所以，得，，即P的軌跡方程是18．(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）（ⅰ）根據(jù)階矩的定義、期望公式及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得；（ⅱ）首先求出樣本數(shù)據(jù)的階矩及階矩，結(jié)合（ⅰ）的中的結(jié)果得到方程組，解得即可.【詳解】（1）依題意可得抽到的個(gè)數(shù)字互不相同的概率；（2）（ⅰ）依題意的可能取值為，，，，且（且），所以，依題意的可能取值為，，，且（且），所以；（ⅱ）依題意樣本數(shù)據(jù)，，，為期望（平均數(shù)）為，則，，，為期望（平均數(shù)）為，所以，消去得，整理得，解得（負(fù)值已舍去），又，，所以.19．(1)(2)（i）；（ii）答案見解析【分析】（1）由自然數(shù)的子列集合，即可求解；（2）（i）由，根據(jù)子列集合的定義，進(jìn)行列舉，分別求得，和，即可求解；（ii）根據(jù)題意，得到加強(qiáng)命題轉(zhuǎn)化為，等號(hào)成立的條件是，當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起的情形，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，作出證明即可.【詳解】（1）解：由自然數(shù)的子列集合，可得：自然數(shù)，可得.（2）解：（i）由，可得，即，，即，，即，所以.（ii）加強(qiáng)命題如下：若由個(gè)數(shù)字構(gòu)成題中的自然數(shù)（其中，一位整數(shù)，本題即為的情形），則所求，等號(hào)成立的條件是，當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起的情形，證明：①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；②設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于在原來字符串的基礎(chǔ)上增加了個(gè)，注意到此時(shí)時(shí)的每一種排列，此時(shí)匹配上到個(gè)排列，都能構(gòu)成時(shí)的一種排列，再結(jié)合不含有時(shí)的任何元素個(gè)排列，則我們有，而當(dāng)中相同數(shù)字排列在一起時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，命題也成立，由①②知，成立.記，顯然，下面證明：是所有中最小的，從而（其中）設(shè)（其中為的一種順序變換）即只需證取得最小值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)里所有相同的數(shù)字必相等，根據(jù)對(duì)稱性，以為例，即只需證明即可，記，證明，構(gòu)造集合到集合的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得，其中中含有個(gè)，個(gè)，個(gè)，根據(jù)的定義，存在唯一的對(duì)應(yīng)，即，反過來，，設(shè)（其中，個(gè)，個(gè)，個(gè)），設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個(gè)，設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個(gè)，設(shè)中的角標(biāo)分別為，取前個(gè)，將，，，從小到大排列得到新的角標(biāo)，則取，根據(jù)子列集合的定義，可知，因?yàn)槔锖袀€(gè)，個(gè)，個(gè)（但是相同的數(shù)字不一定相鄰）這個(gè)在的作用下，柯達(dá)伊與對(duì)應(yīng)，即.綜上所述，對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合