2024北京市一六一中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京一六一中初二（下）期中數(shù)學(xué)考生須知1．本試題共4頁，共兩部分，四道大題，28道小題．其中第一大題至第三大題為必做題，滿分100分，第四大題為選做題，滿分10分，計(jì)入總分，但卷面總分不超過100分，考試時(shí)間100分鐘．2．試題答案一律填涂或書寫在答題紙上，試卷上作答無效．3．在答題紙上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將答題材料一并交回．一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，， D.1，2，32.下列各式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是正比例函數(shù)的為（）A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝4.如圖，在中，，，則的度數(shù)是（）A.40° B.50° C.60° D.70°5.如圖，四邊形是菱形，其中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.如圖，在桌面上放置一個(gè)正方體，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為一條棱的中點(diǎn)，螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是（）A. B. C. D.7.已知，是函數(shù)的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則m與n的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無法確定8.如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測(cè)力計(jì)下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A. B. C. D.二、填空題（共16分，每題2分）9.若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是________．10.如圖，在中，，，的平分線交，則________．11.如圖，中，，，，，則________，________．12.已知一次函數(shù)的函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限，請(qǐng)寫出一組符合題意的和的值：________，________．13.如圖，直線與交于點(diǎn)，則不等式的解集為______．14.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”．設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為____________．15.若直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和為17，面積是30，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為____________．16.中，，，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，則________．三、解答題（共68分，第17題10分，第18、19、21、26題各6分，第20題4分，第、22、24題各7分，第23、25題各8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計(jì)算：（1）；（2）．18.如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，與交于點(diǎn)O．求證：．19.已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分．（1）直接寫出和的值；（2）求的值．20.已知：在中，．求作：矩形．作法：如下，①分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；②作直線，交邊于點(diǎn)O；③作射線，以點(diǎn)O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，與射線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接；所以四邊形就是所求作的矩形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵直線是的垂直平分線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．∵，∴四邊形是矩形（）（填推理的依據(jù)）．21.如圖，在四邊形中，，，，．（1）求的度數(shù)；（2）求四邊形的面積．22.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE∥AD．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）連接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的長(zhǎng)．23.為了探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，甲同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是甲同學(xué)的探究過程：第一步：的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；第二步：與的幾組對(duì)應(yīng)值：…012……1003…第三步：建立平面直角坐標(biāo)系，畫出函數(shù)圖象；第四步：借助函數(shù)圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)．（1）補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象：（2）觀察的函數(shù)圖象，可得以下結(jié)論：①當(dāng)________時(shí)，函數(shù)有最小值為________；②當(dāng)________時(shí)，隨的增大而增大；③若直線與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是______．24.甲、乙兩家草莓采摘園的草莓品質(zhì)相同，銷售價(jià)格也相同.節(jié)日期間兩家草莓采摘園均推出優(yōu)惠促銷方案：甲采摘園：游客進(jìn)園需購買元的門票，采摘的草莓按照六折計(jì)費(fèi)；乙采摘園：游客進(jìn)園不需購買門票，采摘的草莓達(dá)到一定重量后，超過部分按照優(yōu)惠價(jià)格計(jì)算.設(shè)游客在乙采摘園采摘的草莓重量為千克，所花的費(fèi)用為元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）優(yōu)惠前草莓的銷售價(jià)格為元千克；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)游客采摘草莓的重量為千克時(shí)，在哪家草莓園采摘更劃算，并說明理由.25.在正方形ABCD中，F(xiàn)是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AF，AC，分別過點(diǎn)F，C作AF，AC的垂線交于點(diǎn)Q．（1）依題意補(bǔ)全圖1，并證明；（2）過點(diǎn)Q作，交AC于點(diǎn)N，連接FN．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，寫出一個(gè)BF的值，使四邊形FCQN為平行四邊形，并證明．26.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M和點(diǎn)P（點(diǎn)P在M內(nèi)部或M上），給出如下定義：如果圖形M上存在點(diǎn)Q，使得，那么稱點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)．已知點(diǎn)，，，．（1）在點(diǎn)，，中，矩形的和諧點(diǎn)是_________________；（2）如果直線上存在矩形的和諧點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）如果直線上存在矩形的和諧點(diǎn)E，F(xiàn)，使得線段上的所有點(diǎn)（含端點(diǎn)）都是矩形的和諧點(diǎn)，且，求出b的取值范圍．四、選做題（共10分，第27題3分，第28題7分）27.學(xué)習(xí)完二次根式后，楊老師給甲同學(xué)出了這樣一道思考題：求的值．甲同學(xué)認(rèn)真分析了式子的結(jié)構(gòu)，做出如下解答：設(shè)，兩邊平方得：，即，，，，．請(qǐng)你參考上述方法，求的值．28.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N間的“近距離”，記作．在中，點(diǎn)，，，，如圖1．（1）直接寫出d(點(diǎn)O,)=；（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上，d（點(diǎn)P，）=4，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E、F、H、G，將得到的四邊形記為圖形W（包括邊界）．①當(dāng)時(shí)，在圖2中畫出圖形W，直接寫出的值；②若，直接寫出a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：A、，故不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，故能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．2.【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A、＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；C、，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．3.【答案】C【詳解】解：A.y是x的二次函數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；B.y是x的反比例函數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；C.y是x的正比例函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；D.y是x的一次函數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選C．4.【答案】D【分析】因?yàn)?，，所以可得到，根?jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角相等，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，清楚掌握其性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．5.【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．在中，運(yùn)用勾股定理求得，由菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴在中，，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴點(diǎn)，故選：B．6.【答案】C【分析】本題考查平面展開最短路徑問題，勾股定理，關(guān)鍵是知道兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．正方體側(cè)面展開為長(zhǎng)方形，確定螞蟻爬行的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出最短路徑長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，它運(yùn)動(dòng)的最短路程．故選：C．7.【答案】A【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)中，，∴y隨著x的增大而減?。唿c(diǎn)，是一次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)．對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8.【答案】D【詳解】分析：根據(jù)題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．詳解：由題意可知，鐵塊露出水面以前，F(xiàn)拉+F浮=G，浮力不變，故此過程中彈簧的度數(shù)不變，當(dāng)鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，當(dāng)鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力，故選D．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得，，解得：，故答案為：．10.【答案】4【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，由此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，且∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：

．11.【答案】①.②.##【分析】本題考查了勾股定理，等面積法求高，掌握勾股定理，三角形高的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理可求出的值，根據(jù)等面積法可求出的值．【詳解】解：在中，，∵，∴，∴，故答案為：，

．12.【答案】①.1（答案不唯一）②.1（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由一次函數(shù)的函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限可知，即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴可選，故答案為：（答案不唯一）．13.【答案】x＞1【分析】寫出直線y1=2x在直線y2=-x+a上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：∵直線y1=2x與y2=-x+a交于點(diǎn)P（1，2），

∴不等式2x＞-x+a的解集為x＞1．

故答案是：x＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．14.【答案】（x-4）2+102=x2【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2．【詳解】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為x2＝102＋(x－4)2，故答案為x2＝102＋(x－4)2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．15.【答案】13【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及勾股定理的知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)一條直角邊長(zhǎng)為x，則另一條直角邊長(zhǎng)為，根據(jù)面積建立方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)一條直角邊長(zhǎng)為x，則另一條直角邊長(zhǎng)為，由題意得：，解得：或，∴斜邊，故答案為：13．16.【答案】2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．先證明，繼而得到是的中位線，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，故答案為：2．三、解答題（共68分，第17題10分，第18、19、21、26題各6分，第20題4分，第、22、24題各7分，第23、25題各8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，乘除運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)和運(yùn)算法則，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算乘除，再化簡(jiǎn)二次根式，最后再合并同類二次根式即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．18.【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，由對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可證，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）（2）1【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，代數(shù)式求值，完全平方公式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)即可確定a，b的值；（2）將a，b分別代入即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．20.【答案】（1）圖見解析（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【小問1詳解】解：如圖，四邊形即為所求．【小問2詳解】證明：∵直線是的垂直平分線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∵，∴四邊形是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)D．21.【答案】（1）；（2）．【分析】（）由，，可得，，進(jìn)而由勾股定理的逆定理可得為直角三角形，利用角的和差關(guān)系即可求出；（）由四邊形的面積，計(jì)算即可求解；本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，四邊形的面積，利用勾股定理的逆定理得出是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∴為直角三角形，，∴；【小問2詳解】解：四邊形的面積．22.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先利用兩組對(duì)邊分別平行AE∥BC，CE∥AD，證四邊形ADCE是平行四邊形．利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)AD=BD=CD．可證四邊形ADCE是菱形．（2）過點(diǎn)E作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，由30°直角三角形性質(zhì)可求BC，利用勾股定理可求AB．進(jìn)而可求AD，由四邊形ADCE是菱形與AE//BC，可求∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，由三角函數(shù)EH=1，AH．HB．在Rt△BEH中，BE．【詳解】（1）證明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=BD=CD．∴四邊形ADCE是菱形．（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，∴BC，AB．∴ADBC2，∵四邊形ADCE是菱形，∴AEAD2，∵AE//BC，∴∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，EH，AH．∴HBAH＋AB．在Rt△BEH中，BE．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，30°角直角三角形性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，通過引輔助線構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決問題是關(guān)鍵．23.【答案】（1），1，2；畫函數(shù)圖象見詳解（2）①，；②；③或【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）將x代入函數(shù)解析式即可求出y值，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象；（2）①根據(jù)圖象即可求得最小值以及對(duì)應(yīng)的x值，②根據(jù)題目中的函數(shù)解析式及圖象，可知的取值范圍；③根據(jù)函數(shù)圖象的特征即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象為：故答案為：，1，2．【小問2詳解】解：①由圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，故答案為：，；②由圖象可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故答案為：；③∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)與重合，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與平行，當(dāng)或時(shí)，直線與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．故答案為：或．24.【答案】（1）（2）（3）在乙草莓園采摘更劃算，理由見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，用即可求解；（2）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）分別求得甲、乙兩家草莓園的收費(fèi)，比較大小即可求解．【小問1詳解】?jī)?yōu)惠前草莓的銷售價(jià)格為元千克，故答案為：．【小問2詳解】解：設(shè)時(shí)與的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入，得，，解得：∴【小問3詳解】甲采摘園：元，乙采摘園：元，∵，∴在乙草莓園采摘更劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）補(bǔ)圖見解析，證明見解析（2）當(dāng)時(shí)，四邊形FCQN為平行四邊形，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)題意畫出圖象，在BA上截取BM＝BF，連接MF，使AF所在的三角形和QF所在的三角形全等即可得出AF=QF；（2）取，算出FC的長(zhǎng)，然后根據(jù)AC⊥CQ推導(dǎo)NQ=FC，用平行四邊形的判定即可證明四邊形FCQN是平行四邊形．【小問1詳解】補(bǔ)全圖形如圖所示：證明：如圖，在BA上截取BM＝BF，連接MF．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD．∴∠ACB＝45°．∵CQ⊥AC，∴∠ACQ＝90°．∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．∵BM＝BF，∠B＝90°，∴∠FMB＝∠MFB＝45°，．①∴∠AMF＝180°－∠FMB＝135°．∴∠AMF＝∠FCQ．②∵FQ⊥AF，∴∠AFQ＝90°．∴∠QFC＋∠AFB＝90°．∵∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝90°．∴∠BAF＝∠CFQ．③由①②③得△AMF≌△FCQ．∴AF＝FQ．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，四邊形FCQN為平行四邊形．證明：如圖，在BA上截取BM＝BF，連接MF．∵，∴．由（1）可得△BMF為等腰直角三角形，且△AMF≌△FCQ．∴．∵，∴∠FCQ＋∠NQC＝180°．∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°．∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC．∴．∴．∴且．∴四邊形FCQN為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關(guān)鍵是要能作出適當(dāng)?shù)妮o助線FM來證明△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等當(dāng)題目中出現(xiàn)正方形時(shí)，要想到正方形的四邊相等，四個(gè)內(nèi)角相等．26.【答案】(1)和；(2)或；(3)2≤b＜3或-3＜b≤-2.【分析】(1)如下圖1中，根據(jù)點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)的定義，觀察圖形可知P1和P3是矩形ABCD的和諧點(diǎn).(2)如圖2中，求出滿足條件的P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)即可判斷.(3)當(dāng)b=3時(shí)，圖中線段EF上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，當(dāng)將直線往y軸負(fù)半軸平移時(shí)剛好經(jīng)過點(diǎn)M，此時(shí)上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，當(dāng)再往下平移時(shí)，EF上有部分點(diǎn)不再是和諧點(diǎn)，由此求出b的范圍為2≤b＜3；根據(jù)對(duì)稱性，-3＜b≤-2也滿足.【詳解】(1)如下圖1中，根據(jù)點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)的定義，觀察圖形可知：到矩形邊AD和AB的最短距離為2，符合和諧點(diǎn)的定義；到矩形四邊的距離均大于2，不符合和諧點(diǎn)的定義；是矩形邊AD的距離為0，符合和諧點(diǎn)的定義；故是和諧點(diǎn)的是點(diǎn)和.故答案為：和.(2)如圖中：當(dāng)直線上的點(diǎn)P到直線AB的距離為2時(shí)，可得和均滿足和諧點(diǎn)的定義，此時(shí)均是和諧點(diǎn)，故此時(shí)的取值范圍是：；當(dāng)直線上的點(diǎn)P到直線AD的距離為2時(shí)，可得和均滿足和諧點(diǎn)的定義，此時(shí)均是和諧點(diǎn)，故此時(shí)的取值范圍是：；故滿足條件的的取值范圍是：或.故答案為：或.(3)如下圖所示：當(dāng)b=3時(shí)，圖中線段EF上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，當(dāng)將直線往y軸負(fù)半軸平移且剛好經(jīng)過點(diǎn)M(-2,1)，將點(diǎn)M(-2,1)代入解析式，即：，解得：b=2，且此時(shí)故此時(shí)b的范圍為2≤b＜3，同理，由對(duì)稱性可知，當(dāng)-3＜b≤-2也滿足條件.故b的取值范圍為：2≤b＜3或-3＜b≤-2.【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)的綜合題，同時(shí)也是一個(gè)新定義題型，借助一次函數(shù)的知識(shí)，考查了函數(shù)平移等相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類思想思考問題；本題屬于壓軸題，難度較大.四、選做題（共10分，第27題3分，第28題7分）27.【答案】【分析】本題