廣西壯族自治區(qū)南寧市清泉中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市清泉中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A..內(nèi)所有的直線與異面.

B.內(nèi)不存在與平行的直線.C.內(nèi)存在唯一的直線與平行.

D.內(nèi)的直線與都相交.參考答案：B略2.在四邊形ABCD中，，且·＝0，則四邊形ABCD是（

）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形參考答案：A【分析】由可得四邊形為平行四邊形，由·＝0得四邊形的對角線垂直，故可得四邊形為菱形．【詳解】∵，∴與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形．又，∴，即平行四邊形的對角線互相垂直，∴平行四邊形為菱形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查向量相等和向量數(shù)量積的的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解有關(guān)的概念，屬于基礎(chǔ)題．3.在△ABC中，AB=，AC=1，B=，則△ABC的面積是（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC的值，進(jìn)而求得C，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得A，最后利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB?ACsinA=或C=，A=，S=AB?ACsinA=．故選D4.已知為非零不共線向量，向量與共線，則k=（

）A. B. C. D.8參考答案：C【分析】利用向量共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，及向量相等坐標(biāo)分別相等列方程解得?！驹斀狻肯蛄颗c共線，存在實(shí)數(shù)，使得，即又為非零不共線向量，，解得：，故答案選C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的條件，向量相等的條件，屬于基礎(chǔ)題5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個(gè)事件是A．至少有1名男生與全是女生

B．至少有1名男生與全是男生

C．至少有1名男生與至少有1名女生

D．恰有1名男生與恰有2名女生參考答案：D略6.過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）A．B．C．D．參考答案：A

7.在△ABC中，（a，b，c分別為角A、B、C的對邊），則△ABC的形狀為（

）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形參考答案：B【分析】利用二倍角公式，正弦定理，結(jié)合和差公式化簡等式得到，得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8.既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B9.函數(shù)在下面的哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.程序框圖符號“

”可用于

A.輸出a=10

B.賦值a=10

C.判斷a=10

D.輸入a=1參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若向量=（﹣1，2）與向量=（x，4）平行，則實(shí)數(shù)x=

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】平行向量與共線向量．【分析】由于向量=（﹣1，2）與向量=（x，4）平行，可得，進(jìn)而列出方程組求解出答案即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄?（﹣1，2）與向量=（x，4）平行，所以，所以﹣1=λx，2=λ4，解得：λ=，x=﹣2．故答案為﹣2．【點(diǎn)評】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示，并且結(jié)合正確的計(jì)算．12.在中，，則角的最小值是

.參考答案：

13.設(shè)集合，集合.若,則_______．參考答案：14.設(shè)函數(shù)f(x)=,函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f－1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g（3）=_______________________參考答案：g(3)=15.過點(diǎn)的直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為___．參考答案：當(dāng)∠ACB最小時(shí)，弦長AB最短，此時(shí)CP⊥AB.由于C(1,0)，P(，1)，∴kCP＝－2，∴kAB＝，∴直線l方程為y－1＝(x－)，即2x－4y＋3＝0.16.一袋中裝有10個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值為________．參考答案：16至少需摸完黑球和白球共15個(gè)．17.計(jì)算_

_；

參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知冪函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，g（x）=f（x）+2（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；（2）對于任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2），若f（x1）=g（x2），求實(shí)數(shù)t的值；（3）若2xh（2x）+λh（x）≥0對于一切x∈[1，2]成成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義得：m=﹣2，或m=1，由f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，得到m=1，由此能求出f（x）．（2）g（x）=﹣x2+2|x|+t，據(jù)題意知，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2），由此能求出t．（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2xh（2x）+λh（x）≥0等價(jià)于λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），由此能求出λ的取值范圍．【解答】（本小題滿分10分）解：（1）由冪函數(shù)的定義可知：m2+m﹣1=1

即m2+m﹣2=0，解得：m=﹣2，或m=1，∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m＜綜上：m=1∴f（x）=x2…（2）g（x）=﹣x2+2|x|+t據(jù)題意知，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2）∵f（x）=x2在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，∴fmax（x）=f（2）=4，即f（x1）=4又∵g（x）=﹣x2+2|x|+t=﹣x2+2x+t=﹣（x﹣1）2+1+t∴函數(shù)g（x）的對稱軸為x=1，∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，∴gmax（x）=g（1）=1+t，即g（x2）=1+t，由f（x1）=g（x2），得1+t=4，∴t=3…（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2xh（2x）+λh（x）≥0等價(jià)于2x（22x﹣2﹣2x）+λ（2x﹣2﹣x）≥0即λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），∵22x﹣1＞0，∴λ≥﹣（22x+1）令k（x）=﹣（22x+1），x∈[1，2]，下面求k（x）的最大值；∵x∈[1，2]∴﹣（22x+1）∈[﹣17，﹣5∴kmax（x）=﹣5故λ的取值范圍是[﹣5，+∞）…19.【本題滿分14分】

已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R．

（1）求f(x)的最小正周期和最小值；

（2）已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，(0＜α＜β≤)，求f(β)的值．參考答案：解：（1）f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)＝sin(x－)－cos(x＋)＝2sin(x－)∴T＝2π，f(x)min＝－2

（2）cos(β－α)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝，cos(β＋α)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝－

∴cosα·cosβ＝0∵0＜α＜β≤∴cosβ＝0∴β＝

∴f(β)＝2sin(－)＝．20.已知，的夾角為45°.（1）求方向上的投影；（2）求的值;（3）若向量的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）1；（2）；（3）.試題分析：（1）由射影定義可得在方向上的投影；（2）利用公式可求得向量的模；（3）由與的夾角是銳角，可得，且與不能同向共線，即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵，，與的夾角為∴∴在方向上的投影為1（2）∵∴（3）∵與的夾角是銳角∴，且與不能同向共線∴，，∴或21.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求證：平面PAD⊥平面PCD．（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為V多面體PDCMA：V三棱錐M﹣ACB=2：1？（3）在M滿足（2）的條件下，判斷PD是否平行于平面AMC．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）證明平面與平面垂直是要證明CD⊥面PAD；（2）已知V多面體PDCMA：V三棱錐M﹣ACB體積之比為2：1，求出VM﹣ACB：VP﹣ABCD體積之比，從而得出兩多面體高之比，從而確定M點(diǎn)位置．（3）利用反證法證明當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，直線PD與平面AMC不平行．【解答】解：（1）因?yàn)镻DCB為等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，則PA⊥AD，CD⊥AD．又因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD?面ABCD，故CD⊥面PAD．又因?yàn)镃D?面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）所求的點(diǎn)M即為線段PB的中點(diǎn)，證明如下：設(shè)三棱錐M﹣ACB的高為h1，四棱錐P﹣ABCD的高為h2當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，=．所以=所以截面AMC把幾何體分成的兩部分VPDCMA：VM﹣ACB=2：1．（3）當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，直線PD與面AMC不平行．證明如下：（反證法）假設(shè)PD∥面AMC，連接DB交AC于點(diǎn)O，連接MO．因?yàn)镻D?面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．因?yàn)镸為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，則O為線段BD的中點(diǎn)，即．面AB∥DC，故，故矛盾．所以假設(shè)不成立，故當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，直線PD與平面AMC不平行．22.某機(jī)械廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每年生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本為C（x）（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80臺(tái)時(shí)，-1450（萬元）。通過市場分析，若每臺(tái)售價(jià)為50萬元，該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該產(chǎn)品能全部銷售完。（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是多少？參考答案：解：(I)每生產(chǎn)臺(tái)