廣東省廣州市天河區(qū)新都學(xué)校2022-2023學(xué)年八下期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年廣州市新都學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.任何實(shí)數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2.在平行四邊形中，的結(jié)果可能是（）A.1：3：1：3 B.1：3：3：1 C.1：1：3：3 D.1：2：3：4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，容易得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的對(duì)角相等的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法和乘法，二次根式的性質(zhì)分別計(jì)算即可判斷．【詳解】解：A．與不能合并，故錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故錯(cuò)誤，不符合題意；C．，故錯(cuò)誤，符合題意；D．，故正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減法和乘法，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4.下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；C、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．5.點(diǎn)（3,-1）到原點(diǎn)的距離為（）A. B.3 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)（3，-1）到原點(diǎn)的距離=．

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB=.6.如圖，直線AO⊥OB，垂足為O，線段AO＝3，BO＝4，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線AO于點(diǎn)C．則OC的長(zhǎng)為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，結(jié)合題意可得AC=5，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AO⊥OB，線段AO＝3，BO＝4，∴在Rt△AOB中，AB==5，由題意可知：AC=AB=5，∴OC=AC－AO=2，故選擇D．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，垂線定義，線段和差，掌握利用勾股定理解直角三角形是解題關(guān)鍵．7.某車間20名工人日加工零件數(shù)如表所示：日加工零件數(shù)45678人數(shù)26543這些工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A.5、6 B.5、5 C.6、5 D.6、6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)）和中位數(shù)的定義（將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）即可得．【詳解】解：因?yàn)?出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是5，將這組數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排序后，第9個(gè)數(shù)和第10個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，所以中位數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．8.如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，AB=3，AD=5，則EF的長(zhǎng)為（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠AEB＝∠EBC，又因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，則AB＝AE＝3，同理可證FD＝3，繼而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，同理可證：DF＝DC＝AB＝3，則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．9.如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是關(guān)于x的方程的解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程的解為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)圖形找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，M、N是正方形的邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，連接，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段的最小值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明≌，可得，再證明≌，可得，然后說(shuō)明，再取的中點(diǎn)O，連接、，可求，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可知當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，進(jìn)而求出答案．【詳解】在正方形中，，，，在和中，，∴≌（HL），∴，在和中，，∴≌（SAS），∴，∴.∵，∴，∴.取的中點(diǎn)O，連接、，則，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，∴當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，最小值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系等，確定最小值的位置是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.計(jì)算：___．【答案】【解析】【詳解】解：根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算：．故答案為：．12.命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”的逆命題是_____________．【答案】矩形的對(duì)角線相等【解析】【分析】根據(jù)逆命題的定義：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題，原命題的條件是對(duì)角線相等，結(jié)論是矩形，互換即可得解.【詳解】原命題的條件是：對(duì)角線相等的四邊形，結(jié)論是：矩形；則逆命題為矩形的對(duì)角線相等.【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)逆命題的理解，熟練掌握，即可解題.13.在中，，則的面積等于___________．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，再利用面積公式求解．【詳解】解：，，，即，為直角三角形，直角邊為，，根據(jù)三角形的面積公式有：故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的知識(shí)，需要學(xué)生利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形的和直角三角形的面積公式結(jié)合求解．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．14.已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是18，若△ABC的周長(zhǎng)是14，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是______．【答案】5【解析】【詳解】∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是18，∴AB+BC=18÷2=9，∵△ABC的周長(zhǎng)是14，∴AC=14-（AB+AC）=5，故答案為5．15.如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將△AEF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BE=DF時(shí),∠BAE的大小可以是__．【答案】15°或165°【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性質(zhì)和已知條件即可求出當(dāng)BE=DF時(shí)，∠BAE的大小，應(yīng)該注意的是，正三角形AEF可以再正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解．【詳解】解：①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，當(dāng)BE=DF時(shí)，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部時(shí)．如圖2，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，當(dāng)BE=DF時(shí)，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°，∴∠BAE=∠FAD=165°故答案為15°或165°．16.觀察下列式子：；；；…，根據(jù)此規(guī)律，若，則的值為______．【答案】181【解析】【分析】由，，，可得，還發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子的兩個(gè)因數(shù)是連續(xù)的整數(shù)，可得：，利用完全平方公式變形，代入計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，∴．故答案為：181．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律題，還考查了完全平方公式，認(rèn)真觀察已知條件，總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共9小題，滿分72分）17.計(jì)算（1）；（2）．【答案】（1）0（2）3【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）按照二次根式的乘除法則進(jìn)行即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及二次根式的加減混合運(yùn)算、乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵．18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19.某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃測(cè)試，每人每天投籃次，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在五天中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：甲乙參考公式：（1）求甲、乙兩名隊(duì)員投進(jìn)球個(gè)數(shù)的平均數(shù)；（2）如果從甲、乙兩名隊(duì)員中選出一人去參加定點(diǎn)投籃比賽，應(yīng)選哪名隊(duì)員？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為；（2）選擇乙參加比賽，理由是乙的方差較小，穩(wěn)定性更好；【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義及平均數(shù)的計(jì)算公式即可解答；（2）根據(jù)方差的定義及方差的計(jì)算公式得到乙的方差小于甲的方差，方差越小波動(dòng)越小進(jìn)行解答；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意可得，甲的平均數(shù)為，乙平均數(shù)為，答：甲、乙兩名隊(duì)員投進(jìn)球個(gè)數(shù)的平均數(shù)都為；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知甲、乙兩名隊(duì)員投進(jìn)球個(gè)數(shù)的平均數(shù)為；∴甲的方差為，乙的方差為，∴，∴乙的波動(dòng)較小，乙的穩(wěn)定性比甲的穩(wěn)定性高，∴應(yīng)該選擇乙去參加定點(diǎn)投籃比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的定義，平均數(shù)的定義，方差和平均數(shù)的計(jì)算公式，理解方差的定義及平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20.已知一次函數(shù)．（1）若該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若它的圖像與兩條坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積等于9，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入求解即可；（2）用表示一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值積的一半為9，列式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：將點(diǎn)代入得，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：令，則，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，解得：，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，能夠表示出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且BE=DF．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證△ABE≌△CDF，即可證明AE=CF．【詳解】證明：∵AB=CD，BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴ABCD．∴∠ABE=∠CDF．又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．22.（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：如圖，①作線段的垂直平分線交于點(diǎn)；②連接并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截??；③連接，．（2）證明所作的四邊形是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）按作線段垂直平分線的步驟進(jìn)行，再按題意進(jìn)行即可；（2）由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得，再由矩形的判定即可得證．【詳解】（1）解：所作的圖如下：（2）由作法知，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，即，又，∴四邊形是平行四邊形又∵，∴，∵，∴∴平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：作線段的垂直平分線，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，把握矩形的判定的關(guān)鍵．23.甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時(shí)，如圖，線段OA表示貨車離甲地的距離y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系；折線BCD表示轎車離甲地的距離y（千米）與時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）轎車到達(dá)乙地時(shí)，求貨車與甲地的距離；（2）求線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）在轎車行進(jìn)過(guò)程，轎車行駛小時(shí)，兩車相距15千米．【答案】（1）轎車到達(dá)乙地時(shí)，貨車與甲地的距離是270千米；（2）線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）在轎車行進(jìn)過(guò)程，轎車行駛2.1小時(shí)或2.7小時(shí)，兩車相距15千米．【解析】【分析】（1）由圖象易得貨車的速度為60千米/小時(shí)，然后問(wèn)題可求解；（2）設(shè)線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx+b，然后把點(diǎn)C（2.5，80），點(diǎn)D（4.5，300）代入求解即可；（3）由題意易得當(dāng)x＝2.5時(shí)，兩車之間的距離為70千米，由圖象可得，線段OA對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝60x，然后可得|60x﹣（110x﹣195）|＝15，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【小問(wèn)1詳解】解：由圖象可得，貨車的速度為300÷5＝60（千米/小時(shí)），則轎車到達(dá)乙地時(shí)，貨車與甲地的距離是60×4.5＝270（千米），即轎車到達(dá)乙地時(shí)，貨車與甲地的距離是270千米；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx+b，∵點(diǎn)C（2.5，80），點(diǎn)D（4.5，300），∴，解得，即線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)x＝2.5時(shí)，兩車之間的距離為：60×2.5﹣80＝70，∵70＞15，∴在轎車行進(jìn)過(guò)程，兩車相距15千米時(shí)間是在2.5～4.5之間，由圖象可得，線段OA對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝60x，則|60x﹣（110x﹣195）|＝15，解得x＝3.6或x＝4.2，∵轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時(shí)，3.6﹣1.5＝2.1（小時(shí)），4.2﹣1.5＝2.7（小時(shí)），∴在轎車行進(jìn)過(guò)程，轎車行駛2.1小時(shí)或2.7小時(shí)，兩車相距15千米，答：轎車行進(jìn)過(guò)程，轎車行駛2.1小時(shí)或2.7小時(shí)，兩車相距15千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24.我們定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做“神奇四邊形”．（1）在我們學(xué)過(guò)的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四邊形”的是（填序號(hào)）；（2）如圖1，在正方形中，E為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連、．①求證：四邊形是“神奇四邊形”；②如圖2，點(diǎn)M、N、P、Q分別是、、、的中點(diǎn)．試判斷四邊形是不是“神奇四邊形”；（3）如圖3，點(diǎn)F、R分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)O，若，正方形的邊長(zhǎng)為6，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）④（2）①見解析；②四邊形是“神奇四邊形”，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）由“神奇四邊形”的定義即可得出結(jié)論；（2）①證，得，再由“神奇四邊形”的定義即可得出結(jié)論；②由三角形中位線定理得出，，則四邊形為平行四邊形，再證四邊形是正方形，則可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于S，由勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，再由勾股定理得，解得，即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】平行四邊形的對(duì)角線互相平分，矩形的對(duì)角線互相平分且相等，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，正方形是“神奇四邊形”，故答案為：；小問(wèn)2詳解】①證明：四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，又，四邊形是“神奇四邊形”；四邊形是“神奇四邊形”，理由如下：，為，的中點(diǎn)，為的中位線，，，同理：，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，平行四邊形為菱形，，，，，，四邊形為正方形，四邊形是“神奇四邊形”；【小問(wèn)3詳解】如圖，延長(zhǎng)交于S，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，四邊形是正方形，邊長(zhǎng)