將軍飲馬模型(終稿)

將軍飲馬模型將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說(shuō)】早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題．將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今．【問(wèn)題原型】將軍飲馬造橋選址費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對(duì)稱；平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問(wèn)題常見模型1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小例1：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，P為直線l上任意一點(diǎn)，在⊿PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PB≧AB(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦)例2：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.關(guān)鍵：找對(duì)稱點(diǎn)作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短證明：連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q，P為直線l上任意一點(diǎn)，在⊿PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PC≧AC(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦)2.兩動(dòng)一定型例3：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得△BAC周長(zhǎng)最短．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A’’

，連接A’A’’，與OM交于點(diǎn)B，與ON交于點(diǎn)C，連接AB，AC，△ABC即為所求．原理：兩點(diǎn)之間，線段最短典型例題三角形1．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，求EM+EC的最小值解：點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BE，交AD于點(diǎn)M，則ME+MD最小，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則EH=AH–AE=3–2=1，BH=eq\r(BC2-CH2)=eq\r(62-32)=3eq\r(3)在直角△BHE中，BE