廣州市高考模擬考試數(shù)學(xué)（理科）

2015年廣州市高考模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）2（

19.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和S“滿足：S?=—4為常數(shù)，且a/0,awl.

Q—1

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)若a=L設(shè)-----%-，且數(shù)列他｝的前〃項(xiàng)和為T(mén),，求證：Tn<~.

31+43

19.(1)解：：q=E=-^(q—1),at=a.................1分

a-\

當(dāng)〃N2R、han=S?-S?_t=-^-a?-->......................3分

a-ia-\

得-^-=a,.............................4分

???數(shù)列｛a〃｝是首項(xiàng)為。，公比也為。的等比數(shù)列.....................5分

6分

（2）證明：當(dāng)時(shí)，a=—,..............................7分

33"

11

bra”_3")"+l11.

工—3"+「3"T-/

“l(fā)+a?l-a?+l1+J_

3”F

?11

由-----<—,............................10分

3"+l3"

............................11分

3"+l

T

n=4+b2+---+btl

11

分

<O<即<4

33-3-

20.（本小題滿分14分）

22八

已知橢圓+的離心率為奇，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）.圓

C,:x2+y2=a2+b2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/:y=丘+川（攵。0）與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,且/與圓C1相交于

4,8兩點(diǎn)，問(wèn)R0+3貶=0是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解（1）解：：橢圓C:￡+方=1過(guò)點(diǎn)（0,1）,

/.Z?2=1.........................1分

?.?￡.==力2+。2,........................2分

a2

，/=4.......................3分

X22

?,?橢圓C的方程為—+/=1.......................4分

4

（2）解法L由（1）知，圓C1的方程為V+y2=5,其圓心為原點(diǎn)。...........5分

?.?直線/與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

y-kx+m,

.??方程組,（*）有且只有一組解.

——+y=1

14

由（*）得（1+4女2）彳2+8Amx+4"?2—4=0...................6分

從而/=（8珈丫-4（1+軟2乂4療—4）=0,化簡(jiǎn)得4=1+4/.①......7分

8km4km4k,mm

=kX+m-----7+m=----7.9分

-2(1+4公廠1+45%M1+4女21+4公

4kmm

點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)為10分

l+4/'i+4/

因?yàn)榕?,結(jié)合①式知相。0,

m

1+4公

,?k（）Mxkxk=-w—1...................11分

4km4

1+4F

...OM與AB不垂直.??12分

.?.點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn).13分

R0+的'=0不成立.分

解法2：由（1）知，圓G的方程為1+>2=5,其圓心為原點(diǎn)O..........5分

???直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

y-kx+m,

二方程組J/,（*）有且只有一組解.

—+V-=1

14

由（*）得（1+4女2）》2+8AT7ZX+4m2—4=0.................6分

從而/=（8卜”）2_4（1+4公乂4療_4）=0,化簡(jiǎn)得加=1+4公.①.......7分

8km_4km

Xm~20+4.2）-1+4-2'

因?yàn)閆wO,結(jié)合①式知加工0,

設(shè)A（x,x）,6（w，%），線段AB的中點(diǎn)為N（MYv），

y=Ax+m,/0°

由<1+2—5消去y,得（1+左）*+2初a+機(jī)一5=89分

km

"T7F,10分

km4km

若XN=x,得一，化簡(jiǎn)得3=0,矛盾.11分

Ml+k21+4公

.?.點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合.12分

.?.點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn).13分

命+麗'=0不成立.14分

21.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)=x-8-21nx,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)須，￡,且無(wú)］<%2，求。的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,證明：”9)<電一1.

解⑴解：函數(shù)/(月=尤一日一21nx的定義域?yàn)?0,共o),

x~-2x+ci

V1分

x~

令/'(x)=0,nx2-2x+a=0,其判別式d=4—4a,

①當(dāng)/W0,即aNl時(shí)，x2-2x+a>0,此時(shí)，在(0,M)上單調(diào)遞

增；..........2分

②當(dāng)〃>0,即a<\時(shí)，方程f_2x+a=0的兩根為

玉=1_Jl—a,x>=1+—a>1,......3分

若aWO,則X|WO,則xe(O,X2)時(shí)，/'(x)<0，尢6仇,+00)時(shí)，

此時(shí)，/(力在(0,看)上單調(diào)遞減，在心,長(zhǎng)。)上單調(diào)遞增；..........4分

若a>0,則%>0,則XG(O,xJ時(shí)，/'(x)>0,時(shí)，r(x)<°，

xe(%2，+oo)時(shí)，f'(x)>0,

此時(shí)，/(x)在(O,xJ上單調(diào)遞增，在(西,々)上單調(diào)遞減，在(%,+。。)上單調(diào)遞

增.……5分

綜上所述，當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,電)上單調(diào)遞減，在,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)“X)在(0,5)上單調(diào)遞增，在(%,/)上單調(diào)遞減，

在(%,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a21時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增...........6分

(2)解：由⑴可知，函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)花，乙，等價(jià)于方程/一2*+。=0在

(0,+8)有兩不等實(shí)根，故............7分

(3)證明：由(1),(2)得0va<l,x2=l+-Jl-a,且a=-x[+2x2.8分

f^x2^—x2+l=x2——/+/_21n%2—x2+1=x2—2Inx2—1,..........................9分

“2

、/2t-2

令=\<t<2,則g'(r)=l—=—^―,..............10分

由于l</<2,則g'(r)<0,故g")在(1,2)上單調(diào)遞減.............11分

故g?)<g⑴=1-21nl—l=0.....................................................12分

；?/(%)-W+I=g(x2)<°?....................................................13分

，/(與)<赴一1.....................................................14分

2015年廣州市高考模擬考試

數(shù)學(xué)(文科)2015.1

19.(本小題滿分14分)

3

己知首項(xiàng)為公比不等于1的等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且-2S2，4s4成

等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令d=〃|a,J,數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為(,，求證：Tn+bn<6.

解：(1)由題意得2s3=-2S2+4s4,............................................................1分

B|J(S4-S2)+(S4-S3)=0,即(g+q)+g=0?...................................2分

二巴?=-：.............................................................3分

。32

；?公比夕二一；..................................4分

另解:由題意得2s3=-2邑+454，夕W1,1分

.

??二I?........................27T

\-q\—q\-q

1

化簡(jiǎn)得2q92—q—1=0,解得〃=一］,........................4分

._,,,,3693n八

..Tn=bx+b2+b3+---+bn=—+—,①............7分

級(jí)3+方6+…+3~(〃^—1+)萍3n，八②........................8分八

3

i3333〃,3〃+6

①-②得，2^=7+^+7+一----3-----：-1iun

2,,2"+】2"+i

工=6-泡￡......12分

〃T

???Tn+bn=6-^<6.14分

20.(本小題滿分14分)

已知橢圓C：[+[=l（a>b>0）的離心率為點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）.圓

C]:x2+y2=a2+b~.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/:丫=依+加（％。0）與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,且/與圓q相交于

A,B兩點(diǎn)，問(wèn)4瓶+8貶=0是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

⑴解：?.?橢圓C:5+與=1過(guò)點(diǎn)（0,1）,

:.Z?2=1.1分

?.?￡=3,/=/+,2,.......................................................2分

a2

/.a?=4?.......................................................3分

...橢圓C的方程為土+y2=1........................................................4分

4

（2）解法1：由（1）知，圓G的方程為一+丁=5,其圓心為原點(diǎn)。.........5分

?.?直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

y=辰+m,

；?方程組《X22.（*）有且只有一組解.

—+y=1

14?

由（*）得（1+4公卜2+8如a+4//?-4=0.............................................6分

從而/=（86）2-4（1+4公乂4加2-4）=0,化簡(jiǎn)得加=1+4公.①.....7分

8km4km,4k2mm

=----:--------v-=---------,y=kx+加=---------7+m=-------..............

M2（1+4公）1+4/加MM1+4公1+4公7

4kmm

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為分

11+4/'1+4/10

m

由于ZwO,結(jié)合①式知加w0,二七乂x1=1—xk=——^―1.11分

0M4km4

~\+4k2

：.OM與AB不垂直..............................12分

.?.點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn)...................13分

.?.麗■+麗'=0不成立.....................14分

解法2：由（1）知，圓G的方程為Y+y2=5,其圓心為原點(diǎn)。...........5分

,/直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

y=kx-\-m,

方程組4V2.（*）有且只有一組解.

—+/=1

14-

由（*）M（l+4Z:2）x2+Skmx+4m2-4=0.6分

從而4=（8kn）2—40+4的（4加-4）=0,化簡(jiǎn)得加=1+4/.①.......7分

8km4km八

山=一^^）=一行’...............................8分

由于攵。0,結(jié)合①式知加wO,

設(shè)A（X,X）,6（W，%），線段A8的中點(diǎn)為N（%N，Xv），

由，21m'消去y,得（1+42）%2+2析比+加2—5=0................9分

%+y=5,

若a=%,得-----7=-------，化簡(jiǎn)得3=0,矛盾.....................11分

\+k21+4公

.?.點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合.....................12分

...點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn)...................13分

就+麗'=0不成立...................14分

21.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)/（6=公2一切nx在點(diǎn)處的切線為y=l.

（1）求實(shí)數(shù)。，人的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)多,當(dāng)xe（O,l］時(shí)，函數(shù)g（x）=/（x）—f+加（％一1）的最小值為0,

若存在，求出〃2的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)若0<%<%2，求證：一士———<2%,.

Inx2-InXj

解(1)Vf^=ax2-blnx.其定義域?yàn)?0,+oo),

**.f\x)-2ax-…1分

x

"l)=a=L

依題意可得2分

f'(l)=2a-b=0.

解得。=］力=2.4分

(2)解：g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=tn(x-1)-2In%,xe(0,1],

5分

XX

①當(dāng)機(jī)40時(shí)，g'(x)<0,則g(x)在(0,1］上單調(diào)遞減,

gWmin=?(1)=0...................................................................6分

,2、

m(x——)

②當(dāng)0<“42時(shí)，g，(x)=—^-<0,則g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，

???m.in=^(D=o...............................................................7分

③當(dāng)〃?>2時(shí)，則寸，g'(x)<0；,1時(shí)，g'(x)>0,

.?.g(x)在上單調(diào)遞減，在[2,1]上單調(diào)遞增.

VmJ

故當(dāng)x=2時(shí)，g(x)的最小值為

m\mJ

：g(m<g⑴=0.???g(x)m“0..........................................8分

綜上所述，存在W滿足題意，其取值范圍為(-00,2]..............................................9分

(3)證法1：由(2)知,當(dāng)帆=1時(shí)，g(x)=x-1-21nx在(0,1)上單調(diào)遞減，

/.工￡(0,1)時(shí)，g(x)>g(l)=0,BPx-\>2\nx..........................................10分

*/0<x,<x9,???0<^<l..................................................11分

x2

???五_i>21n%.............................12分

9%

,A|_^_>2(inXi-lnx2)..................................................13分

/

?；In%,>Inx,———--<2x].....................[4分

ln^-In

證法2：設(shè)°(x)=2七(Inw-Inx)-x2+x(0<x<x2),

則Q'(X)=-^^+1=^―^2_當(dāng)X￡(0,%2)，”(X)<0,....................10分

xx

???夕(x)在(0，W)上單調(diào)遞減工奴勸〈唉)=0......................................11分

(0,無(wú)2)時(shí)，—Inx)v/.X..........................................12分

?.<0<x,<x2,A2X2(Inx2-}nx})<x2-x].................................13分

,/In>In%),———--<2X2..............................................14分

Inx2-In

2015年佛山市普通高中數(shù)學(xué)(理科)高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)

19.(14分)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,，已知q—

⑴求生出(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng).

⑶設(shè)b?=」一，數(shù)列｛b,,｝的前〃項(xiàng)和為卻證明：7；<*(〃eN)

S〃S〃+l2

22

20.(14分)己知曲線E:2+工=1.(1)若曲線E為雙曲線,求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.

mm-\

⑵已知加=4,4(一1,0)和曲線。:(%—1)2+丁2=16.若尸是曲線。上任意一點(diǎn),線段24

的垂直平分線為/，試判斷/與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

21.(14分)函數(shù)/3=皿三〃⑴若a=—1,證明：函數(shù)〃x)是(0,+。。)上的減函數(shù).

(2)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線x—y=0平行,求“的值.

(3)若x>0,證明：(其中e=2.71828L是自然常數(shù)).

xe

19.【解析】(1)當(dāng)”=2時(shí)，S：=4o：-2.解用的=3：..............................................1分

當(dāng)”=3時(shí)，S,=9%-6.就得知==：.................................2分

(II)方法一："|”22時(shí).S.=n:(S,-S,,)-?(?-1).整理制

(n2-l)S.a^S.1+?(?-)).即(〃+」S”…吟d.=].......................................................5分

nw-l

所以數(shù)列]也斐?｝足首項(xiàng)為I,公星為1的笠制數(shù)列...................................6分

所以=”?TOS.=—........................................................7分

n"+1

代入S.=/凡一〃(〃-1)中可得見(jiàn)=1――!-........................................................8分

〃(/1+1)

方法二：由(I)Ml:fl,=7*a>=1,猜想q=1—T,...........................................《分

2612〃(/J+1)

卜面用數(shù)學(xué)打綱法證明：

①當(dāng)”=1時(shí).a.=1=1——-i-猜8!成立：...................................5分

2lx(l+|)

?假設(shè)n=*仕c、>瓊但也成立.即為=I--7-!—r,則

k(k^\)

/〃=々+1時(shí)?存外“二習(xí)7_其=(4+1)’4.「(*+|*_犬對(duì)+&伐―1)

整理得（￡+2）4+產(chǎn)機(jī)+2,從而

/\

(A+2)at,=kak+2=k1——~-+2=k+2!—.于是-----------

/1k(k+\))k+\4+1(k+l)(k+2)

即”=4+1時(shí)猜想也成立.

所以對(duì)于任意的正整數(shù)〃，均有4=1---i—.......................................................8分

?（?+!）_-+2_______n_a

2,另外：A=7"，+:"h*（"+0-:-"+5

（山）由（H）得&=2,2=-^^,/-7……“?……?:…工?9分，

"+1〃（"1）/麗丁嬴忑7尸苗-±+六下n(n-n)

A+2￡+21,k+k1_2Jl11（八寸2）.

當(dāng)“22時(shí),b=11分

k公(￡+1)~T〃(k+l)kk(k+T)%(〃+l)[kA:+1J

35

當(dāng)〃=1時(shí)，7]=±＜2成立:12分

122

35__2_5

當(dāng)〃時(shí)，所以＜

227；5+2十…十2-771<2

綜上所述，命題得證.-14分

20?【解析】（I）因?yàn)榍€E為雙曲線，所以m（加-1）＜0,解得0＜加＜1,

所以實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為（0,1）...............................................................4分

（II）結(jié)論:，與曲線E相切...................5分

x2v2

證明：當(dāng)切=4時(shí)，曲線E為L(zhǎng)+2-=1，即3*2+4/=12,

43

設(shè)戶（與，%），其中（x0-l『+y：=16,.............................................6分

線段的中點(diǎn)為。（3直線力尸的斜率為左=-^丁........................7分

當(dāng)乂＞=0時(shí)，直線/與曲線E相切成立.

當(dāng)兒w0時(shí)，直線/的方程為=即＞=-互之》+筆苑二L…9分

因?yàn)椋ㄅc-1『+"=16,所以xj+y；_l=2xo+l4,所以y=-五里x+漢班,...........10分

y°%

代入3x?+4v2=12得=12,

L%%」

22

化簡(jiǎn)得[4（%+1）+3y；卜2_8（x0+l）（x0+7）x+4（x0+7）-12.^=0,............12分

即（％+7）-/-8（x（,+1）仇+7）x+16（xo+1）~=0,

所以A=64（Xo+iy（Xo+7）2-4（4+7）2xl6（Xo+l）2=0

所以直線/與曲線E相切..........................................14分

說(shuō)明：利用參數(shù)方程求解正確同等給分！

21.【解析】(1)當(dāng)〃二-1時(shí),函數(shù)/(力的定義域是(一1,0)11(0,+8),...................1分

———ln(x+l)?

對(duì)/(x)求導(dǎo)得/'(x)=x+l.---------,................................................................2分

令g(x)=—+只需證：x>0時(shí)，g(x)<0.

11Y

又g'(X)=------2---------=----------T<0，........................3分

''(x+1)-x+1(X+1)2

故g(x)是上的減函數(shù),所以g(x)<g(O)=_ln1=0................................5分

所以/'(力<0,函數(shù)/")是(0,十8)上的減函數(shù).......................................6分

(II)由題意知，/'(x)|z=L.....................................................7分

即------ln(l-々)=1,———In(1-fl)=0...........................................8分

11-Q

=——ln(l-a),a<I,則d(a)=——-~>0,...........................................9分

1一々(1一〃)1一。

故，(。)是(-8,1)上的增函數(shù)，又(0)=0,因此。是，(。)的唯零點(diǎn)，

即方程不色—一ln(l-q)=0有唯一實(shí)根0,所以a=0,..........................................10分

1-a

Y

［說(shuō)明］利用兩函數(shù)_>/=?；—與^=L(1-制圖象求出。=0(必須畫(huà)出大致圖象)，同樣給至io分.

1-X

xIne*In(e,-1+1)ln(x+l)ln(e'-l+l)

(III)因?yàn)橐?一=——=—--------,故原不等式等價(jià)于———---------L,..........11分

e'-le'-le*-lxe*-l

由(I)知，當(dāng)a=-1時(shí)，/(x)=」(;)是(0,+8)上的減函數(shù),..........................12分

故要證原不等式成立,只需證明：當(dāng)x>0時(shí)，x<ev-l,

^h(x)=ex-x-1,W?JA,(x)=et-l>0,〃(x)是(0,+oo)上的增函數(shù)，....................13分

所以人(6>6(0)=0,即x<e'7,故

即ln(x+l)”(eT+l)二4.........................................................................

xex-l-ex-l

2015年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)（理科）試題

19、（本小題滿分14分）

112

已知首項(xiàng)大于0的等差數(shù)列｛%｝的公差"=1,且-----+------=—

axa2a2a33

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

1一〃7(—l)n甘r+lC

(2)若數(shù)列｛〃｝滿足:&,=-1,b=A,b

2n+l----bn+-------,其中

n

①求數(shù)列也｝的通項(xiàng)為；

②是否存在實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列屹“｝為等比數(shù)列？若存在，求出；I的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

19、解：（1）（法一）：\,數(shù)列｛a“｝的首項(xiàng)4>0,公差d=1,

cin=4+(n-1),-----=---------2分

44+1冊(cè)

1111xz11x11112

---------1---------(——j—j-(——i——————-----——3分

axa2a2a3a2a2a3qa3qq+23

整理得a「+2q—3=0解得q=1或％=-3（舍去）.4分

因此，數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)％=n.5分

（法二）：由題意得」一+14+。3_2

1分

axa2a2a3442a33

-.1數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，：.4+%=2a2,2分

2az2o

---J=w,即4%=3.-?3分

axa2a33

又?.?q>0,6?=1,/.4(4+2)=3,解得q=l或6=-3（舍去）........4分

因此，數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)%=”.5分

_(〃-1)"]

⑵①??也+i=，6分

nn(―1嚴(yán)一(-1)"'

(〃T)b.

令c〃=,則有C=A,c“+|=%+1(n>2).

(-Dn2

.,.當(dāng)2時(shí)，c“=。2+("-2)=2+4,b=—~2+')(D

n8分

n-\

T幾=L

因此，數(shù)列也｝的通項(xiàng)"（”2+；1）（-1）"9分

,(〃N2).

n-1

1+2

②；a=-1,h2=A,4=—10分

2

1+A

若數(shù)列出｝為等比數(shù)列，則有b"她,即4=（-1）（-）,解得4=1或

2

1

11分

-2-

當(dāng)；1=一，時(shí)，仇,吃5）（?）"（"22）,也L不是常數(shù)，數(shù)列也｝不是等比數(shù)歹U,

22（n-l）bn

當(dāng)；1=1時(shí),4=一1,=（-1）"（?＞2）,數(shù)列｛瓦｝為等比數(shù)列.

所以，存在實(shí)數(shù)/I=1使得數(shù)列｛d｝為等比數(shù)列.14分

22J7

%y

20、（滿分14分）已知橢圓E：r+13＞。＞0）的離心率為過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角

a2

4J7

為45。的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為土.

3

（1）求橢圓E的方程;

（2）若動(dòng)直線/與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（1,O）作/的垂線垂足為。，求

點(diǎn)Q的軌跡方程.

解：（1）因?yàn)闄E圓E的離心率為立，所以,'「一"上,解得〃=2從,

2a2

X2y2

故橢圓E的方程可設(shè)為市+R1,則橢圓E的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。,0）,過(guò)右焦點(diǎn)傾斜

角為45。的直線方程為=............................2分

x2

設(shè)直線/'與橢圓E的交點(diǎn)記為A,8,由，壽+爐="消去y，得3f-4版=0,

y^x-b,

4后472初任,,

解得玉=0,/=*，因?yàn)閨AB|=JUFN-ZI——=」一，解得人=1.

33

x2

故橢圓E的方程為一+y2=l.................................14分

2

（2）（法一）（i）當(dāng)切線/的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)/的方程為y=^+〃z,

y=kx+m

聯(lián)立直線/和橢圓E的方程，得《5分

=十/=]

I2

消去y并整理，得（2公+1）x2+Ahwc+2nr-2=0