高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.1單調(diào)性省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

3.3.1單調(diào)性第3章§3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用1/311.結(jié)合實(shí)例，直觀探索并掌握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證實(shí)一些簡(jiǎn)單不等式.3.會(huì)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)普通不超出三次).學(xué)習(xí)目標(biāo)2/31欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾3/31知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有以下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞___f′(x)<0單調(diào)遞___f′(x)＝0常函數(shù)增減答案4/31(2)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系：函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞___f′(x)≥0單調(diào)遞___f′(x)≤0常函數(shù)f′(x)＝0增減答案思索在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增是f′(x)>0什么條件？答案必要不充分條件.5/31知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間基本步驟：(1)確定定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內(nèi)部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內(nèi)部分為單調(diào)遞減區(qū)間.返回6/31題型探究重點(diǎn)突破解析答案題型一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性則cosx<0，∴xcosx－sinx<0，反思與感悟7/31反思與感悟關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題：(1)首先考慮函數(shù)定義域，全部函數(shù)性質(zhì)研究必須確保在定義域內(nèi)這個(gè)前提下進(jìn)行.(2)f′(x)>0(或<0)，則f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)；但要尤其注意，f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f′(x)≥0(或≤0).8/31解析答案又0<x<e，∴l(xiāng)nx<lne＝1.故f(x)在區(qū)間(0，e)上是增函數(shù).9/31解析答案題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間例2求以下函數(shù)單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；解f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－3<x<2.故f(x)增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；減區(qū)間是(－3,2).10/31解析答案(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π)；解f′(x)＝cosx－1.因?yàn)?<x<π，所以cosx－1＜0恒成立，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π).11/31解析答案(3)f(x)＝3x2－2lnx；解函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，12/31解析答案(4)f(x)＝x3－3tx.解f′(x)＝3x2－3t.令f′(x)＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴當(dāng)t≤0時(shí)，f′(x)＞0恒成立，函數(shù)增區(qū)間是(－∞，＋∞)；反思與感悟13/31反思與感悟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間詳細(xì)步驟：(1)優(yōu)先確定f(x)定義域；(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定義域內(nèi)滿(mǎn)足f′(x)>0區(qū)間為增區(qū)間，定義域內(nèi)滿(mǎn)足f′(x)<0區(qū)間為減區(qū)間.14/31解析答案15/31解方法一函數(shù)f(x)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)；由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)，(0,1).解析答案16/31方法二函數(shù)f(x)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)單調(diào)遞增↗－4單調(diào)遞減↘單調(diào)遞減↘4單調(diào)遞增↗所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)，(0,1).17/31解析答案反思與感悟18/31要使f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)時(shí)恒成立，∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)時(shí)，y＝2x3是單調(diào)遞增，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.∴(2x3)min＝16，∴a≤16.∴a取值范圍是(－∞，16].反思與感悟19/31反思與感悟已知函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，普通地，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或減)，轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間I上恒成立，再用相關(guān)方法可求出參數(shù)取值范圍.20/31解析答案跟蹤訓(xùn)練3

若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上單調(diào)函數(shù).求實(shí)數(shù)m取值范圍.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因?yàn)閒(x)是R上單調(diào)函數(shù)，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.21/31解析答案返回解后反思例4

已知a，b為實(shí)數(shù)，且b＞a＞e，其中e為自然對(duì)數(shù)底，求證：ab＞ba.分析觀察ab＞ba，兩邊取對(duì)數(shù)即有blna＞alnb，從函數(shù)角度考慮blna與alnb，解題技巧結(jié)構(gòu)法應(yīng)用證實(shí)當(dāng)b＞a＞e時(shí)，要證ab＞ba，只要證blna＞alnb，故ab＞ba.22/31

“結(jié)構(gòu)”是一個(gè)主要而靈活思維方式，應(yīng)用好結(jié)構(gòu)思想解題關(guān)鍵是：一要有明確方向，即為何目標(biāo)而結(jié)構(gòu)；二是要搞清條件本質(zhì)特點(diǎn)，方便重新進(jìn)行邏輯組合.返回解后反思23/31當(dāng)堂檢測(cè)12345解析答案1.函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是________函數(shù).(填“增”或“減”)∴函數(shù)在(0,6)上單調(diào)遞增.增24/31解析答案123452.f′(x)是函數(shù)y＝f(x)導(dǎo)函數(shù)，若y＝f′(x)圖象如圖所表示，則函數(shù)y＝f(x)圖象可能是________.解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0，即f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù).經(jīng)過(guò)觀察易知④符合.④25/31123453.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a取值范圍是__________.解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內(nèi)恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.解析答案[1，＋∞)26/31解析答案123454.函數(shù)y＝x2－4x＋a增區(qū)間為_(kāi)__________，減區(qū)間為_(kāi)_________.解析y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a增區(qū)間為(2，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，2).(2，＋∞)(－∞，2)27/31解析答案1234528/31解析答案12345因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′(x)≤0有解.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)內(nèi)有解.①當(dāng)a＞0時(shí)，y＝ax2＋2x－1為開(kāi)口向上拋物線，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)內(nèi)恒有解；②當(dāng)a＜0時(shí)，y＝ax2＋2x－1為開(kāi)口向下拋物線，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)內(nèi)恒有解，29/3112345③當(dāng)a＝0時(shí)，顯然符合題意.總而言之，a取值范圍是(－1，＋∞).