概率論第三版第2章答案詳解

概率論第三版第2章答案詳解概率論第三版第2章答案詳解/概率論第三版第2章答案詳解作業(yè)題解:2.1擲一顆勻稱的骰子兩次,以X表示前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和,求X的概率分布,并驗證其滿足(2.2.2)式.解：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知X的可能取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且，；；；；；。即(k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2設(shè)離散型隨機變量的概率分布為試確定常數(shù).解：根據(jù)，得，即。故2.3甲、乙兩人投籃時,命中率分別為0.7和0.4,今甲、乙各投籃兩次,求下列事件的概率：(1)兩人投中的次數(shù)相同;(2)甲比乙投中的次數(shù)多.解：分別用表示甲乙第一、二次投中，則兩人兩次都未投中的概率為：，兩人各投中一次的概率為：兩人各投中兩次的概率為：。所以：（1）兩人投中次數(shù)相同的概率為(2)甲比乙投中的次數(shù)多的概率為：2.4設(shè)離散型隨機變量的概率分布為，求解：(1)(2)2.5設(shè)離散型隨機變量的概率分布為，求解：2.6設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為0.4,當(dāng)A發(fā)生3次或3次以上時,指示燈發(fā)出信號,求下列事件的概率：(1)進行4次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號;(2)進行5次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號.解：(1)(2).2.7某城市在長度為t(單位：小時)的時間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.5t的泊松分布,且與時間間隔的起點無關(guān),求下列事件的概率：(1)某天中午12時至下午15時未發(fā)生火災(zāi);(2)某天中午12時至下午16時至少發(fā)生兩次火災(zāi).解：(1)，由題意，，所求事件的概率為.(2),由題意，，所求事件的概率為.2.8為保證設(shè)備的正常運行,必須配備一定數(shù)量的設(shè)備維修人員.現(xiàn)有同類設(shè)備180臺,且各臺設(shè)備工作相互獨立,任一時刻發(fā)生故障的概率都是0.01，假設(shè)一臺設(shè)備的故障由一人進行修理,問至少應(yīng)配備多少名修理人員,才能保證設(shè)備發(fā)生故障后能得到及時修理的概率不小于0.99？解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時維修的概率應(yīng)不小于0.99，即，也即因為n=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表，得，當(dāng)m+1=7時上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。2.9某種元件的壽命X(單位：小時)的概率密度函數(shù)為：求5個元件在使用1500小時后,恰有2個元件失效的概率。解：一個元件使用1500小時失效的概率為設(shè)5個元件使用1500小時失效的元件數(shù)為Y，則。所求的概率為。2.10設(shè)某地區(qū)每天的用電量X(單位：百萬千瓦時)是一連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)為：假設(shè)該地區(qū)每天的供電量僅有80萬千瓦時,求該地區(qū)每天供電量不足的概率.若每天的供電量上升到90萬千瓦時,每天供電量不足的概率是多少?解：求每天的供電量僅有80萬千瓦時,該地區(qū)每天供電量不足的概率，只需要求出該地區(qū)用電量X超過80萬千瓦時（亦即X0.8百萬千瓦時）的概率：若每天的供電量上升到90萬千瓦時,每天供電量不足的概率為：2.11設(shè)隨機變量求方程有實根的概率.解：方程有實根，亦即,顯然，當(dāng)時，方程有實根；又由于所求概率為：。2.12某型號的飛機雷達發(fā)射管的壽命X(單位：小時)服從參數(shù)為0.005的指數(shù)分布,求下列事件的概率：(1)發(fā)射管壽命不超過100小時;(2)發(fā)射管的壽命超過300小時;(3)一只發(fā)射管的壽命不超過100小時,另一只發(fā)射管的壽命在100至300小時之間.解：(1)發(fā)射管壽命不超過100小時的概率：=0.39(2)發(fā)射管的壽命超過300小時的概率：(3)一只發(fā)射管的壽命不超過100小時,另一只發(fā)射管的壽命在100至300小時之間.。2.13設(shè)每人每次打電話的時間(單位：分鐘)服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布.求282人次所打的電話中,有兩次或兩次以上超過10分鐘的概率.解：設(shè)每人每次打電話的時間為X，X~E(0.5)，則一個人打電話超過10分鐘的概率為又設(shè)282人中打電話超過10分鐘的人數(shù)為Y，則。因為n=282較大，p較小，所以Y近似服從參數(shù)為的泊松分布。所求的概率為2.14某高校女生的收縮壓X(單位：毫米汞柱)服,求該校某名女生：(1)收縮壓不超過105的概率;(2)收縮壓在100至120之間的概率.解：(1)(2)。2.15公共汽車門的高度是按成年男性與車門碰頭的機會不超過0.01設(shè)計的,設(shè)成年男性的身高X(單位：厘米)服從正態(tài)分布N(170，),問車門的最低高度應(yīng)為多少?解：設(shè)車門高度分別為。則：查表得，，因此，由此求得車門的最低高度應(yīng)為184厘米。2.16已知20件同類型的產(chǎn)品中有2件次品,其余為正品.今從這20件產(chǎn)品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件數(shù),求X的概率分布與分布函數(shù).解：X的可能取值為0,1,2。因為；；所以X的分布律為X012PX的分布函數(shù)為2.17袋中有同型號小球5只,編號分別為1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,以X表示取出的3只中的最小號碼,求隨機變量X的概率分布和分布函數(shù).解：X的可能取值為1,2,3。因為；；所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為2.18設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：求（1），，（2）求的概率密度函數(shù)。解：(1)(2)2.19設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：（1）求常數(shù)（2）求的概率密度函數(shù)。（3）求解：(1)由及，得，故a=1,b=-1.(2)(3)。2.20設(shè)隨機變量X的概率分布為：X00.30.20.40.1解：(1)Y的可能取值為0,π2,4π2。因為；；所以Y的分布律為Y0π24π2P0.20.70.1(2)Y的可能取值為-1,1。因為；所以Y的分布律為Y-11P0.70.32.21設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為（1）求的概率分布；（2）求的概率分布。解：(1)X的可能取值為F(x)的分界點，即-1,1,2。因為；；所以X的分布律為X-112P0.30.50.2(2)Y的可能取值為1,2。因為；所以Y的分布律為Y12P0.80.22.22設(shè)隨機變量，求下列隨機變量概率密度函數(shù)：（1）（2）；(3).解：(1)已知因為求導(dǎo)得所以Y參數(shù)分別為-1,22服從正態(tài)分布。(2)已知因為求導(dǎo)得(3)已知求導(dǎo)得2.23解：(1)已知求導(dǎo)得因為當(dāng)，即時，；當(dāng)y取其他值時。所以為所求的密度函數(shù)。二、第二章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補充：（1）離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；2°是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有；3°，；4°，即是右連續(xù)的；5°。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量，。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。，其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當(dāng)時，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，，，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即

a≤xa≤x≤b則稱隨機變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為

a≤x≤a≤x≤b0，x<a，

1，1，x>b。

當(dāng)a≤x1<x2≤b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,

0,,0,,

其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。x<0。

記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對稱的；2°當(dāng)時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)