多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)

多元統(tǒng)計(jì)分析第三章多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)一、均值向量的檢驗(yàn)二、協(xié)差陣的檢驗(yàn)

1、霍特林（Hotelling）分布

由于這一統(tǒng)計(jì)量的分布首先由霍特林提出來的，故稱為霍特林T2分布。值得指出的是，我國著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶騄先生在1938年用不同的方法也導(dǎo)出T2分布的密度函數(shù)。在一元統(tǒng)計(jì)中，若來自總體的樣本，則統(tǒng)計(jì)量其中顯然與上面給出的T2統(tǒng)計(jì)量形式類似，且，可見T2分布是t分布的推廣。

在一元統(tǒng)計(jì)中，若分布，則分布，即把t分布轉(zhuǎn)化為F分布來處理，在多元統(tǒng)計(jì)分析中統(tǒng)計(jì)量也有類似的性質(zhì)。這個(gè)公式在后面檢驗(yàn)中經(jīng)常用到。2、一個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)這里需要對(duì)統(tǒng)計(jì)量的選取做一些解釋，說明為什么統(tǒng)計(jì)量服從分布。根據(jù)二次型分布定理，若則顯然而故在處理實(shí)際問題時(shí)，單一變量的檢驗(yàn)和多變量的檢驗(yàn)可以聯(lián)合使用，多元的檢驗(yàn)具有概括和全面的特點(diǎn)，而一元的檢驗(yàn)容易發(fā)現(xiàn)各變量之間的關(guān)系和差異，能給人們提供更多的統(tǒng)計(jì)分析的信息。例1：對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示：編號(hào)身高（cm)胸圍（cm)上半臂圍（cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的三個(gè)指標(biāo)的均值為（90，58，16），假定總體服從正態(tài)分布，問該地區(qū)農(nóng)村男嬰與城市男嬰在上述三個(gè)指標(biāo)的均值有無顯著性差異？顯著性水平取0.01。這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題：3、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)總體的協(xié)方差陣未知時(shí)，自然會(huì)想到用每個(gè)總體的樣本協(xié)方差陣和去代替，而又由于所以有以后假設(shè)統(tǒng)計(jì)量的選取和前面統(tǒng)計(jì)量的選取思路是一樣的，只提出待檢驗(yàn)的假設(shè)，然后給出統(tǒng)計(jì)量及其分布，為節(jié)省篇幅，就不再重復(fù)解釋。序號(hào)政治環(huán)境經(jīng)濟(jì)法律環(huán)境文化環(huán)境1653525602755020553604535654754040705703030506554035657604530608654025609605030701055553575序號(hào)政治環(huán)境經(jīng)濟(jì)法律環(huán)境文化環(huán)境1555540652506045703454535754505050705555030756604045607655545758506035809404530651045504570且兩組樣本相互獨(dú)立，有共同未知協(xié)方差陣假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量經(jīng)計(jì)算得進(jìn)一步計(jì)算得對(duì)于給定的顯著性水平，查F分布表，臨界值

(1)單因素方差分析（復(fù)習(xí)）Wilks（威爾克斯分布）

在一元統(tǒng)計(jì)分析中，方差是刻畫隨機(jī)變量分散程度的一個(gè)重要特征，而方差的概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。如何用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度呢？有的用行列式，有的用跡等方法，目前用的最多的是行列式。這里需要說明的是，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常把Λ統(tǒng)計(jì)量化為T2統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)而再化為F統(tǒng)計(jì)量，利用F統(tǒng)計(jì)量來解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)問題。（3）多元方差分析類似一元方差分析辦法，將諸平方和變成離差陣有：例3.3為了研究某種疾病，對(duì)一批人同時(shí)測(cè)量了4個(gè)指標(biāo)：β脂蛋白（X1），甘油三酯（X2），α脂蛋白（X3），前β脂蛋白（X4），按不同年齡、不同性別分為三組（20至35歲女性、20至25歲男性和35至50歲男性），數(shù)據(jù)見表3.4~表3.6，試問這三組的4項(xiàng)指標(biāo)間有無顯著性差異？（α=0.01）表3.420至35歲女性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)序號(hào)β脂蛋白（X1）甘油三酯（X2）α脂蛋白（X3）前β脂蛋白（X4）12607540182200723417324087451841706539175270110392462051303423719069271582004645159250117212010200107282011225130361112210125261713170643114142707633131519060341616280812018173101192515182705731819250673114202601353929表3.520至25歲男性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)序號(hào)β脂蛋白（X1）甘油三酯（X2）α脂蛋白（X3）前β脂蛋白（X4）1310122302123106035183190402715422565341651706537166210823117728067371882103836179280653023102007640171120076392012280942611131906033171429555301615270125242116280120321817240623220182806929201937070302020280403717表3.635至50歲男性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)序號(hào)β脂蛋白（X1）甘油三酯（X2）α脂蛋白（X3）前β脂蛋白（X4）132064391722605937113360882826429510036125270653221638011436217240554210826055342092601102920102957333211124011438181231010332181333011221111434512724201525062221616260592119172251003430183451203618193601072523202501173616解：比較3個(gè)組（k=3）的4項(xiàng)指標(biāo)（p=4）間是否有顯著性差異問題，就是多總體均值向量是否相等的檢驗(yàn)問題。設(shè)第i組為4維總體，來自3個(gè)總體的樣本容量。檢驗(yàn)：：至少有一對(duì)不相等。因統(tǒng)計(jì)量，可利用統(tǒng)計(jì)量與F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F統(tǒng)計(jì)量：其中由樣本計(jì)算得：，，

進(jìn)一步計(jì)算可得計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的2個(gè)自由度為8和108。對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，查F分布表，得臨界值。由于樣本值，則拒絕H0。說明三個(gè)組的指標(biāo)間有顯著性的差異。進(jìn)一步若還想了解三個(gè)組間指標(biāo)的差異究竟由哪幾項(xiàng)指標(biāo)引起的，可以對(duì)4項(xiàng)指標(biāo)逐項(xiàng)用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)，我們將發(fā)現(xiàn)三個(gè)組指標(biāo)間只有第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）有顯著性差異。事實(shí)上，用一元方差分析檢驗(yàn)第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）在三個(gè)組中是否有顯著性差異時(shí)，因?qū)τ诮o定的檢驗(yàn)水平，查F分布表，得臨界值。由于樣本值，說明第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）有顯著性的差異。例4：對(duì)例3中給出的3組身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)，試判斷這3個(gè)組的協(xié)方差陣是否相等？（）解：這是3個(gè)4維正態(tài)總體的協(xié)方差陣是否相等的檢驗(yàn)問題。設(shè)第i組為4維總體，來自3個(gè)總體的樣本容量。

檢驗(yàn)：至少有一對(duì)不相等。在成立時(shí)，取近似檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量：由樣本值計(jì)算3個(gè)總體的樣本協(xié)方差陣：，進(jìn)一步可以計(jì)算出則得

對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，查分布表，得臨界值。由于樣本值則接受H0。說明這3個(gè)組的協(xié)方差陣之間沒有顯著性的差異。3、多個(gè)正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣同時(shí)檢驗(yàn)設(shè)有k個(gè)p維正態(tài)總體分別為每個(gè)，且未知，從k個(gè)正態(tài)總體中分別取ni(）個(gè)獨(dú)立樣本如下：第2個(gè)總體：

第k個(gè)總體：我們考慮假設(shè)檢驗(yàn)：且

第1個(gè)總體：或至少有一對(duì)不相等。

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

其中

記在實(shí)際應(yīng)用中，將統(tǒng)計(jì)量中的改為n-k改為n，得到修正的統(tǒng)計(jì)量，記為則統(tǒng)計(jì)量在n很大，H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量近似服從

其中：

給定檢驗(yàn)水平，由樣本值計(jì)算出值，若，或否則拒絕H0，否則接受H0。例3.5對(duì)例3.3中給出的3組身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)，試判斷這3個(gè)組的均值向量和協(xié)方差陣是否相等？（）解：這是3個(gè)