2023-2024學年人教A版必修第二冊 平面與平面垂直的性質(zhì) 學案

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)學習任務1．通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明.(直觀想象、數(shù)學抽象)2．能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的空間線面位置關(guān)系問題．(邏輯推理)黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？由此，你能得到什么樣的一般結(jié)論呢？知識點平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的____，那么這條直線與另一個平面____符號語言α圖形語言思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β. ()(2)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β. ()(3)若平面α不垂直于平面β，則平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β. ()類型1面面垂直性質(zhì)定理的應用【例1】如圖，已知V是△ABC所在平面外一點，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求證：AB⊥BC.[思路導引]平面VAB⊥平面VBC作輔助線AD⊥VBAD⊥BCVA⊥平面ABCBC⊥平面[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母題探究]若將本例中的條件變?yōu)椋浩矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求證：VA⊥BC._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．[跟進訓練]1．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2線線、線面、面面垂直的綜合應用【例2】如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化直線與直線垂直(線線垂直)、直線與平面垂直(線面垂直)、平面與平面垂直(面面垂直)之間可以相互轉(zhuǎn)化，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用框圖來表示．線線垂直eq\o(?,\s\up7(判定),\s\do5())線面垂直eq\o(?,\s\up8(判定),\s\do9(性質(zhì)))面面垂直[跟進訓練]2．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β2．已知長方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則()A．ME⊥平面ABCD B．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCD D．以上都有可能3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝()A．2B．3C．2D．14．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．面面垂直的性質(zhì)定理包含哪些條件？2．當題設條件中給出面面垂直時，我們常如何作輔助線？3．線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的判定和性質(zhì)是如何轉(zhuǎn)化的？第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)[必備知識·情境導學探新知]知識點交線垂直a?αa⊥l課前自主體驗(1)×(2)√(3)√[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1證明：如圖，在平面VAB內(nèi)，過點A作AD⊥VB于點D.∵平面VAB⊥平面VBC，且交線為VB，∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.∵AD∩VA＝A，且VA?平面VAB，AD?平面VAB，∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB，∴AB⊥BC.母題探究證明：∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC?平面ABC，CA⊥AB，∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴VA⊥BC.跟進訓練1．證明：(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.例2證明：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于點F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長交PC于點H.∵點E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．跟進訓練2．證明：(1)設BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F，則CF＝DB＝a.因為CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2+DF2＝5a.又因為DB⊥平面ABC，所以DA＝DB2+A(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MN綉12CE綉DB所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN.又因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE.又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.[學習效果·課堂評估夯基礎]1．D[A項中缺少了條件l?α，故A錯誤．B項中缺少了條件α⊥β，故B錯誤．C項中缺少了條件α∩β＝m，l⊥m，故C錯誤．D項具備了面面垂直的性質(zhì)定理中的全部條件，故D正確．]2．A[因為ME?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]3．C[如圖所示，連接BC.因為AC⊥l，α⊥β，AC?α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因為BC?β，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形，所以BC＝22-1在Rt△BCD中，CD＝32-14．[∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA