課時(shí)2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的綜合

6.2.1課時(shí)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的綜合一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

注

意能用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能解決導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)系問題.

l

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

歸納總結(jié)第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的步驟：

注意：不要忽略函數(shù)的定義域.

注意：函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.探究：觀察對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx

與冪函數(shù)y=x3的圖像，說說函數(shù)圖像的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值的大小有怎樣的關(guān)系?

xyOy=lnx

y

=x3xyO探究：觀察對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx

與冪函數(shù)y=x3的圖像，說說函數(shù)圖像的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值的大小有怎樣的關(guān)系?y

=x3xyO

y′=3x2(2)y

=x3：因?yàn)閥′=3x2

，在(-∞，0)和(0，+∞)上，y′＞0，當(dāng)x=0時(shí)，y′=0，所以y=x3在R上單調(diào)遞增；在(-∞，0)上，當(dāng)x

越來越大時(shí)，y′越來越小，函數(shù)y=x3遞增得越來越慢，圖象上升得越來越“平緩”.在(0，+∞)上，當(dāng)x

越來越大時(shí)，y′越來越大，函數(shù)y=x3遞增得越來越快，圖象上升得越來越“陡峭”.歸納總結(jié)函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.

xtO（2）（1）xtO

xtO（2）（1）xtO解：物種數(shù)量的增加比較慢表示曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線斜率比較小，增加越來越快表示曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線斜率越來越大，因此圖(2)能近似的表示上述規(guī)律.快慢快慢快慢

B2.證明函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞減.證明：函數(shù)

的定義域?yàn)?當(dāng)

時(shí)，，因此函數(shù)

區(qū)間

上單調(diào)遞減.對(duì)

求導(dǎo)數(shù)，得