遼寧省大連渤海高級(jí)中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

渤海高中2017-2018學(xué)年度第二學(xué)期期末高二數(shù)學(xué)理科試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。考查范圍：選修2-2第二章、第三章、選修2-3全冊(cè)、選修4-4、集合、邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、定積分考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的考號(hào)、姓名填寫(xiě)在試題、答題紙和答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)涂準(zhǔn)答題卡上的相關(guān)信息。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答。在試題卷上作答，答案無(wú)效。3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將答題紙和答題卡按對(duì)應(yīng)次序排好收回。第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（60分）1.若集合，，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先解絕對(duì)值不等式得集合A，再解分式不等式得集合B，最后根據(jù)交集定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以或x>3,因此，選D.點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提．(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．2.設(shè)則=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得詳解：因?yàn)樗赃xD.點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為3.用數(shù)學(xué)歸納法證明（N*,）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由題設(shè)可知該題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)是從開(kāi)始的,因此第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式中,故應(yīng)選B.考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】數(shù)學(xué)歸納法是證明和解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是重要而有效的工具之一.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟中第一步是驗(yàn)證初值,這一步一定要依據(jù)題設(shè)中的問(wèn)題實(shí)際,結(jié)合實(shí)際意義,并不一定都是驗(yàn)證,這要根據(jù)題設(shè)條件,有時(shí)候還要驗(yàn)證兩個(gè)數(shù)值.所以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要依據(jù)題意靈活運(yùn)用,不可死板教條的照搬,本題就是一個(gè)較為典型的實(shí)際例子.4.下列函數(shù)中奇函數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；和是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．視頻5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．6.某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，則在下雨天里，刮風(fēng)的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)條件概率求結(jié)果.詳解：因?yàn)樵谙掠晏炖?，刮風(fēng)的概率為既刮風(fēng)又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，選D.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.7.某校教學(xué)大樓共有5層，每層均有2個(gè)樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有（）A.24種B.52種C.10種D.7種【答案】A【解析】因?yàn)槊繉泳?個(gè)樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計(jì)數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有24種不同走法．故選A.8.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x3456y2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為（）A.3B.3.15C.3.5D.4.5【答案】A【解析】線(xiàn)性回歸方程過(guò)點(diǎn),由題目所給數(shù)據(jù)知:,代入方程,得:,解得,故選A.點(diǎn)睛:求線(xiàn)性回歸方程的步驟:(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出的值;(2)計(jì)算回歸系數(shù);(3)寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析時(shí)，要先畫(huà)出散點(diǎn)圖確定兩變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，然后利用公式求回歸系數(shù),得到回歸直線(xiàn)方程，最后再進(jìn)行有關(guān)的線(xiàn)性分析．9.下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是（）．A.某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過(guò)50人B.由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C.平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分D.在數(shù)列{an}中，a1＝1,,,，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式【答案】C【解析】分析：根據(jù)歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理得概念判斷選擇.詳解：某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過(guò)50人,這個(gè)是歸納推理；由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，是類(lèi)比推理；平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，是演繹推理；在數(shù)列{an}中，a1＝1,,,，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式，是歸納推理，因此選C.點(diǎn)睛：本題考查歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理，考查識(shí)別能力.10.某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線(xiàn)如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內(nèi)取值的概率分別是，，，則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A.997B.954C.683D.341【答案】C【解析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因?yàn)?，所以成?jī)X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對(duì)應(yīng)人數(shù)為選C.點(diǎn)睛：利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè).11.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求切線(xiàn)斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程，最后根據(jù)切線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，求三角形面積.詳解：因?yàn)?，所?所以切線(xiàn)方程為，因此與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，圍三角形的面積為選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線(xiàn)斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.12.已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)?，所?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).第Ⅱ卷（非選擇題滿(mǎn)分90分)二、填空題（20分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______________．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，故的定義域?yàn)?，故答案?14.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是__________.【答案】15【解析】試題分析：由題意得，二項(xiàng)式的展開(kāi)式，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用.15.曲線(xiàn)所圍成圖形的面積為_(kāi)____________【答案】【解析】畫(huà)出曲線(xiàn)如下圖，所以，填。16.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】試題分析：要使函數(shù)的定義域?yàn)?，需滿(mǎn)足恒成立．當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，即．綜合以上兩種情況得．考點(diǎn)：不等式恒成立問(wèn)題．三、解答題（70分）17.為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)30名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表所示（平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過(guò)50kg為肥胖）：常喝不常喝合計(jì)肥胖28不肥胖18合計(jì)30(Ⅰ)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(Ⅱ)是否有99％的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?說(shuō)明你的理由.0.0500.0103.8416.635參考數(shù)據(jù)：附：【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)有99％的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)．【解析】分析：（1）先根據(jù)條件計(jì)算常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)表格關(guān)系填表，（2）根據(jù)卡方公式求，再與參考數(shù)據(jù)比較作判斷.詳解：（1）設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生有人，.常喝不常喝合計(jì)肥胖628不胖41822合計(jì)102030（2）由已知數(shù)據(jù)可求得：因此有99％的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)．點(diǎn)睛：本題考查卡方公式以及列聯(lián)表，考查基本求解能力.18.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差1011131286就診人數(shù)(個(gè))222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．（Ⅰ）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2月至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程＝x＋；（Ⅱ）若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是理想的，試問(wèn)該小組所得線(xiàn)性回歸方程是否理想．附：（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1);(2)該小組所得線(xiàn)性回歸方程是理想的．【解析】分析：（1）先求均值，代入公式求，根據(jù)求，（2）根據(jù)線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，再與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的作差，與2比較，根據(jù)結(jié)果作判斷.詳解：(1)由數(shù)據(jù)求得＝11，＝24，由公式求得b＝，再由a＝－b＝－，得y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為＝x－．(2)當(dāng)x＝10時(shí)，＝，|－22|<2；同樣，當(dāng)x＝6時(shí)，＝，|－12|<2，所以，該小組所得線(xiàn)性回歸方程是理想的．點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線(xiàn)性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫(xiě)出回歸方程，回歸直線(xiàn)方程恒過(guò)點(diǎn).19.從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫(xiě)出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.【答案】(1)①;②見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求結(jié)果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布期望與方差公式求結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1);(2)k<-.【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得解得b，再根據(jù)求a（2）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得，最后根據(jù)一元二次不等式恒成立得，解得的取值范圍．試題解析：（）∵是奇函數(shù)，∴，計(jì)算得出．從而有，又由知，計(jì)算得出．（）由（）知，由上式易知在上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于，因是減函數(shù)，由上式推得，即對(duì)一切有，從而判別式，計(jì)算得出．21.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，）處的切線(xiàn)與軸平行，求；（Ⅱ）若在處取得極小值，求的取值范圍．【答案】(1)1;(2)（，+∞）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類(lèi)討論，根據(jù)是否滿(mǎn)足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a