全稱量詞與存在量詞 高一數(shù)學(xué)

1.5.1

全稱量詞與存在量詞自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、全稱量詞與全稱量詞命題1.給出下列語句:①3x+2是無理數(shù);②x有算術(shù)平方根;③對一切無理數(shù)x,3x+2還是無理數(shù);④所有實數(shù)x都有算術(shù)平方根.(1)語句①②是命題嗎?(2)比較語句①和③,②和④,它們之間有什么關(guān)系?(3)語句③④是命題嗎?若是命題,你能判斷它們的真假嗎?提示:(1)語句①②中含有變量x,無法判斷它們的真假,故①②不是命題.(2)語句③在①的基礎(chǔ)上,用短語“一切”對變量x進行限定;語句④在②的基礎(chǔ)上,用短語“所有”對變量x進行限定.(3)③④是能判斷真假的語句,是命題;③是真命題,④是假命題.2.

3.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(

)①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù);②所有的偶數(shù)都是合數(shù);③三角形的內(nèi)角和是180°.A.0 B.1

C.2

D.3解析:命題①②含有全稱量詞,命題③可以敘述為“任意一個三角形的內(nèi)角和都是180°”,故三個都是全稱量詞命題.答案:D二、存在量詞與存在量詞命題1.給出下列語句:①x>5;②x是有理數(shù);③存在實數(shù)x,使x>5;④至少有一個實數(shù)x,使x是有理數(shù).(1)語句①②是命題嗎?(2)比較語句①和③,②和④,它們之間有什么關(guān)系?(3)語句③④是命題嗎?若是命題,你能判斷它們的真假嗎?提示:(1)不是.(2)語句③在①的基礎(chǔ)上,用短語“存在”對變量x的取值進行限定;語句④在②的基礎(chǔ)上,用短語“至少有一個”對變量x的取值進行限定.(3)③④是命題,都是真命題.2.

3.下列命題是存在量詞命題的是(

)A.一元二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B.正方形都是平行四邊形C.不相交的兩條直線是平行直線D.存在實數(shù)大于等于3答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)“有理數(shù)全是實數(shù)”是全稱量詞命題.(√)(2)同一個全稱量詞命題的表述是唯一的.(×)(3)“全等三角形的面積相等”是存在量詞命題.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

全稱量詞命題與存在量詞命題的判定【例1】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題:(1)凸多邊形的外角和等于360°;(2)有些實數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)對任意實數(shù)a,b,若a>b,則(4)有些三角形不是直角三角形;(5)負數(shù)的平方是正數(shù);(6)若x>0,則x+2>2.分析:判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關(guān)鍵有兩點:一是是否具有兩類命題所要求的量詞或形式;二是根據(jù)命題的含義判斷指的是全體,還是全體中的個別元素.解:(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”,是全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有些”,故是存在量詞命題.(3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱量詞命題.(4)含有存在量詞“有些”,故是存在量詞命題.(5)省略了全稱量詞“所有”或“都”,是全稱量詞命題.(6)省略了全稱量詞“所有”,可以改寫為“對所有實數(shù)x,若x>0,則有x+2>2”,是全稱量詞命題.反思感悟1.判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞.2.同一個全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.【變式訓(xùn)練1】

給出下列四個命題:①有理數(shù)是實數(shù);②矩形都不是梯形;③?x,y∈R,x2+y2≤1;④凡是三角形,都有內(nèi)切圓.其中是全稱量詞命題的是

.(填序號)

解析:在④中含有全稱量詞“凡是”,為全稱量詞命題.③為存在量詞命題.①可以改寫為“所有的有理數(shù)都是實數(shù)”,②可以改寫為“所有的矩形都不是梯形”,故①②④為全稱量詞命題.答案:①②④探究二

全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷【例2】

用量詞符號“?”“?”表示下列命題,并判斷其真假.(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式;(2)有一個實數(shù)x,使(3)平行四邊形的對角線互相平分;(4)至少有一個集合A,滿足A?{1,2,3}.解:(1)?x∈R,x能寫成小數(shù)形式,因為無理數(shù)不能寫成小數(shù)形式,所以該命題是假命題.所以該命題是假命題.(3)?x∈{x|x是平行四邊形},x的對角線互相平分,由平行四邊形的性質(zhì)可知此命題是真命題.(4)?A∈{A|A是集合},A?{1,2,3}.因為存在A={3},使A?{1,2,3}成立,所以該命題是真命題.反思感悟全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)對于全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,需要對集合M中的每個元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)不成立.(2)對于存在量詞命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)成立;要判斷它為假,需要判斷“?x∈M,p(x)不成立”.【變式訓(xùn)練2】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.(1)對任意x∈N,2x+1是奇數(shù);(2)?x,y為正實數(shù),使x2+y2=0;(3)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點P;(4)存在一組m,n的值,使m-n=1.解:(1)是全稱量詞命題,由于對任意x∈N,2x+1都是奇數(shù),故該命題是真命題.(2)是存在量詞命題,因為當(dāng)x2+y2=0時,x=y=0,所以不存在x,y為正實數(shù),使x2+y2=0,故該命題是假命題.(3)是全稱量詞命題,由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點的對應(yīng)關(guān)系,知該命題是真命題.(4)是存在量詞命題,當(dāng)m=4,n=3時,m-n=1成立,故該命題是真命題.探究三

利用全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例3】

已知命題p:?x∈R,使x2+2x+2-a=0為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解:因為p為真命題,即方程x2+2x+2-a=0有實根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1}.將本例中的條件“?x∈R,x2+2x+2-a=0”改為“?x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他條件不變,求實數(shù)a的取值范圍.解:由?x∈R,x2+2x+2-a>0為真命題,得函數(shù)y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的圖象在x軸上方,即1-a>0,得a<1.故實數(shù)a的取值范圍為{a|a<1}.反思感悟利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真命題時,常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相關(guān)問題來處理.(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題,最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識來處理.易

錯

辨

析對量詞理解不到位致錯【典例】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(1)矩形有一個外接圓;(2)非負實數(shù)有兩個平方根.錯解:(1)存在量詞命題.(2)存在量詞命題.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)誤認為含有存在量詞“有一個”,(2)誤認為含有存在量詞“有兩個”,即判斷為存在量詞命題.正解:(1)可以改寫為“所