安徽省安慶市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

安慶市20232024學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定義可求.【詳解】或，故，故選：C．2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由條件知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知該函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B3.（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】分析】利用換底公式和指對(duì)數(shù)運(yùn)算公式即可.【詳解】，故選：C．4.命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，然后根據(jù)恒成立條件得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槊}“”為真命題，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以只需.故選：A．5.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成，其中扇面造型反映江南人文意蘊(yùn)．已知扇面呈扇環(huán)形，內(nèi)環(huán)半徑為1，外環(huán)半徑為3，扇環(huán)所對(duì)圓心角為，則該扇面的面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，該扇面的面積為.故選：B6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用賦值法進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，令，得，令，得，令，，解得：，故選：A7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得.【詳解】由條件知，，因此.故選：B．8.已知關(guān)于的不等式（其中）在R上恒成立，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將已知不等式化為，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)性，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意得原不等式可化為，因，所以在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是且，于是，，，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0可以排除；B由二次函數(shù)的性質(zhì)可得；C由簡(jiǎn)單冪函數(shù)的性質(zhì)可得；D可通過(guò)簡(jiǎn)單例子進(jìn)行排除.【詳解】因?yàn)?，所以b的正負(fù)無(wú)法判斷，所以A可能無(wú)意義；，故B正確；由于為定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，但是，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A. B.C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合圖象即可求出三角函數(shù)的解析式，則AB可解；將代入函數(shù)的解析式即可驗(yàn)證C選項(xiàng)；將代入函數(shù)的解析式即可驗(yàn)證D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象和題目條件可知，，所以，解得，A正確；將代入，可得，解得，B正確；所以，令得，，C錯(cuò)誤，令得，，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，D正確，故選：ABD．11.已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷，其中正確的是（）A.函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A的正確與否；取特殊值可判斷出選項(xiàng)B的正確與否；根據(jù)函數(shù)定義可判斷出選項(xiàng)C的正確與否；由函數(shù)的周期和選項(xiàng)C的結(jié)論得出選項(xiàng)D的正確性.【詳解】選項(xiàng)A：因，，所以，于是函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由函數(shù)周期可得，只需考慮的情況，而，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以，則，此時(shí)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：根據(jù)周期性以及選項(xiàng)C的結(jié)論，可知當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確．故選：AD.12.雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列判斷正確的是（）A.為奇函數(shù)，為偶函數(shù)B.C.函數(shù)在上的最小值為1D.函數(shù)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性即可驗(yàn)證A；由題干給的定義式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可驗(yàn)證B；由基本不等式即可驗(yàn)證C；由題干給的定義式，結(jié)合換元法求解零點(diǎn)可得D.【詳解】，定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故A正確；，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為1，C正確；由題意得：令，結(jié)合C選項(xiàng)可得，于是由，得，解得或（舍去），于是，因此函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)，直接代入計(jì)算即可.【詳解】因，所以，故答案為：1.14.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意首先得出的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合即可求解.【詳解】由已知，不等式的解集為，故，且，為方程的兩根，所以，解得，故不等式為，即，解得或.故答案為：．15.若函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，確定的范圍，由不等式求解的取值范圍.【詳解】因，，所以，因函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．則的取值范圍是.故答案為：16.已知且，則的最大值為_(kāi)_____，最小值為_(kāi)_____．【答案】①.②.##0.4【解析】【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，將化為，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】由,可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào),即的最大值為；，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取到等號(hào)，即的最小值為；故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解集合中的不等式，求集合中函數(shù)的定義域，得到這兩個(gè)集合，再由并集的定義求；（2）由題意，集合是集合的真子集，分類討論解集合中的不等式，由包含關(guān)系求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以．【小問(wèn)2詳解】因“”是“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集．當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得；當(dāng)時(shí)，是集合的真子集，符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍是．18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，展開(kāi)整理可得，即，解得（舍去）.因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】．19.已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值，并求對(duì)應(yīng)的自變量的值．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為7【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性，求出的值，得函數(shù)解析式；（2）求出函數(shù)的解析式，由定義域結(jié)合解析式，利用配方法求最值.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得，即，所以，解得，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知因，所以，所以當(dāng)，即，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為7．20.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，且使成立的的最小值為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最大值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）由圖象平移得的解析式，根據(jù)已知得函數(shù)周期求出，整體代入法求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由解析式，通過(guò)換元，利用基本不等式求最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，于是函數(shù)最大值為1，最小值為，根據(jù)使成立的的最小值為，則是相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，函數(shù)的最小正周期滿足，解得，所以，解得，所以，于是，解得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，令，則，于是，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為．21.茶是中華民族的舉國(guó)之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄加谔瞥?，興于宋代，中國(guó)茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國(guó)文化中的一朵奇葩！我國(guó)人民歷來(lái)就有“客來(lái)敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌．立德中學(xué)利用課余時(shí)間開(kāi)設(shè)了活動(dòng)探究課《中國(guó)茶文化》，小明同學(xué)用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室內(nèi)，開(kāi)始時(shí)測(cè)得這杯茶的溫度為100℃，經(jīng)過(guò)1分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?0℃，再經(jīng)過(guò)1分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?5℃．小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：℃）隨經(jīng)過(guò)的時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：①（為常數(shù)，且）；②（為常數(shù)，）．（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫小明同學(xué)選出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；（2）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過(guò)60℃，請(qǐng)利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】21.22.2.5分鐘【解析】【分析】（1）分別代入得到函數(shù)模型，結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)模型解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】若選用①，根據(jù)條件可得，解得，所以．此時(shí)，隨著的增大而減小，符合生活實(shí)際；若選用②，根據(jù)條件可得，解得，所以．又，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，不符合生活實(shí)際，應(yīng)舍去．所以該函數(shù)模型為．【小問(wèn)2詳解】由（1），令，于，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，又，故，所以該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待2.5分鐘．22.已知函數(shù)且過(guò)點(diǎn)．（1）判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若方程有兩不等