高中數(shù)學公式大全 (二)

高中數(shù)學公式匯總

§01.集合與簡易邏輯

1.元素與集合的關(guān)系

xeA。xgCVA,xeCVA=xeA.

2.德摩根公式

Cu(AB)—CfjA.CJJB;CU(AB)—C^A\CVB.

3.包含關(guān)系

A3=AoAlB=B<=>Ac5<=>CVBcC^A

oAgB=①ogAB=R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB—card(AB).

5.集合的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1

個；非空的真子集有2"-2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(%)=ax1+bx+c(aw0);

(2)頂點式/(x)=a(x-h)2+k(a*0);

(3)零點式于(x)=a(x-xj(x-x2)(aN0)、

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f{x)<M<^[/(x)-M][/(x)-7V]<0

M+N、M-N/(x)-N八

O"(x)—------o----->0

2M-f(x)

11

o---------->--------.

于3—NM-N

8.方程/（x）=0在（匕狀2）上有且只有一個實根,與/（左）/（左2）<0不等價,前者是后

者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程&+bx+c=0（?豐0）有且只有一個實根在

的，鼠）內(nèi)，等價于/6）/（鼠）<0,或/6）=0且匕<-3"，或/（左2）=。且

La2

k+kb,

—}--9-<---<k.

22a?2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/（x）=a^+bx+c（aw0）在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在x=-二處及區(qū)

2a

間的兩端點處取得，具體如下：

⑴當a>0時，若x=-不e[p,司，則/(%焉=/(-h),/(x)01ax:max{/(P)，/^)}；

2a2a

{/(P)，/①)},/(%)疝n=*{/(P)，/①)}?

A一上[PM]'/⑴a'

(2)當a<0時,若％=_五e[p,q],則/(x)1nLmin{/(p),/(q)},

x=—￡2[。應(yīng)]，則/(XU=max{/(p),/(q)},/(%卷=min{/(p),/(q)}.

10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若/（7〃）/（九）＜0,則方程/（x）=0在區(qū)間（〃⑶內(nèi)至少有一個實根.

設(shè)f（x）=x^+px+q,貝IJ

p2-Aq＞Q

⑴方程/（x）=0在區(qū)間（冽,+8）內(nèi)有根的充要條件為/（㈤=0或

----＞m

I2

f(m)>0

（2）方程/（x）=0在區(qū)間（私〃）內(nèi)有根的充要條件為＜0或/⑺>°或

p2-4q>0

m<----<n

2

9=°或，f(n)=0

l/W>0|FO)>0

p~-4q>0

（3）方程/（x）=0在區(qū)間（-8,n）內(nèi)有根的充要條件為/（m）＜0或p

---<m

12

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間（-8,+8）的子區(qū)間L（形如［%冏，（--用，［%”）不同）上含參數(shù)

的二次不等式＞0（r為參數(shù)）恒成立的充要條件是＞0（x年L）.

（2）在給定區(qū)間（-8,+8）的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/（x/）20（7為參數(shù)）恒成立

的充要條件是1nlm＜0（x龜L）.

a>0

a<Q

⑶/（%）=以4+而2+?！?恒成立的充要條件是＜此0或<

b1-44c<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有“個至多有（〃—1）個

小于不小于至多有“個至少有（〃+1）個

對所有X,成立存在某X,不成立p或q「p且F

對任何X,不成立存在某X,成立p且q或r

14.四種命題的相互關(guān)系

原命題：與逆命題互逆,與否命題互否，與逆否命題互為逆否;

逆命題：與原命題互逆,與逆否命題互否，與否命題互為逆否;

否命題：與原命題互否,與逆命題互為逆否，與逆否命題互逆;

逆否命題：與逆命題互否，與否命題互逆，與原命題互為逆否；

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是“充分條件.

(2)必要條件：若qn0,則p是4必要條件.

(3)充要條件：若且q=p,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

§02.函數(shù)

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)-%2e\a,b\9那么

(玉-x2)[/(^)-/(x2)]>0O"f")〉°=/(x)在U上是增函數(shù)；

(不f)[/(菁)_/<>2)]<00A?：；?)<o=/(x)在[a,同上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果

r(x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減

函數(shù)；如果函數(shù)y=/(〃)和a=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復合函數(shù)

y=/[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖

象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函

數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)v=是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(-x-a);若函數(shù)y=/(x+a)是偶函

數(shù)，則/(x+a)=/(—%+a).

20.對于函數(shù)y=/(x)(xeR),/(x+a)=/(A—x)恒成立，則函數(shù)/(x)的對稱軸

a+b

是函數(shù)x=

2

兩個函數(shù)y=/(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線》=對稱.

21.若/(%)=-/(-x+a),則函數(shù)y="X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱；

若/(x)=-/(%+a),則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù)?

n

22.多項式函數(shù)P(x)=anx+++?0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)OP(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(%)的圖象的對稱性

⑴函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱o/(a+x)=/(a—%)

/(2G-%)=/(%).

(2)函數(shù)y=于(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱0/(a+mx)=f(b-mx)

of(a+b-mx)=f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(X)與函數(shù)y=/(-X)的圖象關(guān)于直線X=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(tnx—a)與函數(shù)y=—nu)的圖象關(guān)于直線x=『對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=/t(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移入個單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+人的圖

象；若將曲線/(%y)=0的圖象右移。、上移5個單位，得到曲線/(左一。,，一勿=0的圖

象.

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(依+勿存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=:"T(x)-切，并不是

k

y=tr\kx+b),而函數(shù)y=[f-\kx+b)是y=1[/(%)-&]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

⑵指數(shù)函數(shù)/(%)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(V)=a^O.

⑶對數(shù)函數(shù)/(x)=10gaX,f(xy)=f(x)+f(y),/(?)=l(o>0,?1).

(4)幕函數(shù)/(x)=V,/(盯)=/(x)/(y),/'⑴=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,/(x—y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),

/(0)=l,lim始2=1.

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=/(x+a)=O,

或f(x+a)=I(/(x)w0),或/(x+a)=-1(/(x)豐0),

于(x)/(x)

或g+J/(x)—r(x)=〃x+a),(/(x)e[0』)，則/(x)的周期T=2a

(3)/(x)=1-「、(/(=豐0),則f(x)的周期T=3a;

/(%+〃)

(4)/(%1+%)=/(?+少2)且于⑷=1(/(/)?/(x,)w1,0<|X-/l<2a),則

1-7(七)/(々)

f(x)的周期T=4a;

(5)/(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3d)+/(x+4a)=/(x)/(x+a)f(x+2d)f(x+3d)f(x+4tz),

則/(%)的周期T=5a；

(6)于(x+?)=/(%)-f(x+a),則f(x)的周期T=6a.

30.分數(shù)指數(shù)幕

m]

(1)an=,——(a>O,m,neN*,且〃>1).

Nam

m]

(2)a〃=—(a>b,m,neN*,且〃>1).

a

31.根式的性質(zhì)

(1)(^/^)"=a.

(2)當〃為奇數(shù)時，吐=a;

/f6Z,6Z>0

當〃為偶數(shù)時，<優(yōu)=|〃|二八.

一。,〃<0

32.有理指數(shù)哥的運算性質(zhì)

(1)ar-as-ar+s(a>0,r,5e2).

(2)(?r)s=ar\a>0,r,5e2).

(3)(aby=a'b'\a>0,b>0,re2).

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運算性

質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)黑都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

b

logflN=b<^>a=N(a>0,a力1,N>0).

34.對數(shù)的換底公式

logN

log.N=?迎(。>0,且a￥l,m>0,且mwl,N>0).

!ogma

Yl

推論logbn=—log*(。>0,且抽〃>0,且mwl,N>0).

awm

35.對數(shù)的四則運算法則

若a>0,aHl,M>0,N>0,貝(J

(1)log,(MN)=log,M+k)g,N;

M

⑵log”—=log〃M-logflN;

⑶log“M"=?logflM{neR).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,“(a/+bx+c\aw0),記A=〃-4?c.若/(%)的定義域為

R,則。>0,且△<();若/(x)的值域為R,則a>0,且AN0.對于。=0的情形，需要

單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0">0,x>0,"L則函數(shù)y=log.xSx)

a

(1)當a>人時,在(0,工)和(人,+s)上y=10glM(bx)為增函數(shù).

aa

,⑵當a<b時在(0」)和(-,+?)上y=log/")為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>機>1,p>0,a>0,且awl,貝II

⑴log,”+p(〃+P)<log,""?

⑵logamlogan<logfl.

§03.數(shù)列

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+p)，.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

5,,〃=1

a.=c(數(shù)列｛q｝的前n項的和為s“=〃]+%+,+?！?,

[S“-S"T，"N2

40.等差數(shù)列的通項公式

an=ax+(n-V)d=dn+a1-d(neN*)；

其前n項和公式為

〃3+a.),n(n-l)

s“=---------=叫+---d

d2/1八

——zz+(q--d)n.

41.等比數(shù)列的通項公式

1

an=a^q'^=—■q'\n&N*｝；

q

其前n項的和公式為

s“=ji-q

nax,q=1

或s"=<\-q.

na^q=1

42.等比差數(shù)列｛a〃｝:4+1=qan+d,a1=b(q豐0)的通項公式為

b+(n-l)d,q=1

<bq"+(d-b)q'T-d??；

、q-1

其前n項和公式為

nb+n(n-l)d,(q=1)

s?dA-qnd.八?

(/zb-------)—L-+-------〃,(qWl)

Li-qq-i"q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=的元(貸款。元,“次還清，每期利率為b).

(1+Z?)-1

§04.三角函數(shù)

44.常見三角不等式

JI

(1)若%￡(0,5),則sinx〈％vtanx.

(2)若%el。,]),貝ljl<sinx+cosx?0.

（3）|sinx|+|cosx|>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin20+cos23=1,tang=,tan0-cotO-1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）

n

./〃不、(-1)2sina,（n為偶數(shù)）

sm(—+a)=<n-\

2

(-1)cosa.（n為奇數(shù)）

n

.rue、(-1)2COS%（n為偶數(shù)）

cos(---a)=<

2n+1

(-1)2sina,

（n為奇數(shù)）

47.和角與差角公式

sin(6Z±4)=sinacos/?±cosorsin[3;

cos(o±J3)=cosacos￡*sinasinJ3;

,c、tandz±tan/?

tanz(^±尸);-----------三.

1.tanortanp

sin(a+/?)sin(a-/?)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式);

cos(a+/?)cos(a一/)=cos2a-sin2/7.

asina-^-bcosa=1a2+及sin(a+0)(輔助角°所在象限由點(a,b)的象限決

.b、

定,tan0二一).

a

48.二倍角公式

sin2c=sincoscc.

cos2a-cos2a-sin2a=2cos2a-\-l-2sin2a.

2tana

tan2。=

1-tan2a

49.三倍角公式

JTJT

sin3。=3sin8—4sin38=4sin6sin(—-0)sin(y+0).

cos30=4cos3^-3cos6=4cos0cos(^--6)cos(y+0)

c八3tan-tan30?歷八、歷八、

tan30=------------=tan0tan(---3)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(G%+°),xER及函數(shù)y=COS(G%+0),xER(A,3,°為常數(shù)，且AHO,

3>0)的周期7=空;

CO

JI

函數(shù)y=tan(ox+0),%。左萬+5,左wZ(A,3,9為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期

T=-.

CO

51.正弦定理

，='=，=2B

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA;

Z?2=c2+O1-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

53.面積定理

(1)S=gah。=gbh》=gchc(ha>%、4分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S--absinC=—bcsmA--casmB.

222

(3)0AB=口(|QA|.|031)2_(0403)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有A+_B+C=TTC—71—(A+B)

C=￡_A+B^2(?=2^_+

222

55.簡單的三角方程的通解

sin尤=Qo元=左刀■+(—1)，arcsina(k￡Z,|Q區(qū)1).

cosx=〃ox=2k?！繿rccosa(kGZ,|d!|<1).

tanx=a=>x=k7r+arctana{keZ,a￡R).

特別地,有

sina=sin/?oa=歸乃+(-l)k)0(keZ).

cosa=cos0=2kji±/3(JcGZ).

tana=tan/3^a=k7i+/3(JcGZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sin%〃區(qū)1)o%￡(2左萬+arcsina,2左乃+?—arcsina),k^Z.

sin%va(|〃區(qū)1)。x￡Qk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>〃(|a區(qū)1)ox￡(2左=-arccosa,2k兀+arccosa),k^Z.

cos%vQ(|〃區(qū)1)ox￡Qk兀+arccosa,2k7i+2?—arccosd),kcZ.

71

tanx>a(awR)nxw(k/i+arctana,kn+—),keZ.

71

tanx<a(awR)nxw{k7i--.k7i+arctand),keZ.

§05.平面向量

57.實數(shù)與向量的積的運算律

設(shè)入、以為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(.)=(入|j)a;

(2)第一分配律：(A+p)a=Aa+pa;

(3)第二分配律：入(a+b)=M+入b.

58.向量的數(shù)量積的運算律：

(1)a-b=b-a(交換律)；

(2)(2a)-b=A,(ab)=2a-b=a-(Ab);

（3）（Kb）?c=a-c+b-c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且

只有一對實數(shù)入1、%,使得a=Xei+%e2.

不共線的向量&、白叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標表示

設(shè)a=（Xi，yi）,b=（X2，%），且bwO,則ab（bw0）=/%一々%=0.

53.a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）

a-b=\a\IbIcosO.

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.

62.平面向量的坐標運算

⑴設(shè)a=（X],%）,b=（X2，%），則a+b=（X]+/,%+%）?

（2）設(shè)a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,則a-b=（七一%--

⑶設(shè)A（X1,%）,B?,%）,則=—。4=（%-%,%一%）.

⑷設(shè)a=（x,,則2a=（2r,Xy）.

⑸設(shè)a=（占，%）,b=（々，%）,則a-b=（占々+%%）?

63.兩向量的夾角公式

cos0=14上+產(chǎn)（a=（xy）,b=（x2,y2））.

64.平面兩點間的距離公式

dAB=\AB\=y/AB-AB

=4>2-4）2+（%-%）2（A（苞,%）,B（%,%））?

65.向量的平行與垂直

設(shè)@=（九1，%）,=（%2，%），且bwO,則

A||bob二入a0%1丁2一%2%=0?

aJ_b（aW0）Oab=0oxxx2+yry2=0.

66.線段的定比分公式

設(shè)《（七,必），￡（々，當），尸（羽V）是線段6舄的分點，幾是實數(shù)，且《戶=幾尸則

_玉+2X2

「二下二00「=06+比鳥

%+?%]+力

1+A

o0尸=f0耳+(1—(/=^—).

1+A

67.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A（Xi，y）、B（x2,y2）xC（X3,丫3）,則aABC的重心的坐

標是G（A±尸,A±^±A）.

68.點的平移公式

x-x+hX=X-h-rT

<=<00P=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注:圖形F上的任意一點P(x,y)在平移后圖形廠上的對應(yīng)點為P'(x,y),且PP的

坐標為(九左).

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

⑴點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=①，公平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式

為y=f(x—h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(/z，公平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)

解析式為y=/(x+/i)—左.

(4)曲線C：/(x,y)=O按向量a=(/z?)平移后得到圖象C',則C'的方程為

f(x-h,y-k)=Q.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AABC所在平面上一點，角AEC所對邊長分別為。，仇c,則

—.2.2—-2

(1)。為AABC的外心oOA=OB=OC.

(2)。為AAfiC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。為AAfiC的垂心oQA0B=030C=0C0A.

(4)。為AABC的內(nèi)心oa0A+Z?03+c0C=0.

(5)。為AABC的NA的旁心oa04=6O3+cOC.

§06.不等式

71.常用不等式：

(1)4/6尺0"+)222勿7(當且僅當@=15時取“=”號).

(2)a/eR+n巴吆2J茄(當且僅當a=b時取"=”號).

2

(3)o'+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(?2+Z?2)(c2+J2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|—|Z?|<|a+Z?|<|a|+|Z?|.

72.極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p,則當x=y時和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,則當x=y時積孫有最大值

推廣已知則有(x+y)2=(x-y)2+2孫

(1)若積孫是定值，則當Ix-y|最大時，|x+y|最大；

當|x-y|最小時，Ix+)”最小.

(2)若和|%+若是定值，則當|x-y|最大時,I孫I最?。?/p>

當|x-y|最小時,I利I最大.

73.一元二次不等式以2+法+。>0(或<0)(aw0,A=〃—4ac〉0),如果。與

af+bx+c同號，則其解集在兩根之外；如果a與以2+bx+c異號，則其解集在兩

根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

X]<X<%O(%一石)(%一/)<O(X]<4)；

X<X],或X>/O(X-X1)(X-X2)>O(X]<x2).

74.含有絕對值的不等式

當a>0時，有

國<a。龍2<晨o-a<x<a.

國>a<=>九2>420%>a或％<一。.

75.無理不等式

[/(%)>0

⑴"(x)>Jg(x)=,g(x)20.

J(x)>g(x)

(2)"(x)>g(x)o4g(x)20或1--

,g(x)<0

LfM>[g(x)]28

/(x)>0

(3)"(x)<g(x)o,g(x)>0.

J(X)<[g(X)f

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當a>1時，

afM>asM<=>/(x)>g(x);

7(%)>o

log〃/(x)〉log“g(x)=<g(x)>0.

f(x)>g(x)

(2)當0<a<l時，

afM>agM<=>y(x)<g(x);

7(x)>o

log“/(龍)〉log“g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

§07.直線和圓的方程

77.斜率公式

k=~~—（6（石,％）、匕（々,%））?

x2一尤］

78.直線的五種方程

⑴點斜式y(tǒng)_.=r（xf）（直線/過點＜0,%）,且斜率為％）.

（2）斜截式y(tǒng)=fcc+b（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點式‘"="~（%一%）（6（X，%）、已（々，%）（當中馬））?

y2f%—玉

(4)截距式-+-=l(a,b分別為直線的橫、縱截距，a、b^O)

ab

(5)一般式Ax+為+C=0(其中A、B不同時為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若4：y=k[X+4,4：y=k2x+b2

①4||，2o左]=右,4w"2；

②4JLl2okxk2=—1.

(2)若/]：A九+B1〉+G=0，42：42%+82>+。2=0,且Al、AlxBlsB2者不B為零,

①/||/。區(qū)二旦中三；

124B2c2

(2)4±/<=>=0；

2+BXB2

80.夾角公式

⑴tano=|——|.

1+k2kl

(/i：y=《x+偽，l2:y-k2x+Z?2,-1)

(2)tana=|I.

+B'B?

4:\x+Bxy+Cx=09l2:B2y+C2=0,AiA2+BlB2w0).

兀

直線時,直線人與’2的夾角是于

81.，到4的角公式

⑴tana-―—―

1+左2左

(I:丁=勺％+4,12:y=k2x+b2,kxk20-1)

AH-44

(2)tana=

4A,+B[B、

(I:Ax+Bj+C]=0,4：A,x+B2y+C2=0，A4+ByB2wO).

n

直線時，直線A到，2的角是二.

122

82.四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點《(為,%)的直線系方程為y-%=左(％-%)(除直線

x=x°),其中左是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點《(為,%)的直線系方程為

AQ—xJ+Hy—%)=0,其中A3是待定的系數(shù).

(2)共點直線系方程經(jīng)過兩直線4:4%+用y+￡=0,4：4%+§2V+02=0的交點

的直線系方程為(Ax+By+￡)+A(Ax+B2y+C?)=0(除〃)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線y=Ax+b中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線

系方程.與直線—+為+。=0平行的直線系方程是"+為+2=0(2*0),人是

參變量.

⑷垂直直線系方程：與直線—+為+。=0(AWO,BH0)垂直的直線系方程是

Bx—Ay+X=0,人是參變量.

83.點到直線的距離

d=IA%+3%+C|（點p5,為），直線i.Ax+By+C=Q）.

VA2+B-

84.Ax+By+C>?；?lt;0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/：Ac+3y+C=0,則Ar+5y+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若3/0,當3與Ac+By+C同號時，表示直線/的上方的區(qū)域；當3與-+為+C

異號時，表示直線/的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.

若3=0,當A與-+3y+C同號時，表示直線/的右方的區(qū)域；當A與-+3y+C

異號時，表示直線/的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

85.（Ax+Bxy+G）（&x++C?）>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C：（Ax+4y+G）（&x+B2y+C2）=0（444^2。0），貝IJ

（4方+4丫+￡）（4；1+員丫+。2）>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

（Ax+B.V+￡）（4%+々y+C2）>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

（4工+4丫+￡）（4工+員丫+。2）<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y~+Dx+Ey+F—0{D~+E?—4/>0).

x=a+rcos0

⑶圓的參數(shù)方程

y=b+rsmO

（4）圓的直徑式方程（x—西）（工一々）+（丁一%）（，一％）=0（圓的直徑的端點是

A(x”%)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

（1）過點A（±,%）,3（%,%）的圓系方程是

（x—石）（x—/）+（y—％）（y—%）+4Kx一石）（%一％）—（V—X）（七一斗）】=。

05一西）（%一々）+（丁一%）（、一%）+九（?+勿+。）=°>其中ax+Z?y+c=0是直線

AB的方程,入是待定的系數(shù).

（2）過直線/:瓜+互y+C=0與圓C:f+）?+瓜+4+尸=0的交點的圓系方程

是r+y?+Dx+Ey+F+/l（Ax+By+C）=0,人是待定的系數(shù).

2222

（3）過圓Q:x+y+D1x+Exy+Fx=0與圓C,:x+y+D2x+E2y+F2=0的交

點的圓系方程是三+丁+。B+石。+川+/1（必+）；2+。2]+&3；+工）=0,人是待定的系

數(shù).

88.點與圓的位置關(guān)系

點P（x0,y0）與圓（x-a1+（y-勿2=/的位置關(guān)系有三種

若d=J（a-%）2+（A-%）2,貝！]

d>ro點尸在圓夕卜；d=廠o點P在圓上；d<ro點尸在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓（x-a/+（y-b）2=r2的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離<4>A<0;

d=ro相切oA=0；

d<ro相交oA>0.

\Aa+Bb+C|

其中d=

A/A2+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為5,02,半徑分別為n,r2,\O}O2\=d

d>K+&o外離o4條公切線；

d=八+々o外切o3條公切線；

卜1-々|<d<"+馬o相交o2條公切線；

d=|q-修u>內(nèi)切u>l條公切線；

0<-r2|o內(nèi)含o無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓/+V+Dx+@+E=0.

①若已知切點(%,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x0+%)E(y0+y)

xox+yoy+g+F=0.

當(%,%)圓外時，x()x+x)+?(*;+，)+尸=0表示過兩個切點

的切點弦方程.

②過圓外一點的切線方程可設(shè)為y-%=Mx-X。)，再利用相切條件求k,這時必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為,=履+人，再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓爐+產(chǎn)=產(chǎn).

①過圓上的《(%,為)點的切線方程為xox+yoy=r-；

②斜率為左的圓的切線方程為y=kx+r^l+k2.

§08.圓錐曲線方程

x2V2\x-acos0

92.橢圓)+七=1(〃〉b〉0)的參數(shù)方程是‘.八.

ab[y=0sin〃

22

93.橢圓二+七=1(?！?〉0)焦半徑公式

ab

22

\PF^=e{x+^—),\PF2\=e(--x).

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

(1)點尸(%0，為)在橢圓=+與"=1(〃>人>°)的內(nèi)部O-+普<1.

abab

2222

(2)點P(x°,%)在橢圓—+與=1(〃>b>0)的外部O-+普>1.

abab

95.橢圓的切線方程

22

(1)橢圓1+與=1(〃〉匕〉0)上一點P(%,%)處的切線方程是誓+咨=1.

abab

(2)過橢圓三+2=Ka>b>0)外一點P(x0,%)所引兩條切線的切點弦方程是

ab

V.2o2=1

十?

a2b72T

22

(3)橢圓三+二=l(a〉6〉0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是

ab

j^cr+B2b2=c2.

22

96.雙曲線?—七=1(?！?]〉0)的焦半徑公式

ab

22

|P-=|e(x+?|,附|=|e]—x)].

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點P(%(),%)在雙曲線一^一與~二1(〃>0,/?>0)的內(nèi)部=U■—普>1.

ab