2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 8-6-3 第一課時　平面與平面垂直的判定 課件（60張）

第一課時平面與平面垂直的判定新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系數(shù)學(xué)抽象2.了解二面角的相關(guān)概念，平面與平面垂直的定義邏輯推理3.歸納出平面與平面垂直的判定定理數(shù)學(xué)運(yùn)算知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標(biāo)03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

?

如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺.問題你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫不同的面面“夾角”呢？

?

?知識點(diǎn)一

二面角1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個

半平面?所組成的圖形叫做二面角.半平面2.相關(guān)概念二面角的棱二面角的面記法AB（l）α，β二面角α-AB-β；二面角α-l-β；二面角P-l-Q；二面角P-AB-Q3.二面角的平面角（1）定義：在二面角α-l-β的棱l上

任取一點(diǎn)O

?，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作

垂直?于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角；（2）范圍：

0°≤α≤180°

?；任取一點(diǎn)O

垂直0°≤α≤180°

（3）直二面角：平面角是直角的二面角.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別？提示：平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.知識點(diǎn)二平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

直二面角?，就說這兩個平面互相垂直；（2）畫法：（3）記作：

α⊥β

?.直二面角α⊥β

2.平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的

垂線?，那么這兩個平面垂直符號語言a?α，a⊥β?α⊥β圖形語言?

?垂線提醒

判定定理的關(guān)鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個面的垂線.“過平面外一點(diǎn)，有且只有一個與已知平面垂直的平面”對嗎？提示：不止一個，事實(shí)上有無數(shù)個，過平面外一點(diǎn)可以作平面的一條垂線，過該垂線可以作出無數(shù)個平面，由平面與平面垂直的判定定理可知這些平面都與已知平面垂直，所以過平面外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個與已知平面垂直的平面.?

?1.如圖所示的二面角可記為（

）A.α-β-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α解析：根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確.故選B.2.在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（

）A.AO⊥BO，AO?α，BO?βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO?α，BO?βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β3.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（

）A.有1個B.有2個C.有無數(shù)個D.不存在解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個.02題型突破·析典例?

?題型一二面角大小的計(jì)算【例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.（1）求二面角A-PD-C的大??；解（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的大小為90°.（2）求二面角B-PA-C的大小.解（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C的大小為45°.通性通法求二面角大小的步驟?

?

簡稱為“一作二證三求”.提醒

作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要，選擇特殊點(diǎn)做平面角的頂點(diǎn).?

?在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值為（

）

題型二平面與平面垂直的證明【例2】如圖所示，在四面體A-BCS

中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.證明法一（定義法）

因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，如圖所示，則AD⊥BC，SD⊥BC，在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a，

在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC.又因?yàn)锳D?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.法二（判定定理法）

因?yàn)镾A＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.因?yàn)椤鱏BC為直角三角形，通性通法證明面面垂直常用的方法（1）定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；（3）性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.?

?1.如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.證明：∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.

?

?1.下列說法：①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角；③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系.其中正確的個數(shù)是（

）A.0B.1C.2D.3解析：根據(jù)二面角的定義知①兩個相交的半平面所組成的圖形叫做二面角，故錯誤；②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線所成的角，故錯誤；③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，故錯誤.所以①②③都不正確.故選A.2.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（

）A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.關(guān)系無法確定解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，因?yàn)槎娼荋-DG-F的大小不確定，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定.3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是銳角三角形，那么必有（

）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD解析：∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC?平面BCD，BD?平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故選C.4.如圖所示，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為

?.

解析：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.答案：45°03知能演練·扣課標(biāo)?

?1.經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有（

）A.0個B.1個C.無數(shù)個D.1個或無數(shù)個解析：當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時，可作無數(shù)個垂面，否則，只有1個.故選D.2.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（

）A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n?αC.m∥n，n⊥β，m?αD.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.3.如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是（

）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C.4.在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD為矩形，∴AD⊥AB，CD⊥AD，而AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，又BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，選項(xiàng)A、B、D可證明.故選C.5.（多選）已知α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，則下列命題中正確的是（

）A.若α∥β，l∥β，則l∥αB.若l⊥α，l⊥β，則α∥βC.若l⊥α，l∥β，則α⊥βD.若α⊥β，l∥β，則l⊥α解析：對于A，若α∥β，l∥β，則l∥α或l?α，故A不正確；對于B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故B正確；對于C，如圖，若l⊥α，l∥β，過l的平面γ與β相交，設(shè)交線為m，∵l∥β，l?γ，β∩γ＝m，則l∥m，∵l⊥α，則m⊥α，∵m?β，故α⊥β，故C正確；對于D，若α⊥β，l∥β，則l與α不一定垂直，故D不正確；故選B、C.

A.平面A'BD⊥平面BDCB.平面A'BD⊥平面A'BCC.平面A'DC⊥平面BDCD.平面A'DC⊥平面A'BC

7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則平面C1D1EF與平面EFCD所成的二面角的余弦值為

?.

8.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝

?.

答案：19.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的有

?（寫出全部正確命題的序號）.

①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE；④平面ACD⊥平面BDE.解析：因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，因?yàn)锽E∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，所以AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：③④10.如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小.

12.（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（

）A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角解析：對于A，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點(diǎn)，所以EF∥PB，又EF?平面PBC，PB?平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中結(jié)論正確；對于B，因?yàn)镻C⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG?平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中結(jié)論正確；對于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC為直線BC與直線PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，因此C中結(jié)論正確；對于D，由于FE，GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面