2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）重難點(diǎn)13 幾何最值問題2種題型（將軍飲馬與螞蟻爬行,16種模型）（解析版）

重難點(diǎn)13幾何最值問題2種題型（將軍飲馬與螞蟻爬行，16種模型）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01將軍飲馬題型02螞蟻爬行題型01將軍飲馬模型的概述：唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng).問如何行走才能使總的路程最短.模型一-模型四的理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.模型一（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.方法：如右圖，連接AB，與線段L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng).【將軍飲馬之模型一專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2021·海南?？凇そy(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+A．52 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】由基本作圖得到得EF垂直平分AB，則MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后利用三角形面積公式計(jì)算出AD即可．【詳解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，∵M(jìn)A+MD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在AD上時(shí)取等號(hào)），∴MA+MD的最小值為AD，∵AB＝AC，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵S∴AD∴BM+MD長(zhǎng)度的最小值為5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點(diǎn)之間，線段最短，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PEA．43 B．23 C．6 D【答案】B【分析】連接BD，PB，根據(jù)點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，得出PD=PB，從而得出PD+PE=PB+【詳解】解：連接BD，PB，如圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PD=∴PD+∴PD+PE最小值為∵正方形ABCD的面積為12，∴AB=又∵△ABE∴BE=∴PD+PE最小值為23故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出BE的長(zhǎng)為PD+3．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則

A．2+1 B．2+12 C．【答案】B【分析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答．【詳解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，∵A(2,0),則△ABO為等腰直角三角形，∴AB=OA2+OB∴ON=12又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，BC=1，則MN=12∴OM=ON+MN=2+∴OM的最大值為2故答案選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大．4．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABCA．325 B．2 C．213-【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得∠APB=90°，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得OP=OA=OB=12AB=4；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙【詳解】∵∠ABC∴∠ABP∵∠PAB∴∠BAP∴∠APB取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，連接OP，∴OP∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小在Rt△∵∠OBC=90°，BC=6∴OC∴∴PC最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2020·廣東深圳·南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AC,BD在AB的同側(cè)，AC=2,BD=8,AB=8，點(diǎn)M為AB【答案】14【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B∵∠CMD∴∠AMC∴∠CMA∴∠A∵M(jìn)A∴ΔA∵CD∴CD的最大值為14故答案為14．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題模型二（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，需先走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長(zhǎng).【將軍飲馬之模型二專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2022·湖南湘潭·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，菱形草地ABCD中，沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路AC<BD，M、N分別是草地邊BC、CD的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)P，若要使PM+PN【答案】50【分析】作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P'，連接MP'，當(dāng)P點(diǎn)與P'重合時(shí)，【詳解】解：作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P'，連接M當(dāng)P點(diǎn)與P'重合時(shí)，MP∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD即Q在AB上，∵M(jìn)Q∴AC∥∴M為BC∴Q為AB∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD∴BQ∥CD∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴NQ設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC∴BC∴PM+PN故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出P的位置．2（2021下·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，且BA＝CB，在y軸上取一點(diǎn)D，連接AB，BC，AD，CD，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則這個(gè)周長(zhǎng)的最小值為．【答案】4+2【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和平行線的性質(zhì)得到∠BAC=45°，從而得到∠B=90°，得出AC=BC=2，作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交y軸于D′，則此時(shí)，四邊形ABCD′的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值=AB+BC+AC′，過根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，∴AB∥x軸，∵OC是第一象限的角平分線∴∠BAC=45°，∵CA=CB，∴∠ACB=∠BAC=45°，∴∠B=90°，∵C（4，4）∴B（4，2），∴AB=BC=2，作C（4，4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（-4，4），連接AC′交y軸于D′，則此時(shí)，四邊形ABCD′的周長(zhǎng)最小，且CD=C′D，則這個(gè)最小周長(zhǎng)的值=AB+BC+AC′，∵C′（-4，4），A（2，2）∴AC∴四邊形ABCD的最小周長(zhǎng)值=AB+故答案為：4+2【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．3．（2022下·廣東湛江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B．42 C．25 D【答案】D【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=C故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊△ABC中，AB=10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF=【答案】30°/30度5【分析】①△ABC與△BEF為等邊三角形，得到BA=BC，BE=②過點(diǎn)D作定直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連CG，證出△DCG為等邊三角形，CF為DG的中垂線，得到FD=FG，F(xiàn)B+FD【詳解】解：①∵△ABC∴BA=BC，∴∠BAE∵△BEF∵∠EBF=∠ABC∴∠ABE∠CBF∴∠ABE在△BAE和△BA∴△BAE得∠BAE故答案為：30°．②（將軍飲馬問題）過點(diǎn)D作定直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連CG，∴△DCG為等邊三角形，CF為DG的中垂線，F(xiàn)D∴FB+連接BG，∴FB+又DG=∴△BCG∵BC=10，CG∴BG=5∴FB+FD的最小值為故答案為：53【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．5．（2022上·福建莆田·八年級(jí)莆田二中?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN=30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，【答案】15【分析】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，則MN交AD于P，由軸對(duì)稱易證∠CBP=∠CDP【詳解】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD,∵AP則MN交AD于P，由軸對(duì)稱可知：CB=CD，∴∠∴∠CBP∵∠BCN∴∠BCD∴△BCD∵AC∴AC∴∠CAD∵∠ACB=90°，∴∠CAD∴∠CBP故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵．6．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A1,0、B4,0，與y軸交于點(diǎn)C0,3，點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為x軸正半軸和拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE【答案】當(dāng)四邊形CDEF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)53,0，點(diǎn)F的坐標(biāo)為【分析】作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D'，交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E【詳解】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D'，交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E∴此時(shí)四邊形CDEF的周長(zhǎng)為CD+∴此時(shí)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小，最小值為CD+∵A1,0，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=∴C∵D為OC的中點(diǎn)，∴∴D設(shè)直線C'D'將點(diǎn)C'、D'的坐標(biāo)代入可得5∴直線C'D'令y=0，則x=53，∴點(diǎn)令x=52，則y=34，∴當(dāng)四邊形CDEF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)53,0，點(diǎn)F的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線段的和差最值與二次函數(shù)的結(jié)合，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線為解題關(guān)鍵．7．（2015·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最?。浚?）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）5；（2）1611；（3）7+5【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可計(jì)算出MP的長(zhǎng)；（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為所求，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，則AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，利用勾股定理計(jì)算出MN=3，NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可計(jì)算出AF；（3）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計(jì)算出M′R得出，從而得到四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=32+（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN=ME2-E∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴AM'N解得AF=1611即AF=1611時(shí)，△MEF（3）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時(shí)MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=112+2∵M(jìn)E=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是7+55考點(diǎn)：1．幾何變換綜合題；2．動(dòng)點(diǎn)型；3．最值問題；4．翻折變換（折疊問題）；5．綜合題；6．壓軸題．8．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）問題提出：在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到l的距離分別是4km和3km，AB=akm(a方案設(shè)計(jì)：某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d1，且d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于點(diǎn)P）；圖2是方案二的示意咨圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d2，且d2(1)在方案一中，d1=______km（用含(2)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d2的長(zhǎng)，作了如圖3所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d2=_______km(3)①當(dāng)a=4時(shí)，比較大?。篸1_______d2（填“＞”、“＝”或“②當(dāng)a=7時(shí)，比較大小：d1______d2（填“＞”、“＝”或“(4)請(qǐng)你參考方框中的方法指導(dǎo)，就a（當(dāng)a>1方法指導(dǎo)當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)m與n的大小時(shí)，可以對(duì)它們的平方進(jìn)行比較：∵m2-n∴(m2-當(dāng)m2-n2>0當(dāng)m2-n2=0當(dāng)m2-n2<0【答案】(1)a+3(2)a(3)①＜；②＞(4)見解析【分析】（1）由題意可以得知管道長(zhǎng)度為d1=PB+BA（km），根據(jù)BP⊥l于點(diǎn)P得出PB=3，故可以得出d1的值為a+3．（2）由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值，由軸對(duì)稱可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值a2（3）①把a(bǔ)=4代入d1=a+3和d2=a2②把a(bǔ)=7代入d1=a+3和d2=a2（4）分類進(jìn)行討論當(dāng)d1＞d2，d1=d2，d1＜d2時(shí)就可以分別求出a的范圍，從而確定選擇方案．【詳解】（1）解：∵如圖1，由題意得：d1=PB+BA=a+3；故答案為：a+3；（2）因?yàn)锽K2=a2-1，A'B2=BK2+A'K2=a2-1+72=a2+48，所以d2=a2故答案為：a2（3）①當(dāng)a=4時(shí)，d1=7，d2=8，d1＜d2；②當(dāng)a=7時(shí)，d1=10，d2=97，d1＞d2；故答案為：＜，＞；（4）d12-d22=（a+3）2-（a2+48）2=6a①當(dāng)6a-39＞0，即a＞132時(shí)，d12-d22＞0∴d1-d2＞0，∴d1＞d2；②當(dāng)6a-39=0，即a=132時(shí)，d12-d22=0∴d1-d2=0，∴d1=d2；③當(dāng)6a-39＜0，即a＜132時(shí)，d12-d22＜0∴d1-d2＜0，∴d1＜d2綜上可知：當(dāng)a＞132當(dāng)a=132當(dāng)1＜a＜132【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，數(shù)的大小的比較方法的運(yùn)用，綜合考查了學(xué)生的作圖能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及觀察探究和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．模型三：如圖，將軍同部隊(duì)行駛至P處，準(zhǔn)備在此駐扎，但有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB、BC的交匯處，為防止敵軍在對(duì)岸埋伏需派偵察兵到河邊觀察，再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問偵察兵在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離.數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點(diǎn)M、N，使得?PMN周長(zhǎng)最小.方法：如右圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、BC的對(duì)稱點(diǎn)P’、P’’，連接P’P’’，與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線段P’P’’的長(zhǎng).【將軍飲馬之模型三專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，（1）如圖①，AB=AD，∠BAD=120°，

（2）如圖②，∠BAD=120°，當(dāng)△AEF（3）如圖③，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF【答案】（1）見解析；（2）∠AEF+∠AFE=120°；（3【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE，連接AG，首先證明△ABE≌△ADG，則有AE=AG，∠（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)有A'E=AE，A″F=AF，當(dāng)點(diǎn)A（3）旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADP的位置，首先證明△PAF≌△EAF【詳解】（1）證明：如解圖①，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接在△ABE和△AB∴△ABE∴AE=AG∵∠BAD=120°，∴∠BAE∴∠EAF在△EAF和△AE∴△EAF∴EF=FG（2）解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于點(diǎn)E由對(duì)稱的性質(zhì)可得A'E=∴此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)為AE∴當(dāng)點(diǎn)A'、E、F、A″在同一條直線上時(shí)，A'∵∠DAB∴∠A∵∠EA'∴∠AEF+∠AFE（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)△ABE至△∴∠PAEAP=AE，∠PAF在△PAF和△AP∴△PAF∴EF∴EF【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2019下·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【問題解決】已知點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，過點(diǎn)P分別作關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、①如圖1，若∠AOB=25°②如圖2，連接P1P2分別交OA、OB于C、D，若∠③在②的條件下，若∠CPD=α度（90<α<180），請(qǐng)直接寫出∠（2）【拓展延伸】利用“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這個(gè)結(jié)論，解答問題：如圖3，在ΔABC中，∠BAC=30°，點(diǎn)P是ΔABC內(nèi)部一定點(diǎn)，AP=8，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，請(qǐng)你在圖3中畫出使ΔPEF周長(zhǎng)最小的點(diǎn)E【答案】（1）【問題解決】①50°；②∠AOB=41°；③∠AOB=【分析】（1）①連接OP，由點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，可得∠POA=∠P1OA，∠POB=∠P2OB，再由∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠POB+∠P2OB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由∠CPD=98°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠1+∠2=82°；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3，∠P2=∠4，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠P1+∠3=2∠3，∠1=∠P2+∠4=2∠4，所以∠3+∠4=12∠1+∠2=41°，即可求得∠MPN=139°；由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠PMO=∠PNO=90°，由四邊形的內(nèi)角和為360°即可求得∠AOB=41°；③【詳解】（1）①連接OP，∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P∴∠POA=∠P1OA∴∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠故答案為50°；②如圖2，∵∠CPD∴∠1+∠2=82由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠PMO∴∠AOB=③∠AOB如圖2，∵∠CPD∴∠1+∠2=180由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠PMO∴∠AOB=360°故答案為∠AOB（2）如圖所示，ΔPEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對(duì)稱點(diǎn)P1②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)P2③連結(jié)P1P2，分別交AB、AC于點(diǎn)E、此時(shí)ΔPEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱作圖及最短路徑問題，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021上·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠MAN＝°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問題，利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．模型四如圖，深夜為防止敵軍在對(duì)岸埋伏，將軍又派一隊(duì)偵察兵到河邊觀察，并叮囑觀察之后先去存糧位置點(diǎn)Q處查看再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離.數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點(diǎn)M、N，使得四邊形PQNM周長(zhǎng)最小.方法：如右圖，分別作點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于直線AB、BC的對(duì)稱點(diǎn)P’、Q’，連接P’Q’，與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線段(PQ+P’Q’)的長(zhǎng).【將軍飲馬之模型四專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A（a，3）、B（b，1）都在雙曲線y=3x上，點(diǎn)C、D分別是x，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值為【答案】6【詳解】思路引領(lǐng)：先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出a與b的值，確定出A與B坐標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得．答案詳解：分別把點(diǎn)A（a，3）、B（b，1）代入雙曲線y=3x得：a＝1，b＝則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），如圖，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），連接PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，四邊形ABCD周長(zhǎng)＝DA+DC+CB+AB＝DP+DC+CQ+AB＝PQ+AB=(-1-3＝42+2＝62，故答案為：62．2．（2023下·陜西西安·七年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F、H分別是邊AD、AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若CG=14BC=1，則四邊形

【答案】3【分析】如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G1，作點(diǎn)G1關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G2，作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G3，連接G2G3交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，連接EG1，交CD于點(diǎn)H【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G1，作點(diǎn)G1關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G2，作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G3，連接G2G3交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，連接EG1，交CD

由對(duì)稱的性質(zhì)知，GH=∴HG+EH=G1H+EH≥同理可得：GH+EH+EF+FG≥G2G3∵CG=14BC∴BC=CD=4，由對(duì)稱的性質(zhì)知，CG1=CG=1，BG3∴∠G∵FG=∴△FG∴BF=∴GF故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用作軸對(duì)稱圖形解決最值問題是解題關(guān)鍵．3．（2023上·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期中）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC

(1)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)連接EF交BD于點(diǎn)G，求△BGE(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值和直線MN的函數(shù)解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)E(3,1)；F(2)△BGE的面積為(3)在x軸、y軸上存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小；四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小為5+5；直線MN的函數(shù)解析式：【分析】（1）根據(jù)OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；利用折疊性質(zhì)可得BF=BA=2（2）利用折疊性質(zhì)可以得到AB=AD=BF=DF=2，DF∥BE，從而得到△DFG∽△（3）如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E'，點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F'，連接E'F'，E'F'與x軸、y軸上交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，此時(shí)的點(diǎn)M、N使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求出E'F'=5，EF=5【詳解】（1）解：∵OA=3，OC∴點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)C(0,2)，點(diǎn)∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E(3,1∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F∴BF=BA=2點(diǎn)F(1（2）∵△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F∴∠ABD∴AB=AD=即：∠DGF=∠∴△FGEG∴EFEG=∵S△∴S△∴△BGE的面積為1

（3）在x軸、y軸上存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。蝗鐖D，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E'，點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F'，連接E'F'，E'F'與x軸、y軸上交于點(diǎn)M、點(diǎn)

由對(duì)稱性可知：點(diǎn)E'(3,-1)，點(diǎn)F'(-1,2在Rt△∵BE'=2-(-1)=3∴E'∴ME+又∵EF=BE+四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小為：5+5設(shè)直線MN的函數(shù)解析式y(tǒng)=∵直線MN經(jīng)過點(diǎn)E'(3,-1)，點(diǎn)F'3k+直線MN的函數(shù)解析式：y=-【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)度與點(diǎn)的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，折疊的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)及同高轉(zhuǎn)化面積比，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段和最小問題的基本解題思路是利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握折疊性質(zhì)及線段和最小的方法是解決本題的關(guān)鍵．4（2019·天津西青·校聯(lián)考一模）如圖①，將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)是0,2，點(diǎn)O的坐標(biāo)是0,0，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）如圖②，若點(diǎn)P是線段DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，A重合），過點(diǎn)P作PH⊥DB于點(diǎn)H，設(shè)OP的長(zhǎng)為x，△DPH的面積為S，請(qǐng)求出S（3）如圖③，在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出四邊形MNFE周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是3,1，點(diǎn)F坐標(biāo)為1,2；（2）S=x24-x2+141<x<3；（3）存在，【分析】（1）求出CF和AE的長(zhǎng)度即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用x表示出PD長(zhǎng)度，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)一步表示DH，PH的長(zhǎng)度，運(yùn)用三角形面積公式即可求解；（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，求出E′和F′的坐標(biāo)直接求線段長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），∴OA=3，OC=2，根據(jù)矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折疊知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EA=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，1）；（2）如圖2∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若設(shè)OP的長(zhǎng)為x，則，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，PH=DH=DP×22=22（∴S=12×DH×PH=12×22（x-1）×22（x-1）=x24-（3）如圖3作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，可求，點(diǎn)F（1，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（-1，2），點(diǎn)E（3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（3，-1），用兩點(diǎn)法可求直線E′F′的解析式為：y=-34當(dāng)x=0時(shí)，y=54，當(dāng)y=0時(shí)，x=5∴N（0，54），M（53，此時(shí)，四邊形MNFE的周長(zhǎng)=E′F′+EF=(-1-3)2∴在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，最小為5+5．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用軸對(duì)稱求最短路線和勾股定理等知識(shí)，掌握根據(jù)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題是解題的關(guān)鍵．模型五、模型六的理論依據(jù)：垂線段最短.模型五：已知點(diǎn)P在直線AB、BC的外側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點(diǎn)M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N，PN與AB相交于點(diǎn)M，與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線段PN的長(zhǎng).模型六：已知點(diǎn)P在直線AB、BC的內(nèi)側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點(diǎn)M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P’，過點(diǎn)P’作P’N⊥BC，垂足為點(diǎn)N，P’N與AB相交于點(diǎn)M，與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線段P’N的長(zhǎng).【將軍飲馬之模型五與模型六專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2015·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F【答案】24【分析】在AB上取點(diǎn)F'，使AF'=AF，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．因?yàn)镋F+CE=EF【詳解】解：如圖所示：在AB上取點(diǎn)F'，使AF'=AF，過點(diǎn)C在Rt△ABC中，依據(jù)勾股定理可知∵S∴CH∵AE平分∠CAB∴∠EAF=∠EAF'∵AF'=AF，∴△EAF≌△EAF'∴EF=∴EF+∴當(dāng)C，E，F(xiàn)'共線，且點(diǎn)F'與H重合時(shí)，F(xiàn)E+故答案為245【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱，解決最短問題．18．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5．點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F【答案】5【分析】作F點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接AF'并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)B'，將FE+EB的最小值轉(zhuǎn)化為求B【詳解】解：如圖作F點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接AF'并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)B′，作BD⊥AB′于點(diǎn)由對(duì)稱性可得EF=EF'由垂線段的性質(zhì)可得B到AB′的最短距離為BD，∴EF+EB=EF'+EB=BF'≥Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，∴∠BAD=2∠BAC=30°，Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=52∴線段FE+EB的最小值是故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)；掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2020·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點(diǎn)M、N分別是線段DB、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM

【答案】15【分析】如圖，過A作AG⊥BD于G，延長(zhǎng)AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交BD于【詳解】解：如圖，過A作AG⊥BD于G，延長(zhǎng)AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交∵四邊形ABCD為矩形，BC=10，∠∴AD∵AG∴20AG∴AG∵AE∴∠E∴EN∴AM即AM+MN的最小值為故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查利用軸對(duì)稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)．3．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線y=43x+4交兩坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P

【答案】125/2.4/【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的最小距離CP⊥AB，再根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到OB=4，OA【詳解】解：當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∴OP∵直線y=43∴B0，4∴OB=4，OA∴AB=∵∠AOB∴S△AOB=∴12∴OP故答案為125

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的最小距離，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，直角三角形的面積，學(xué)會(huì)求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學(xué)校考一模）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+【答案】2【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC∴Rt△∴PQ+QC的最小值為2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．5．（2022下·四川德陽·八年級(jí)四川省德陽市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】連接AM、AC，AM交BD于P，此時(shí)PM+PC最小，連接CP，由菱形的性質(zhì)可知C和A關(guān)于BD對(duì)稱，AP=CP，由條件易證△ABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AM⊥BC，再根據(jù)勾股定理可求AM的值，即可求解．【詳解】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時(shí)PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關(guān)于BD對(duì)稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=AB∴PM+PC=AM=3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到P的位置．6．（2021上·河南南陽·八年級(jí)南陽市第十三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC的面積為12，BC=4【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長(zhǎng)=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長(zhǎng)=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=∴S△∴AD=6，∴△BDM的周長(zhǎng)最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD．模型七、模型八的理論依據(jù)：在三角形中兩邊之差小于第三邊.模型七（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P，求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長(zhǎng)射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB模型八（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’【將軍飲馬之模型七與模型八專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2020上·貴州黔東南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分線．點(diǎn)P是EF上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA-PB|的最大值為【答案】3【分析】由三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)|PA-PB|的值最大．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)BA交直線EF于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PB|=AB=3最大，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，確定P的位置是解題的關(guān)鍵．29．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=8，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF=3BF，點(diǎn)P為AC

【答案】2【分析】作E的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接FE'并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)P'【詳解】解：作E的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接FE'并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)∴PE=∴PF-當(dāng)F、E'、P∵在菱形ABCD中，∠ABC∴∠DAB=60°，∴△ABD∴∠DAB=∠DBA∵BD=8∴AB=8∵AF=3∴BF=2∵點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，∴E'為OB∴BE∴BF=∴△B∴E'故答案為2；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數(shù)y2=3

(1)若y1>y(2)動(dòng)點(diǎn)Pn,0在x軸上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)n為何值時(shí)，【答案】(1)x(2)當(dāng)n為-2時(shí)，|PA【分析】（1）由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出當(dāng)y1>y（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可確定當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|PA【詳解】（1）解：當(dāng)y2=3∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x>1∴若y1>y2>0（2）解：將A(1,3)代入y3=k+2，解得：∴直線AB的解析式為y1當(dāng)x=0時(shí)，y∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)，∴AC當(dāng)y1=x∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|PA此時(shí)n=-2，|∴當(dāng)n為-2時(shí)，|PA-【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用三角形的三邊關(guān)系確定點(diǎn)P的位置．3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象與x(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB-PC有最大值時(shí)，求點(diǎn)【答案】(1)y(2)1,-6【分析】（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入解析式，解方程組，即可求解；（2）連接PA，則PA=PB，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得PB-PC=PA-PC≤AC(當(dāng)點(diǎn)A、C、P共線時(shí)取等號(hào))，延長(zhǎng)AC交直線【詳解】（1）解：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入解析式，得9解得a故二次函數(shù)的解析式為y=（2）解：y=故該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1∵B∴A如圖，連接PA，則PA=∴PB-PC=PA-PC≤AC(延長(zhǎng)AC交直線x=1于點(diǎn)P設(shè)直線AC的解析式為y=把A-1,0，-解得m=-3∴直線AC的解析式為y=-3當(dāng)x=1時(shí)，y=-3x∴當(dāng)PB-PC達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用軸對(duì)稱和三角形三邊的關(guān)系解決最短路徑問題，找到點(diǎn)P'4．（2020·廣東東莞·東莞市長(zhǎng)安培英初級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，點(diǎn)A（－2，n），B（1，－2）是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝mx（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出，當(dāng)kx＋b<mx時(shí)，x（3）若C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y=-2x，一次函數(shù)的解析式為y=-x-1；（2）-2<x<0或x>1；（3【分析】（1）先將點(diǎn)B(1,-2)代入反比例函數(shù)可求出其解析式，從而可得點(diǎn)A（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用圖象法求解即可得；（3）如圖（見解析），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，從而可得點(diǎn)A'的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出t取得最大值時(shí)，點(diǎn)A'的位置，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式可求出t的最大值，又利用待定系數(shù)法求出直線A'B【詳解】（1）將點(diǎn)B(1,-2)代入反比例函數(shù)y=mx則反比例函數(shù)的解析式為y當(dāng)x=-2時(shí)，y=-將A(-2,1)，B(1,-2)解得k則一次函數(shù)的解析式為y=-（2）kx+b<則結(jié)合A(-2,1)，B(1,-2)可得：-故x的取值范圍為-2<x<0（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為A'因此有t由三角形的三邊關(guān)系定理得：t當(dāng)且僅當(dāng)C,A',由兩點(diǎn)之間的距離公式得：A即t的最大值為10設(shè)直線A'B將A'(-2,-1)，B解得m則直線A'B令y=0得-1則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5,0)．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、利用圖象法解不等式、三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確得出t取得最大值時(shí)，點(diǎn)A'5．（2016·廣東揭陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A3,0,B1,0，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使MA-MC最大?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）當(dāng)m=32時(shí)，線段【詳解】解:(1)∵拋物線y=x2∴9+3b+∴拋物線的解析式為y=(2)令x=0，則y=3，∴點(diǎn)則直線AC的解析式為y=-∵點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(0≤∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,∵PD∴點(diǎn)Dm∴PD∵a∴當(dāng)m=32時(shí)，線段PD(3)存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)是2,-3．由拋物線的對(duì)稱性可知，對(duì)稱軸垂直平分線段AB∴由三角形的三邊關(guān)系，MA∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)MA-MC最大，即為設(shè)直線BC的解析式為y=kx+則k解得k∴直線BC的解析式為y=-3∵拋物線y=x2∴當(dāng)x=2時(shí)，y∴點(diǎn)M2,-3，即拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M2,-3，使6．（2021上·四川自貢·八年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形△DEF(A,B,C（2）求△ABC（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使｜PA－PB｜最大．(在圖中標(biāo)出點(diǎn)P，保留作圖痕跡)．【答案】（1）圖形見解析，D、E、F點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，3）、（-3，1）、（2，-2）．（2）△ABC的面積為【分析】（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征，求出D、E、F點(diǎn)坐標(biāo)，依次連接三點(diǎn)即可得到△DEF（2）分別過點(diǎn)A、C作x軸的平行線，與過點(diǎn)B作的y軸的平行線交于點(diǎn)M、N，將原來的△ABC補(bǔ)成梯形AMNC，利用梯形面積減去兩個(gè)三角形的面積，即可求得△（3）利用三角形的三邊關(guān)系，任意兩邊之差小于第三邊，得到PA-PB<AB，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有PA-PB=AB，故可得到【詳解】（1）解：∵A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)∴D、E、F點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，3）、（-3，1）、（2，在坐標(biāo)系中根據(jù)坐標(biāo)找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將點(diǎn)連接起來，即可得到△DEF如下圖所示：（2）解：分別過點(diǎn)A、C作x軸的平行線，與過點(diǎn)B作的y軸的平行線交于點(diǎn)M、N，如下圖所示：∴S由各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可知：CN=5，BN=3，BM=2，AM=1∴S（3）解：延長(zhǎng)AB，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，答案如下圖所示：當(dāng)A、B、P三點(diǎn)不共線時(shí)，一定可以組成三角形，此時(shí)必有PA-PB當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，有PA-∴PA-故當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，｜PA－PB｜有最大值，由于P點(diǎn)在x軸上，又在A、B所在的直線上，故點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)處．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征以及割補(bǔ)法求三角形面積、三邊關(guān)系找最值，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征，在求解三角形面積，找不到底和高時(shí)，熟練應(yīng)用割補(bǔ)法求面積，遇到兩邊之差的絕對(duì)值取最大值，要考慮從三邊關(guān)系入手，這些是解決本題的關(guān)鍵．模型九在直線L上求一點(diǎn)P，求|PA-PB|的最小值.方法：如右圖，作線段AB的垂直平分線與直線L相交于點(diǎn)P，|PA-PB|最小值為0.模型九的理論依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等.【將軍飲馬之模型九專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，DC=5BD＝5，且△ADC的面積為

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】利用已知條件可以求出邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)“將軍飲馬”問題，求最短距離即可．【詳解】如圖1，過A作AE∥BC，作點(diǎn)C關(guān)于直線AE對(duì)稱點(diǎn)C'，交AE于點(diǎn)E，連接BC'，交∴∠BCC

由DC=5∴BD=1，CD∴BC=6∵S△ADC=10∴5×CE=20，解得：∴CC'=8要使△ABC周長(zhǎng)最小，則需點(diǎn)A與A'重合時(shí)，即點(diǎn)B由勾股定理得：BC'=∴△ABC的周長(zhǎng)的最小值是16故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求線段和最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活利用軸對(duì)稱的有關(guān)定理及將軍飲馬數(shù)學(xué)模型．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，可得AD⊥BC，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD【詳解】解：如圖：連接AD，交EF于點(diǎn)M，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC∴AD⊥BC∵EF是線段AC∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，AM=∴此時(shí)△CDM∴CM∴AD∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱?最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽六安·?？寄M預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)探究小組探究一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，如圖，在△ABC中，P為邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，已知ADBD=15

請(qǐng)完成下列探究：（1）當(dāng)PD=AD時(shí)，PAAC（2）連接PB，若AB=12，則△PBD周長(zhǎng)的最小值為【答案】13【分析】（1）過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)題意得出ADAB（2）由（1）得ADAB=16，確定BD=10，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，則AC上任意一點(diǎn)到點(diǎn)D、D'的距離都相等，即總有PD=PD'，當(dāng)點(diǎn)P在BD'與AC的交點(diǎn)處時(shí)，PB+P【詳解】解：（1）過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)

則∠AMD∵ADBD∴ADAB∵∠A∴△ADM∴AMAC∴AM=當(dāng)PD=AD時(shí)，∴PA=2∴PAAC故答案為：13（2）若AB=12，由（1）得AD∴AD=∴BD=作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，則AC上任意一點(diǎn)到點(diǎn)D、D'的距離都相等，即總有∴當(dāng)點(diǎn)P在BD'與AC的交點(diǎn)處時(shí)，PB+PD∵BD為定長(zhǎng)10，∴此時(shí)，PB+PD+BD的值最小，即

此時(shí)，連接AD'，過點(diǎn)D'作D∵點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于直線AC∴AC垂直平分DD∴AD=AD∴∠D∴∠DA∴△AD∴AD'=∴BH=在Rt△D在Rt△B∴△PBD周長(zhǎng)的最小值為B故答案為：231【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形及等邊三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，BC邊上的高AD為4，則△

【答案】8【分析】作BC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，連接CN，則△ABC周長(zhǎng)=AN+CN+AC+BC，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)【詳解】解：如圖所示，作BC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，連接CN，

∵M(jìn)N垂直平分BC，∴BN=∴△ABC周長(zhǎng)==∵在△ACN中，AN∴AN+當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，AN+

∴△ABC周長(zhǎng)=∴△ABC周長(zhǎng)的最小值=2∵∠BAC=60°∴△ABC∵AD為BC邊上的高，AD=4∴AB=∴△ABC周長(zhǎng)的最小值=3×故答案為：83【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，確定當(dāng)△ABC模型十：如圖，一條寬度相同的河流兩側(cè)有A、B兩個(gè)營(yíng)地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務(wù)呢？方法：如右圖，將點(diǎn)A向下平移MN的單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A’，連接A’B，交n于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥m，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為A’B+MN模型十一：線段MN在直線L上可移動(dòng)，且MN=a，當(dāng)MN移動(dòng)到什么位置時(shí)，求AM+MN+NB最小值.方法：如右圖，將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)A’，作B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接A’B’，交直線L于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為A’B’+MN模型十、十一的理論依據(jù)：平行四邊形的性質(zhì)+兩點(diǎn)之間線段最短.【將軍飲馬之模型十與模型十一專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分別是AD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=∠MNB

【答案】129+4/【分析】由∠MNB=60°可知MN為定長(zhǎng)，在AD、【詳解】解：作ME∥AB交BC于點(diǎn)E，在AD取DF=MN，連接EF，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)B'，使BB'

∵AB∴∠MEN∴△MEN∴ME∵?ABCD∴AD∴四邊形ABEM為平行四邊形，

同理得四邊形BB'EM∴ME=EN=MN∴BMRt△B'HA中，Rt△B'∴BM即BM+MN+故答案為：129+4【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題的關(guān)鍵是需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，?ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是DF

【答案】7+2/【分析】過點(diǎn)E作EI∥AD交AB于點(diǎn)I，連接HI．易求出AF=1，DF=3，DE=GH=BF=2．易證四邊形AGHI為平行四邊形，得出AG=HI，即說明當(dāng)HI+CH最小時(shí)，【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EI∥AD交AB于點(diǎn)I，連接

∵?ABCD中，∠DAB=60°∴∠ADF∴AF=∴BF=AB-∵DF⊥AB，∴GF∥∵GH∥∴四邊形GHBF為平行四邊形，∴GH=同理可得出BF=∵AB∥DE，∴四邊形ADEI為平行四邊形，∴AI=∴四邊形AGHI為平行四邊形，

∴AG=∴AG+∴當(dāng)HI+CH最小時(shí)，∵當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，HI+∴此時(shí)AG+

∵AD∥∴BC∥∵CE∥∴四邊形BCEI為平行四邊形，∴BH=12∵AB=3，AI∴BI=1∴HI=∴CI=∴AG+GH+CH故答案為：7+2【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．正確作出輔助線，理解當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，HI+CH最小，即此時(shí)3（2022上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．【答案】(1)見解析(2)4(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長(zhǎng)度；（3）要使四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-1【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對(duì)稱找到點(diǎn)P和點(diǎn)Q位置是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn).(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).【答案】(1)13(2)23,0【分析】（1）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE，先求出直線CD'的關(guān)系式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出AE=2，根據(jù)勾股定理求出CD（2）將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'（1,2），作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″（1,-2），連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，∴D（0，2），C（3，4），D'設(shè)直線CD'為y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4，b=-2，解得∴直線CD'為令y=0，得x=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）.∴OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=DE=CE=∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為：13+（2）解：如圖，將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'（1,2），作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″（1,-2），連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1理由如下：∵四邊形CDEF的周長(zhǎng)為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時(shí)，四邊形CDEF周長(zhǎng)最小，∵DD'∥∴四邊形DD∴DE=根據(jù)軸對(duì)稱可知，D'∴DE＋設(shè)直線CD″的解析式為y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b∴直線CD″的解析式為令y=0，得x=∴點(diǎn)F坐標(biāo)為53∴點(diǎn)E坐標(biāo)為23【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，將軍飲馬問題，根據(jù)題意作出輔助線，找出最短時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，是解題的關(guān)鍵．5（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在?ABCD中，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD

(1)如圖1，AC交BE于點(diǎn)G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠(2)如圖2，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=AB，連接BF，過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，連接(3)如圖3，線段PQ在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在BC上，連接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°【答案】(1)5(2)見解析(3)21【分析】（1）由?ABCD得到∠ABC=60°，根據(jù)角平分線求出∠ABE=∠CBE=30°，且∠ACB=∠DAC=30°（2）過點(diǎn)A作AJ⊥AH于點(diǎn)A，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J．得∠BAF=∠BHF=∠BHJ=90°，∠AFB=∠ABF=45°，推出點(diǎn)A，B，（3）取AB的中點(diǎn)M，AE的中點(diǎn)N，連接PM，NQ，MN，則MN∥BE，MN=12BE=32．證得四邊形PMNQ是平行四邊形，得PM=NQ．在Rt△ABC中，BC=2AB，得BC【詳解】（1）解：在?ABCD中，∠∴∠ABC∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∴CG∵∠ABE∴AG=∵∠DAC∴CD=2+4×33∴SΔ（2）證明：如圖1，過點(diǎn)A作AJ⊥AH于點(diǎn)A，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∵FH⊥∴∠BAF∴點(diǎn)A，B，F(xiàn)，H四點(diǎn)共圓，∴∠BHA∴∠AHJ∴△AHJ∴AH=∴JH=∵AB=∴△ABH∴BH=∵FJ=∴BH=（3）解：如圖2，取AB的中點(diǎn)M，AE的中點(diǎn)N，連接PM，NQ，MN，則由題意，得PQ=∴PQ∥∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PM=在?ABCD中，∠∴∠ACB在Rt△ABC中，∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴BC=4∵BC=4∴BM=∵BE平分∠ABC∴∠PBM∵BP=∴△PBM∴PR=∴NQ=∴CQ+∵CQ+∴CQ+PQ+如圖2，過點(diǎn)C作CS⊥AD于點(diǎn)

由（1），得∠ABE∴AE=∴AM=∵∠DAC∴AD=2CD=2∴SD=∴NS=∴CN=∴CQ+PQ+【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，綜合掌握各圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02螞蟻爬行螞蟻爬行模型的概述：螞蟻在某幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)，爬行到另外一個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)去吃食物，求所走的最短路徑是多少。螞蟻爬行模型的實(shí)質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。模型一：螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面爬行，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離：解題方法：在長(zhǎng)方體問題中，我們需要將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短畫圖求解。如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各不相同，一般分三種情況討論。分類討論示意圖展開圖最短距離小結(jié)前+上AB=a最小值取決于ab，bc，ac的大小左+上AB=b前+右AB=c【螞蟻爬行之模型一專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒，若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（

）A．3 B．2 C．5 D．3【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)，將正方體展開，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，將正方體展開，則AC=2，BC∴由勾股定理得AB=∴需要爬行的最短路程是5，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確將正方體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．2．（2020·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)EF為3cm，寬AE為2cm，高CE為4cm，B是GF的中點(diǎn)，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)D爬到點(diǎn)B，那么它需要爬行的最短距離是（

）A．5cm B．29cm C．(22+3)【答案】B【分析】若要求螞蟻爬行的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖展開時(shí)，CD=2cm，GF=4cm，CG=3cm，∵B是GF的中點(diǎn)，∴GB=2cm，∴CB=5cm，∴DB=（2）如圖展開時(shí)，CD=2cm，GF=4cm，CG=3cm，GB=2cm，∴DG=5cm，∴DB故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一道趣味題，將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．3．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，B為一條棱的中點(diǎn)．已知螞蟻沿正方體的表面從A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)，則它運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，CD的長(zhǎng)是（

）

A．1 B．12 C．13 D【答案】B【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得CD∥EB，AC=EC，即C為AE中點(diǎn)，推出CD是△ABE的中位線，根據(jù)正方體的邊長(zhǎng)為2，B為一條棱的中點(diǎn)，得出EB=1，即可得出CD．【詳解】解：畫出展開圖如下，

由正方體的性質(zhì)可得CD∥EB，AC=EC，即C為AE中點(diǎn)，∴CD是△ABE的中位線，∴CD=12EB∵正方體的邊長(zhǎng)為2，B為一條棱的中點(diǎn)，∴EB=1，∴CD=12故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)，正方體的性質(zhì)，得出CD是△ABE的中位線是解題關(guān)鍵．4．（2014·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（

）

A．521 B．25 C．105+5【答案】B【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1，

∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD=CD+在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB=只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，

∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，