2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)微專題提分精練（人教版）專題10 8字型相似模型含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)微專題提分精練專題108字型相似模型1．如圖，正方形的面積為1，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．2．如圖，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，軸，，分別交軸于點(diǎn)，．若，，則的值為A．20 B．18 C．9 D．3．如圖所示，是的直徑，弦，相交于，則等于A． B． C． D．4．如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得矩形，連接交于點(diǎn)，則為A． B． C． D．5．如圖，直角梯形中，，，，為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使與重合，得到，連交于．已知，，則的值為A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．7．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于，交的延長線于，于，，則的周長為A．11 B．10 C．9 D．88．如圖，中，是邊的中點(diǎn)，已知的面積為，則的面積為A． B． C． D．9．如圖，已知點(diǎn)為中邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為．10．如圖，在矩形中，分別交，于點(diǎn)，，若，，則的長為．11．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．若，則的長為．12．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在的延長線上，，、交于點(diǎn)．，則的長為．13．如圖，已知，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則的值為．14．如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，與軸、軸的交點(diǎn)分別為、．過作軸，為垂足，若與的面積相等，則的值等于．15．如圖，在平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么．16．如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為；作軸于點(diǎn)，若與的面積是，則等于．17．如圖，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，的垂直平分線分別交，，于點(diǎn)，，，求的值．18．如圖，在中，，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且交的延長線于，若，，求的長．19．如圖，點(diǎn)是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且、為關(guān)于的一元二次方程的兩根，動(dòng)直線與軸、軸正半軸分別交于點(diǎn)、，過點(diǎn)與垂直的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長線交過點(diǎn)與垂直的直線于點(diǎn)．（1）求雙曲線的解析式；（2）求的最小值；（3）若點(diǎn)到的距離等于的最小值，求的值．專題108字型相似模型1．如圖，正方形的面積為1，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)與的交點(diǎn)為，，．．的面積為．因此圖中的陰影部分的面積是；故選：．2．如圖，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，軸，，分別交軸于點(diǎn)，．若，，則的值為A．20 B．18 C．9 D．【解答】解：過點(diǎn)作軸，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，軸，，，，，，，，，，，，，，故選：．3．如圖所示，是的直徑，弦，相交于，則等于A． B． C． D．【解答】解：連接，則．，，（圓周角定理）．．在中，．故選：．4．如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得矩形，連接交于點(diǎn)，則為A． B． C． D．【解答】解：，．由圖中可得，那么，則．故選：．5．如圖，直角梯形中，，，，為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使與重合，得到，連交于．已知，，則的值為A． B． C． D．【解答】解：由題意知繞點(diǎn)順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)了90度，，，，，，，，，，．故選：．6．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．【解答】解：，，又是的中點(diǎn)，，，即，解得．故選：．7．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于，交的延長線于，于，，則的周長為A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：在中，，，的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，是等腰三角形，是等腰三角形，，是等腰三角形，且，，，在中，，，，，，的周長等于16，又，相似比為，的周長為8．故選：．8．如圖，中，是邊的中點(diǎn)，已知的面積為，則的面積為A． B． C． D．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，的面積為，的面積為，故選：．二．填空題（共8小題）9．如圖，已知點(diǎn)為中邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為4．【解答】解：，，，，，即，又，．故答案為：4．10．如圖，在矩形中，分別交，于點(diǎn)，，若，，則的長為．【解答】解：，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，則，，四邊形是矩形，，，，，，，，故答案為：．11．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．若，則的長為12．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：12．12．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在的延長線上，，、交于點(diǎn)．，則的長為4．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，故答案為：4．13．如圖，已知，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則的值為．【解答】解：延長、交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．14．如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，與軸、軸的交點(diǎn)分別為、．過作軸，為垂足，若與的面積相等，則的值等于．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，所以點(diǎn)，，點(diǎn)，所以，，軸，，與的面積相等，與的相似比為1，即，，，所以點(diǎn)，，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，即，解得，（舍去）．故答案為：．15．如圖，在平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么．【解答】解：是平行四邊形，，．16．如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為；作軸于點(diǎn)，若與的面積是，則等于．【解答】解：對于，令，則，的坐標(biāo)為，即；令，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，，即；，而與的面積是，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．故答案為．三．解答題（共3小題）17．如圖，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，的垂直平分線分別交，，于點(diǎn)，，，求的值．【解答】解：如圖，分別延長、交于點(diǎn)；四邊形為正方形，，，為邊的中點(diǎn)，，；平分，，；，，．18．如圖，在中，，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且交的延長線于，若，，求的長．【解答】解：為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)中，，．19．如圖，點(diǎn)是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且、為關(guān)于的一元二次方程的兩根，動(dòng)直線與軸、軸正半軸分別交于點(diǎn)、，過點(diǎn)與垂直的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長線交過點(diǎn)與垂直的直線于點(diǎn)．（1）求雙曲線的解析式；（2）求的最小值；（3）若點(diǎn)到的距離等于的最小值，求的值．【解答】解：（1）、為關(guān)于的一元二次方程的兩根，，點(diǎn)是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，，雙曲線的解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即的最小值為；（3）作于，由（2）知，，設(shè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，又，，，，，，即，，又，，即，，，．專題11A字型相似模型1．已知：如圖，在中，，則下列等式成立的是A． B． C． D．2．如圖，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)．若，則下列說法錯(cuò)誤的是A． B． C． D．3．如圖，將一個(gè)大三角形剪成一個(gè)小三角形及一個(gè)梯形．若梯形上、下底的長分別為6，14，兩腰長為12，16，則剪出的小三角形是A． B． C． D．4．如圖，中，，，，是邊上一點(diǎn)，作于，于，設(shè)，則A． B． C． D．5．如圖，以線段為直徑的半圓上有點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，作于，交延長線于點(diǎn)，弦，交于點(diǎn)，若，，則的長為．6．如圖，直線，且每兩條相鄰平行線之間距離相等，點(diǎn)，，分別在直線，，上，分別交直線，于點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若的面積為4，則四邊形的面積為．7．如圖，已知的面積．在圖1中，若，則；在圖2中，若，則；在圖3中，若，則；按此規(guī)律，若，．8．如圖，、兩點(diǎn)分別在的邊、上，與不平行，當(dāng)滿足條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)，．9．如圖，、兩點(diǎn)分別在的邊、上，與不平行，當(dāng)滿足條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)，．10．如圖，已知的直徑為10，將一塊三角板如圖放置，使它的直角頂點(diǎn)在上，兩直角邊與交于點(diǎn)，，使得．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段．11．如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線折疊，折痕與交于點(diǎn)，若與相似，則的長為．三．解答題（共9小題）12．如圖，中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，，交于點(diǎn)，求證：．13．如圖，為的直徑，、為上兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．若的半徑的長為3，，求的長．14．某公園一角有一盞地面射燈照在一棵樹上，樹的影子投在墻上．已知樹高，樹與墻之間的距離為，與射燈之間的距離為．求樹在墻上的影長．15．如圖，，射線和線段互相垂直，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，，作并截取，連接并延長交射線于點(diǎn)．設(shè)，，求關(guān)于滿足的函數(shù)關(guān)系式．16．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度分別沿射線、射線運(yùn)動(dòng)，以為邊向內(nèi)部作正方形．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)，正方形與重疊部分的面積為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至上時(shí)，．（1）的長為；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍．17．如圖，已知小麗的身高是1.6米，她在路燈下的影長為2米，此時(shí)她與路燈的距離為3米，且，，求路燈的高度．18．如圖，一條東西走向的筆直公路的北側(cè)，在間隔150米的點(diǎn)，處有兩棵樹，點(diǎn)表示電視塔所在的位置．小王沿著公路南側(cè)行走，當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)的位置時(shí)，觀察到樹恰好可以擋住電視塔（即點(diǎn)，，在同一直線上）．當(dāng)他繼續(xù)向前走180米到達(dá)點(diǎn)的位置時(shí)，觀察到樹也恰好擋住電視塔．假設(shè)，且公路的寬為60米，求電視塔到公路南側(cè)的距離．19．小軍和小麗準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高度，如圖，小軍站在點(diǎn)處時(shí)，他的影子頂端恰好與旗桿的影子頂端重合，小麗測得小軍的影子，小軍向前走到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，測得旗桿頂端的仰角為，已知小軍的身高，點(diǎn)，，，在同一個(gè)水平直線上，，，，求旗桿的高度．20．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1單位長度秒；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以1單位長度秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過中點(diǎn)處時(shí)，停止1秒，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，以為邊作正方形．設(shè)正方形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)時(shí)，求的長．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）直接寫出線段在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的最小值．專題11A字型相似模型1．已知：如圖，在中，，則下列等式成立的是A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，．故選：．2．如圖，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)．若，則下列說法錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【解答】解：、，，，，，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；、，，，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；、，，，，．，，，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；、，．故選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：．3．如圖，將一個(gè)大三角形剪成一個(gè)小三角形及一個(gè)梯形．若梯形上、下底的長分別為6，14，兩腰長為12，16，則剪出的小三角形是A． B． C． D．【解答】解：如圖，，，，，，，，，解得：，．故選：．4．如圖，中，，，，是邊上一點(diǎn)，作于，于，設(shè)，則A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，由勾股定理得，，，，，，，，，．故選：．二．填空題（共7小題）5．如圖，以線段為直徑的半圓上有點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，作于，交延長線于點(diǎn)，弦，交于點(diǎn)，若，，則的長為．【解答】解：設(shè)半圓圓心為，的半徑為，連接交于，，，是半圓的直徑，，，，，是的中位線，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去），，，，．故答案為：．6．如圖，直線，且每兩條相鄰平行線之間距離相等，點(diǎn)，，分別在直線，，上，分別交直線，于點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若的面積為4，則四邊形的面積為6．【解答】解：直線，且每兩條相鄰平行線之間距離相等，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，同理可證，，，，四邊形的面積為：．故答案為：6．7．如圖，已知的面積．在圖1中，若，則；在圖2中，若，則；在圖3中，若，則；按此規(guī)律，若，．【解答】解：對圖（2）進(jìn)行分析：可以標(biāo)出每條邊的所有分點(diǎn)的字母，從開始，逆時(shí)針為、、，可以得到△，且面積比為，也就可以得到，而△和△同底等高，面積相等，所以，，同樣道理，可得到，，，那么．根據(jù)上述分析可以得到，如果是的等分點(diǎn)，是的等分點(diǎn)，是的等分點(diǎn)，那么，當(dāng)時(shí)，則．8．如圖，、兩點(diǎn)分別在的邊、上，與不平行，當(dāng)滿足條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)，．【解答】解：滿足條件即可，為公共角，．故答案為：．9．如圖，、兩點(diǎn)分別在的邊、上，與不平行，當(dāng)滿足條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)，．【解答】解：滿足條件即可，為公共角，．故答案為：（答案不唯一）．10．如圖，已知的直徑為10，將一塊三角板如圖放置，使它的直角頂點(diǎn)在上，兩直角邊與交于點(diǎn)，，使得．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段2．【解答】解：是的直徑，，，，，，，，設(shè)，，的直徑為10，，在中，，，或（舍去），，，11．如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線折疊，折痕與交于點(diǎn)，若與相似，則的長為2.5或．【解答】解：在中，，，，，為的中點(diǎn)，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述：的長為2.5或，故答案為：2.5或．三．解答題（共9小題）12．如圖，中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，，交于點(diǎn)，求證：．【解答】證明：，，，，，，，，，，．13．如圖，為的直徑，、為上兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．若的半徑的長為3，，求的長．【解答】解：連接，如圖，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，弧?。?，．，，，，，，，，．，．在中，，．14．某公園一角有一盞地面射燈照在一棵樹上，樹的影子投在墻上．已知樹高，樹與墻之間的距離為，與射燈之間的距離為．求樹在墻上的影長．【解答】解：根據(jù)題意知，，則，故，即．解得．答：樹在墻上的影長為3米．15．如圖，，射線和線段互相垂直，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，，作并截取，連接并延長交射線于點(diǎn)．設(shè)，，求關(guān)于滿足的函數(shù)關(guān)系式．【解答】作于，，，在與中，，，，，，，，，，，即，，16．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度分別沿射線、射線運(yùn)動(dòng)，以為邊向內(nèi)部作正方形．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)，正方形與重疊部分的面積為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至上時(shí)，．（1）的長為；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍．【解答】解：（1）如下圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，即，解得，，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)交于，交于，如下圖，此時(shí)正方形的面積三角形的面積，由題知，同理（1）知，，，，又，，綜上，與的函數(shù)關(guān)系式為．17．如圖，已知小麗的身高是1.6米，她在路燈下的影長為2米，此時(shí)她與路燈的距離為3米，且，，求路燈的高度．【解答】解：，，，，，，，米，路燈的高度為4米．18．如圖，一條東西走向的筆直公路的北側(cè)，在間隔150米的點(diǎn)，處有兩棵樹，點(diǎn)表示電視塔所在的位置．小王沿著公路南側(cè)行走，當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)的位置時(shí)，觀察到樹恰好可以擋住電視塔（即點(diǎn)，，在同一直線上）．當(dāng)他繼續(xù)向前走180米到達(dá)點(diǎn)的位置時(shí)，觀察到樹也恰好擋住電視塔．假設(shè)，且公路的寬為60米，求電視塔到公路南側(cè)的距離．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，由題意得：米，米，米，，，，，，，米，電視塔到公路南側(cè)的距離為360米．19．小軍和小麗準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿的高度，如圖，小軍站在點(diǎn)處時(shí)，他的影子頂端恰好與旗桿的影子頂端重合，小麗測得小軍的影子，小軍向前走到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，測得旗桿頂端的仰角為，已知小軍的身高，點(diǎn)，，，在同一個(gè)水平直線上，，，，求旗桿的高度．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，設(shè)，在中，，，，，，，，，，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，，旗桿的高度為．20．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1單位長度秒；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以1單位長度秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過中點(diǎn)處時(shí)，停止1秒，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，以為邊作正方形．設(shè)正方形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)時(shí)，求的長．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）直接寫出線段在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的最小值．【解答】解：（1）點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所需的時(shí)間為（秒，點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)所需的時(shí)間為（秒，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所需的