《自動控制原理》課件9第九章

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合*第九章第九章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

現(xiàn)代控制理論中的線性系統(tǒng)理論運用狀態(tài)空間法描述輸入－狀態(tài)－輸出諸變量間的因果關系，不但反映了系統(tǒng)的輸入－輸出外部特性，而且揭示了系統(tǒng)內部的結構特性，是一種既適用于單輸入－輸出系統(tǒng)又適用于多輸入－多輸出系統(tǒng)，既可用于線性定常系統(tǒng)又可用于線性時變系統(tǒng)的有效分析和綜合方法。本章介紹線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法。21、系統(tǒng)數(shù)學描述的兩種基本類型

這里所謂的系統(tǒng)是指由一些相互制約的部分構成的整體，它可能是一個由反饋閉合的整體，也可能是某一控制裝置或受控對象。文章中所研究的系統(tǒng)均假定具有若干輸入端和輸出端，如圖所示。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（1）

3

圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)對環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出，二者分別用向量和表示，它們均為系統(tǒng)的外部變量。描述系統(tǒng)內部每個時刻所處狀況的變量為系統(tǒng)內部變量，以向量表示。系統(tǒng)的數(shù)學描述是反映系統(tǒng)變量間因果關系和變換關系的一種數(shù)學模型。系統(tǒng)的數(shù)學描述通常有兩種基本類型。一種是系統(tǒng)的外部描述，即輸入－輸出描述。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（2）

4

系統(tǒng)描述的另一種類型是內部描述，即狀態(tài)空間描述。這種描述是基于系統(tǒng)內部結構分析的一類數(shù)學模型，通常由兩個數(shù)學方程組成。一是反映系統(tǒng)內部變量和輸入變量間因果關系的數(shù)學表達式，常具有微分方程或差分方程的形式，稱為狀態(tài)方程。另一個是表征系統(tǒng)內部變量及變量和輸出變量間轉換關系的數(shù)學式，具有代數(shù)方程的形式，稱為輸出方程。

僅當在系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，兩種描述才具有等價關系。

一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（3）

52、系統(tǒng)描述中常用的基本概念

輸入和輸出：由外部施加到系統(tǒng)上的全部激勵稱為輸入，能從外部量測到的來自系統(tǒng)的信息稱為輸出。松弛性：若系統(tǒng)的輸出由輸入惟一確定，則稱系統(tǒng)在時刻是松弛的。因果性：若系統(tǒng)在時刻的輸出僅取決于在時刻和之前的輸入，而與時刻之后的輸入無關，則稱系統(tǒng)具有因果性或因果關系（causal）。線性：一個松弛系統(tǒng)當且僅當對于任何輸入和以及任何實數(shù)均有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（4）

6則該系統(tǒng)稱為線性的，否則稱為非線性的。上面兩式分別稱為可加性與齊次性。時不變性（定常性）：一個松弛系統(tǒng)當且僅當對于任何輸入和任何實數(shù)，均有則該系統(tǒng)稱為時不變的或定常的，否則稱為時變的。式中為位移算子。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（5）

73、系統(tǒng)狀態(tài)空間描述常用的基本概念

狀態(tài)和狀態(tài)變量：系統(tǒng)在時間域中的行為或運動信息的集合稱為狀態(tài)。確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選取不具有惟一性，同一個系統(tǒng)可能有多種不同的狀態(tài)變量選取方法。狀態(tài)變量常用符號表示。狀態(tài)向量：把描述系統(tǒng)狀態(tài)的個狀態(tài)變量看作向量的分量，即則向量稱為維狀態(tài)向量。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（6）

8

狀態(tài)空間:

以個狀態(tài)量作為基底所組成的維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中用一點來表示，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，并在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡。這種系統(tǒng)狀態(tài)向量在狀態(tài)空間中隨時間變化的軌跡稱為狀態(tài)軌跡或狀態(tài)軌線。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關系的一階微分方程組（連續(xù)時間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時間系統(tǒng)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內部狀態(tài)變化，其一般形式為或一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（7）

9

輸出方程：描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關系的代數(shù)方程稱為輸出方程，其一般形式為或狀態(tài)空間表達式：狀態(tài)方程與輸出方程的給合稱為狀態(tài)空間表達式，又稱動態(tài)方程，其一般形式為或一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（8）

10

自治系統(tǒng)：若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達中，函數(shù)和均不顯含時間或，則稱該系統(tǒng)為自治系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式的一般形式為線性系統(tǒng)：若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式中，和均是線性函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分程或一階向量線性差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（9）

或11線性連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式為對于線性離散時間系統(tǒng)，常取（為采樣周期），其狀態(tài)空間表達式的一般形式可寫為若狀態(tài)、輸入、輸出的維數(shù)分別為則稱矩陣及為系統(tǒng)矩陣或狀態(tài)矩陣或系數(shù)矩陣，稱矩陣及為控制矩陣或輸入矩陣，稱矩陣及為觀測矩陣或輸出矩陣，一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（10）

12稱矩陣及為前饋矩陣或輸入輸出矩陣。線性定常系統(tǒng)：在線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式中，若系數(shù)矩陣或的各元素都是常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，否則為線性時變系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式為

當輸出方程中時，系統(tǒng)稱為絕對固有系統(tǒng)，否則稱為固有系統(tǒng)。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（11）

或13

線性系統(tǒng)的結構圖：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式常用結構圖表示。線性連續(xù)時間系統(tǒng)的結構圖如下左圖所示，線性離散時間系統(tǒng)的結構圖如下右圖所示。每一方塊的輸入－輸出關系規(guī)定為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（12）

14

狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間分析法的優(yōu)點是便于采用向量、矩陣記號簡化數(shù)學描述，便于在數(shù)字機上求解，容易考慮初始條件，能了解系統(tǒng)內部狀態(tài)的變化特性，適用于描述時變、非線性、連續(xù)、離散、隨機、多變量等各類系統(tǒng)，便于應用現(xiàn)代設計方法實現(xiàn)最優(yōu)控制、自適應控制等。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（13）

154、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立

建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種：一直接根據系統(tǒng)的機理建立相應的微分方程或差分方程，繼而選擇有關的物理量作為狀態(tài)變量，從而導出其狀態(tài)空間表達式；二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學模型經過轉化而得到狀態(tài)空間表達式。（1）根據系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式通過例題來介紹根據系統(tǒng)機理建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的方法。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（14）

16解：根據電路定律可列寫如下方程：電路輸出量為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（15）

17例：試列寫如下圖所示RLC網絡的電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應的狀態(tài)空間表達式，并就所選狀態(tài)變量間的關系進行討論。1）設狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為輸出方程為其向量－矩陣形式為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（16）

18簡記為式中2）設狀態(tài)變量，則有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（17）

193）設狀態(tài)變量，則可見，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式不具有惟一性。選取不同的狀態(tài)變量，便會有不同的狀態(tài)空間表達式，但它們都了同一系統(tǒng)?？梢酝茢?，描述同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間之間一定存在著某種線性變換關系。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（18）

20現(xiàn)研究本例題中兩組狀態(tài)變量之間關系。設，則有其相應的向量－矩陣形式為其中以上說明只要令，為非奇異變換矩陣，便可將變換為。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（19）

21（2）由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式按系統(tǒng)輸入量中是含有導數(shù)項來分別研究。1）系統(tǒng)輸入量中不含導數(shù)項。這種單輸入－單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為由于給定個初值及的時，可惟一確定時系統(tǒng)的行為，可選取個狀態(tài)變量為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（20）

22故上式可化為其向量－矩陣形式為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（21）

23上式中按上式繪制的結構圖稱為狀態(tài)變量圖，見下張圖。每個積分器的輸出都是對應的狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由各積分器的輸入－輸出關系確定，輸出方程在輸出端獲得。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（22）

24一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（23）

252）系統(tǒng)輸入量中含有導數(shù)項。這種單輸入－單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為一般輸入導數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)。首先研究的情況。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導數(shù)項，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（24）

26其展開式為式中是個待定常數(shù)。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（25）

27由上式的第一個方程得輸出方程其余可得個狀態(tài)方程對求導數(shù)有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（26）

28將均以及的各階導數(shù)表示，經整理可得

令上式中的各階導數(shù)項的系數(shù)為零，可確定各值一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（27）

29記故則向量－矩陣形式的動態(tài)方程為式中一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（28）

30上式的狀態(tài)變量圖見下圖。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（29）

31當時，我們可以令上述公式中的得到所需要的結果，也可按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量。設故有個狀態(tài)方程，對求導數(shù)且考慮前面，經整理有則時的動態(tài)方程為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（30）

32上式中一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（31）

33解：設狀態(tài)變量故有對求導數(shù)且考慮及系統(tǒng)微分方程有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（32）

34例：設二階系統(tǒng)微分方程為

試求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式。令項的系數(shù)為零可得故系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（33）

35（3）由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式上面2）所對應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為應用綜合除法有式中是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當?shù)姆帜复螖?shù)大于分子次數(shù)時，，是嚴格有理真分式，其系數(shù)由綜合除法得到為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（34）

36下面介紹由導出幾種標準形式動態(tài)方程的方法。1）串聯(lián)分解的情況。將分解為兩部分相串聯(lián)。如下張圖所示，為中間變量，應滿足一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（35）

37選取狀態(tài)變量則狀態(tài)方程為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（36）38輸出方程為其向量－矩陣形式的動態(tài)方程為式中上述陣又稱友矩陣，若狀態(tài)方程中的具有這種形式則稱為可控標準型。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（37）

39當時，的形式不變，。當時，不變，。串聯(lián)分解時的可控標準型狀態(tài)變量圖如下圖所示。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（38）

40當時，若按前述方法選取狀態(tài)變量，則系統(tǒng)的矩陣為此處陣是友矩陣的轉置。若動態(tài)方程中的具有這種形式，則稱為可觀測標準型。可見，可控標準型與可觀測標準型的各矩陣之間存在如下關系（對偶關系）：一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（39）

412）只含單實極點時的情況。此時除了可化為上述可控標準型或可觀測標準型動態(tài)方程以外，還可化為對角形動態(tài)方程，其陣是一個對角陣。設可分解為則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和而，為在極點處的留數(shù)，且有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（40）

42若令狀態(tài)變量其反變換結果為展開得一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（41）

43其向量－矩陣形式為其狀態(tài)變量圖如下張圖（a）所示。若令狀態(tài)變量則一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（42）

44一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（43）

45對角形態(tài)方程的狀態(tài)變量圖進行反變換并展開有其向量－矩陣形式為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（44）

46狀態(tài)變量圖如前圖（b）所示。顯見兩者之間存在對偶關系。3）含重實極點時的情況。當傳遞函數(shù)除含單實極點之外含有重實極點時，不僅可化為可控、可觀測標準型，還可化約當標準型動態(tài)方程，其陣是一個含約當塊的矩陣。設可分解為則傳遞函數(shù)可展成下列部分分式之和：其狀態(tài)變量的選取方法與只含單實極點時相同。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（45）

47可分別得出向量－矩陣形式的動態(tài)方程：

一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（46）

48可見兩者之間也存在對偶關系。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（47）

495、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

（1）齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程稱為齊次狀態(tài)方程，通常采用冪級數(shù)法和拉普拉斯變法求解。1）冪級數(shù)法設上述狀態(tài)方程式的解是的向量冪級數(shù)式中都是維向量，則一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（48）

50令上式等號兩邊的同次項的系數(shù)相等，則有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（49）

51且，故定義則稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù)。由于由轉移而來，對于線性定常系統(tǒng)，又稱為狀態(tài)轉移矩陣，記為，即一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（50）

522）拉普拉斯變換法將方程取拉氏變換有則進行拉氏反變換有與前面相比有這里給出了的閉合形式，說明了所示級數(shù)的收斂性。從上述分析可知，求解齊次狀態(tài)方程的問題，就是計算狀態(tài)方程轉移矩陣的問題，因而有必要研究的運算性質。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（51）

53（2）狀態(tài)轉移矩陣的運算性質重寫狀態(tài)轉移矩陣的冪級數(shù)展開式具有如下運算性質：

1）

2）

3）

4），

5）

6）一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（52）

547）

8）若則；若，則

9）若為的狀態(tài)轉移矩陣，則引入非奇異變換后的狀態(tài)轉移矩陣為

10）兩種常見的狀態(tài)轉移矩陣.設，即為對角陣，且具有互異元素，則一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（53）

55設陣為約當陣

則用冪級數(shù)展開式即可證明上式。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（54）

56解：由于本例是線性定常系統(tǒng)，故狀態(tài)轉移矩陣可寫作此題中因而有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（55）

57例1：設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉移矩陣及狀態(tài)方程的解。解：用拉氏變換求解一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（56）

58狀態(tài)方程的解為例2：設系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。狀態(tài)方程的解為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（57）

59（3）非奇次狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程稱為非奇次狀態(tài)方程，有如下兩種解法：1）積分法由上式可得由于積分可得一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（58）

60式中第一項是對初始狀態(tài)的響應，第二項是對輸入作用的響應。若取作為初始時刻，則有2）拉普拉斯變換法將方程兩端取拉氏變換，有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（59）

61進行拉氏反變換有由拉氏變換卷積定理在此將視為，將視為，則有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（60）

62解：由于，根據前面分析可得由前例已求得一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（61）

63上式又可表示為有時利用此式求解更為方便。例：系統(tǒng)狀態(tài)方程為且，試求在作用下狀態(tài)方程的解。故一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（62）

646、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

對于多輸入－多輸出系統(tǒng)，需要討論傳遞函數(shù)矩陣。（1）定義及表達式初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關系稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞矩陣。設系統(tǒng)動態(tài)方程為令初始條件為零，進行拉氏變換，有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（63）

65則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達式為若輸入為維向量，輸出為維向量，則為矩陣。輸出式的展開式為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（64）

66例：已知系統(tǒng)動態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞矩陣。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（65）

67解：已知故一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（66）

68（2）開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣設多輸入－多輸出系統(tǒng)結構圖如下所示。圖中分別為輸入、輸出、反饋、偏差向量；分別為前向通路和反饋通路的傳遞矩陣。由圖可知一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（67）

69

定義偏差向量至向量之間的傳遞矩陣為開環(huán)傳遞矩陣，它描述了至之間的傳遞關系。開環(huán)傳遞矩陣等于向量傳遞過程中所有部件傳遞矩陣的乘積，其相乘順序與傳遞過程相反，而且由于是矩陣相乘，順序不能任意交換。

由于則一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（68）

70

定義輸入向量至輸出向量之間的傳遞矩陣為閉環(huán)傳遞矩陣，記為，則它描述了至之間的傳遞關系。由于則

定義輸入向量至偏差向量之間的傳遞矩陣為偏差傳遞矩陣，記為，則它描述了至之間的傳遞關系。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（69）

71（3）解耦系統(tǒng)的傳遞矩陣一般多輸入－多輸出系統(tǒng)的傳遞矩陣不是對角陣，每一個輸入量將影響所有輸出量，而每一個輸出量也都會受到所有輸入量的影響。這種系統(tǒng)稱為耦合系統(tǒng)，其控制方式稱為耦合控制。工程中常希望實現(xiàn)某一輸出量僅受某一輸入量的控制，這種控制方式稱為解耦控制，其相應的系統(tǒng)稱為解耦系統(tǒng)。解耦系統(tǒng)的輸入向量和輸出向量必有相同的維數(shù)，傳遞矩陣必為對角陣，即一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（70）

72可以看出，解耦系統(tǒng)是由個獨立的單輸入－單輸出系統(tǒng)組成，為了控制每個輸出量，不得為零，即解耦系統(tǒng)的對角化傳遞矩陣必須是非奇異的。在系統(tǒng)中引入適當?shù)男Ｕh(huán)節(jié)使傳遞矩陣對角化，稱為解耦。下面僅介紹適用于線性定常連續(xù)系統(tǒng)的兩種簡單解耦方法。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（71）

731）用串聯(lián)補償器實現(xiàn)解耦。系統(tǒng)結構圖如圖所示。未引入時，原系統(tǒng)為耦合系統(tǒng)，引入后的閉環(huán)傳遞矩陣為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（72）

74以左乘上式兩端，經整理有式中為所希望的對角陣，陣中各元素與性能指標要求有關。在為對角陣的條件下，仍為對角陣，故應為對角陣，且有按上式設計串聯(lián)補償器可使系統(tǒng)解耦。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（73）

752）用前饋補償器實現(xiàn)解耦。系統(tǒng)結構如圖所示，的作用是對輸入進行適當變換以實現(xiàn)解耦。未引入時原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞矩陣為引入后解耦系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞矩陣為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（74）

76由上式可得按此設計前饋補償器可使系統(tǒng)解耦。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（75）

777、線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立及其解

（1）由差分方程建立動態(tài)方程單輸入－單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為式中，表示時刻；為采樣周期；分別為時刻的輸出量和輸入量?？紤]初始條件為零時的Z變換關系有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（83）

78對方程兩端取變換并加以整理可得

稱為脈沖傳遞函數(shù)，連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立方法可用于離散系統(tǒng)。在的串聯(lián)分解中，引入中間變量則有一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（84）

79設則一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（85）

80利用Z反變換關系動態(tài)方程為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（86）

81向量－矩陣形式為簡記為式中為友矩陣；為可控標準型。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（87）

82線性定常多輸入－多輸出離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為

（2）定常連續(xù)動態(tài)方程的離散化已知定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程x’=Ax+bu在及作用下的解為令，則；令，則；在區(qū)間內，，一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（88）

83于是其解化為記為了便于計算，引入變量置換,令，則故離散化狀態(tài)方程為式中與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的關系為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（89）84離散化系統(tǒng)的輸出方程仍為（3）定常離散動態(tài)方程的解求解離散動態(tài)方程的方法有遞推法和z變換法，這里只介紹常用的遞推法。令離散化狀態(tài)方程中的，可得到時刻的狀態(tài)，即一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（90）

85上式為離散化狀態(tài)方程的解，又稱離散化狀態(tài)轉移方程。當時有稱為離散化系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣。一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（91）

86輸出方程為對于離散狀態(tài)方程，其解為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（92）

87例：已知連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設，試求相應的離散時間狀態(tài)方程。

一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（93）

88解：由前例已知該連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（94）

89

現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸入和輸出構成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內部變量，這就存在著系統(tǒng)內的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運動都可以由輸入來影響和控制而由任意的初態(tài)達到原點，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切地是狀態(tài)可控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控。相應地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的，簡稱為系統(tǒng)可觀測。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（1）

90例：給定系統(tǒng)的動態(tài)方程為將其表示為標量方程組的形式，有二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（2）

91這表明狀態(tài)變量和都可通過選擇控制量而由始點達到原點，因而系統(tǒng)完全可控。但是，輸出只能反映狀態(tài)變量，而與狀態(tài)變量既無直接關系也無間接關系，所以系統(tǒng)是不完全可觀測的。例：下圖所示網絡，設，輸出。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（3）92當且初始狀態(tài)時，則不論將輸入取為何種形式，對于所有，只能是，不可能做到。也就是說，輸入能夠做到使和同時轉移到任意相同的目標值，但不能將和分別轉移到不同的目標值。這表明此電路不完全可控，簡稱電路不可控。由于，故系統(tǒng)可觀測。1、可控性

考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（4）

93其中為維狀態(tài)向量；為維輸入向量；為時間定義區(qū)間；和分別為和矩陣?，F(xiàn)對狀態(tài)可控、系統(tǒng)可控和不可控分別定義如下：狀態(tài)可控：對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果對取定初始時刻的一個非零初始狀態(tài)，存在一個時刻和一個無約束的容許控制，使狀態(tài)由轉移到時的，則稱此是在時刻可控的。

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（5）

94

系統(tǒng)可控：對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時刻可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。系統(tǒng)不完全可控：對于上式所示線性時變系統(tǒng)，取定初始時刻，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。可控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性特性。必須是容許控制，即的每個分量均在時間區(qū)間上平方可積，即二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（6）

95此外，對于線性時變系統(tǒng)，其可控性與初始時刻的選取有關，是相對于中的一個取定時刻來定義的。而對于線性定常系統(tǒng)，其可控性與初始時刻的選取無關。狀態(tài)與系統(tǒng)可達：若存在能將狀態(tài)轉移到的控制作用，則稱狀態(tài)是時刻可達的。若對所有時刻都是可達的，則稱狀態(tài)為完全可達或一致可達。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是時刻可達的，則稱該系統(tǒng)是時刻狀態(tài)完全可達的，或簡稱該系統(tǒng)是時刻可達的。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達性是等價的。但對于離散系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，嚴格地說兩者是不等價的。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（7）962、可觀測性

可觀測性表征狀態(tài)可由輸出完全反映的性能，所以應同時考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程其中，分別為的滿足狀態(tài)方程解的存在惟一性條件的時變矩陣。狀態(tài)方程的解為

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（8）

97其中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。將上式代入輸出方程，可得輸出響應為若定義則輸出響應可寫為這表明可觀測性即是可由完全估計的性能。由于和可取任意值，所以這又等價于研究時由來估計的可能性，即研究零輸入方程二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（9）

98的可觀測性。輸出響應成為下面給出系統(tǒng)可觀測性的有關定義。系統(tǒng)完全可觀測：對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時刻，存在一個有限時刻，對于所有，系統(tǒng)的輸出能惟一確定狀態(tài)向量的初值，則稱系統(tǒng)在內是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在內完全可觀測。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（10）

99

系統(tǒng)不可觀測：對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時刻，存在一個有限時刻，對于所有，系統(tǒng)的輸出不能惟一確定所有狀態(tài)的初值，即至少有一個狀態(tài)的初值不能被確定，則稱系統(tǒng)在時間區(qū)間內是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。3、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

其中為維狀態(tài)向量；為維輸入向量；和分別為和常陣。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（11）

100下面根據和給出系統(tǒng)可控性的常用判據。格拉姆矩陣判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，存在時刻，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。格拉姆矩陣判據主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據是直接由矩陣和判斷可控性的秩判據。凱萊－哈密頓定理設階矩陣的特征多項式為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（12）

101則滿足其特征方程，即推論1

矩陣的次冪可表示為的階多項式推論2

矩陣指數(shù)可表示為的階多項式秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是其中為矩陣的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（13）102解：該橋式電路的微分方程為選取狀態(tài)變量，消去，可得狀態(tài)方程二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（14）

103例：橋式網絡如圖所示，試用可控性判據判斷其可控性。其可控性矩陣為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（15）

104當時，，系統(tǒng)可控。當電橋處于平衡狀態(tài)，即時，及成立，這時狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（16）

105可控性矩陣為，系統(tǒng)不可控，不能控制，是不可控狀態(tài)變量。例：判別下列系統(tǒng)的可控性：二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（17）

106解可控性判別矩陣為顯見矩陣的第二行與第三行線性相關，，系統(tǒng)不可控。

PBH秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，對矩陣的所有特征值，均成立，或等價地表示為即和是左互質的。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（18）

107由于這一判據是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可廣泛應用性，故稱為PBH秩判據。例：已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判別系統(tǒng)的可控性。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（19）

108解：根據狀態(tài)方程可寫出考慮到的特征值為，所以只需對它們來檢驗上述矩陣的秩。通過計算知，當時，有二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（20）

109當時，有當時，有計算結果表明，系統(tǒng)完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（21）

110PBH特征向量判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，不能有與的所有列相正交的非零左特征向量。即對的任一特征值，使同時滿足的特征向量。一般地說，PBH特征向量判據主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復頻域分析中。

約當規(guī)范型判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件分兩種情況：1）矩陣的特征值是兩兩相異的。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（22）

111由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷蔷€規(guī)范型則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素全為零的行。2）矩陣的特征值為，且。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（23）

112由線性變換化為約當規(guī)范型其中二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（24）

113而，由的最后一行所組成的矩陣對均為行線性無關。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（25）

1144、輸出可控性

如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的輸出可控性。輸出可控性：若在有限時間間隔內，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)，能使任意初始輸出轉移到任意最終輸出，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱輸出可控。

輸出可控性判據設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（26）115式中，為維輸入向量；為維輸出向量；為維狀態(tài)向量。狀態(tài)方程的解為則輸出不失一般性，令，有二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（27）

116令，則二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（28）

117令為矩陣，稱為輸出一矩陣。輸出可控的充分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)，即注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者沒有什么必然的聯(lián)系。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（29）

118

解：系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為，故狀態(tài)不完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（30）

119例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。輸出可控性矩陣為，輸出可控。5、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據

考慮輸入時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程

其中，為維狀態(tài)向量；為維輸出向量；和分別為和的常值矩陣。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（31）

120

格拉姆矩陣判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，存在有限時刻，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。

秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（32）

121或上兩式中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測性判別陣，簡稱可觀測性陣。例：判斷下列系統(tǒng)的可觀測性：

1）

2）二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（33）

122解：1）故系統(tǒng)不可觀測。2）故系統(tǒng)可觀測。

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（34）

123

PHB秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，對矩陣的所有特征值，均有或等價地表示為也即和是右互質的。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（35）

124PBH特征向量判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是，沒有與的所有行相正交的非零右特征向量。即對的任一特征值，使同時滿足的特征向量。約當規(guī)范型判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件分兩種情況：1）當矩陣的特征值兩兩相異時，由線性變換導出的對角線規(guī)范型為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（36）

125式中不包含元素全為零的列。2）當矩陣的特征值為，且時，對原式進行線性變換導出的約當規(guī)范型為其中二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（37）

126二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（38）

127且，由的第一列所組成的矩陣對均為列線性無關。例：已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為試判定系統(tǒng)的可觀測性。

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（39）

128解：顯然，此規(guī)范型中不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)為完全可觀測。6、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測性

（1）線性離散系統(tǒng)的可控性和可達性設線性時變離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中為離散時間定義區(qū)間。如果對初始時刻和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)，都存在時刻，和對應的控制，使得，則稱系統(tǒng)在時刻為完全可控。對應地，如果對初始時刻和初始狀態(tài)，存在時刻和相應的控制，使可為狀態(tài)空間中的任意非零點，則稱系統(tǒng)在時刻為完全可達。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（40）

129

對于離散系統(tǒng)，不管是時變的還是定常的，其可控性和可達性只有在一定條件下才是等價的。其等價的條件分別為1）線性離散時間系統(tǒng)的可控性和可達性為等價的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣對所有為非奇異；2）線性定常離散時間系統(tǒng)可控性和可達性等價的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣為非奇異。3）如果離散時間系統(tǒng)是相應連續(xù)時間系統(tǒng)的時間離散化模型，則其可控性和可達性必是等價的。

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（41）

130

線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據設單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中為維狀態(tài)向量；為標量輸入；為非奇異矩陣。狀態(tài)方程的解為根據可控性定義，假定時，，將上式兩端左乘，則有二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（42）

131記稱為可控性矩陣。由線性方程組解的存在定理可知，當矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等時，方程組有解且為惟一解，否則無解。在為任意的情況下，使方程線有解的充分必要條件是矩陣滿秩，即二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（43）

132或矩陣的行列式不為零或矩陣是非奇異的。由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣相乘其秩不變，故交換矩陣的列，且記為，其秩也不變，故有在判斷系統(tǒng)的可控性時，使用上式比較方便。上面四式即為可控性判據。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（44）

133

當時，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意轉移至的控制。以上研究了終態(tài)為的情況，若令終態(tài)為任意給定狀態(tài)，則狀態(tài)方程的解變?yōu)閷⑸鲜絻啥俗蟪耍卸?、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（45）

134當滿秩時，前式左端只不過是任一給定的另一初態(tài)，其狀態(tài)可控性條件可用以上推導方法得出完全相同的結論。若令，上述結論同樣成立?？梢姡敒榉瞧娈愱嚂r，系統(tǒng)的可控性和可達性是等價的。上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為所謂可控性問題，即是能否求出無約束控制向量序列，使系統(tǒng)能從任意初態(tài)轉移至。上式的解為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（46）

135令，且方程兩端左乘，有記為矩陣，由子列向量構成的控制列向量是維的。上式含個方程，但有個待求的控制量。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（47）

136由于初態(tài)可任意給定，根據解存在定理，矩陣的秩為時，方程組才有解。于是多輸入線性離散系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是或或或或二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（48）

137例：雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷可控性，并研究使的可能性。解：

二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（49）

138顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系統(tǒng)可控。一定能求得控制序列使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)三步內轉移到原點。由可得設初始狀態(tài)為，由于二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（50）

139可求得，在一步內使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉移到原點。設初始狀態(tài)，也可使系統(tǒng)在一步內由初始狀態(tài)轉移到原點，但。本例不能使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)一步內轉移到原點。（2）線性離散系統(tǒng)的可觀測性設離散系統(tǒng)為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（51）

140若對初始時刻的任一非零初始狀態(tài)，都存在有限時刻，且可由上的輸出惟一地確定，則稱系統(tǒng)在時刻是完全可觀測的。

線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據設線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為其中為維狀態(tài)向量，為維輸出向量，其解為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（52）

141研究可觀測性問題時，均為已知，故不失一般性，可將動態(tài)方程簡化為對應的解為將寫成展開式二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（53）

142其向量－矩陣形式為令二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（54）

143

稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性矩陣，為矩陣。系統(tǒng)可觀充分必要條件為由于，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據常表示為（3）連續(xù)動態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測性一個可控的或可觀測的連續(xù)系統(tǒng)，當其離散化后并不一定能保持其可控性或可觀測性?，F(xiàn)舉例來說明。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（55）144

設連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程為由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標準型，故一定可控。根據可觀測性判據有故系統(tǒng)可觀測。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（56）

145系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（57）

146系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（58）

147離散化后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為當采樣周期時，可控性矩陣和可觀測性矩陣均出現(xiàn)零行，，系統(tǒng)不可控也不可觀測。這表明連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測時，若采樣周期選擇不當，對應的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測，也有可能既不可控又不可觀測。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀測，不管采樣周期如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可控或不可觀測的。二、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性（59）

1481、狀態(tài)空間表達式的線性變換

設系統(tǒng)動態(tài)方程為令式中為非奇異線性變換矩陣，它將變換為，變換后的動態(tài)方程為式中并稱為對系統(tǒng)進行變換。線性變換的目的在于使陣規(guī)范化，并不會改變系統(tǒng)的原有性質，故稱為等價變換。分析計算后，再引入反變換關系，得出最終結果。三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（1）

149下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關系。（1）化陣為對角型

1）設陣為任意形式的方陣，且有個互異實數(shù)特征值，則可由非奇異線性變換化為對角陣。

P陣由陣的實數(shù)特征向量組成三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（2）

150特征向量滿足2）若陣為友矩陣，且有個互異實數(shù)特征值，則下列的范德蒙特矩陣可使對角化：三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（3）

1513）設陣具有重實數(shù)特征值，其余為個互異實數(shù)特征值，但在求解時仍有個獨立實特征向量，則仍可使陣化為對角陣。

三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（4）

152式中是互異實數(shù)特征值對應的實特征向量。（2）化陣為約當陣1）設陣具有重實特征值，其余為個互異實特征值，但在求解時只有一個獨立實特征向量，只能化為約當陣。三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（5）

153

中虛線示出存在一個約當塊。式中是廣義實特征向量，滿足

是互異特征值對應的實特征向量。三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（6）

1542）設為友矩陣，具有重實特征值，且只有一個獨立實特征向量，則使約當化的為式中3）設陣具有五重實特征值，但有兩個獨立實特征向量，其余為個互異實特征值，陣約當化的可能形式是三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（7）

155三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（8）

156

中虛線示出存在兩上約當塊，其中（3）化可控系統(tǒng)為可控標準型在前面研究狀態(tài)空間表達式的建立問題時，曾得出單輸入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的可控標準型：三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（9）

157與該狀態(tài)方程對應的可控性矩陣是一個右下三角陣，其主對角線元素均為1，故，系統(tǒng)一定可控，這就是形如上式中的稱為可控標準型名稱的由來。其可控性矩陣形如三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（10）

158

一個可控系統(tǒng)，當不具有可控標準型，一定可以選擇適當?shù)淖儞Q化為可控標準型。設系統(tǒng)狀態(tài)方程為進行變換，即令變換為要求三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（11）

159

下面具體推導變換矩陣：設變換矩陣為根據陣變換要求，應滿足變換要求，有展開為三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（12）

160經整理有三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（13）

161由此可得變換矩陣又根據陣變換要求，應有即三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（14）

162

故該式表明是可控性矩陣的逆陣的最后一行。于是可得出變換矩陣的求法如下：

1）計算可控性矩陣；2）計算可控性矩陣的逆陣，設一般形式為3）取出的最后一行（即第行）構成行向量三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（15）

1634）構造陣5）便是將非標準型可控系統(tǒng)化為可控標準型的變換矩陣。2、對偶原理

在研究系統(tǒng)的可控性和可觀測性時，利用對偶原理常常帶來許多方便。三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（16）

164

設系統(tǒng)為，則系統(tǒng)為系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)。其動態(tài)方程分別為其中，均為維狀態(tài)向量；均為維向量；均為維向量。注意到系統(tǒng)與對偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。當為的對偶系統(tǒng)時，也是的對偶系統(tǒng)。不難驗證，系統(tǒng)的可控性矩陣與對偶系統(tǒng)可觀測性矩陣完全相同；三、線性定常系統(tǒng)的線性變換（17）

165系統(tǒng)的可觀測性矩陣與對偶系統(tǒng)的可控性矩陣完全相同。

應用對偶原理，把可觀測的單輸入－單輸出系統(tǒng)化為可觀測標準型的問題轉化