垂徑定理課件北師大版數學九年級下冊

*3.3垂徑定理第三章圓問題:趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數點后一位）.

探究一

如圖，AB

是⊙O

的一條弦，作直徑

CD，使CD⊥AB，垂足為

M.1垂徑定理及其推論ABOCDM(1)右圖是軸對稱圖形嗎？

如果是，其對稱軸是什么？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線，圓的對稱軸有無窮多條.連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點

A和點

B關于

CD對稱.ABOCDM合作證明圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.(2)你能發(fā)現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.ABOCDM證明：連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，

∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.ABOCDM垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，(條件)推導格式：你能用幾何語言表示嗎？定義總結∴AM=BM，

，.(結論)例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.·OABE解析：連接

OA.∴AB=2AE=16(cm).16

∵OE⊥AB，典例精析想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直.是不是，因為

AB，CD都不是直徑.OABCABOEABDCOEABOCDE一條直線：⑤平分弦所對的劣?、龠^圓心

②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧思考探索

上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論嗎？垂徑定理ABOCDM探究二

如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB

的直徑CD，交AB

于點M

．ABOCDM(1)這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.ABOCDM解：(1)連接

AO、BO，則

AO=BO.又∵AM=BM，∴∠AMO=∠BMO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).證明舉例由垂徑定理可得歸納總結垂徑定理的逆定理

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.·OABCD“不是直徑”這個條件能去掉嗎？

如果不能，請舉出反例.圓的兩條直徑是互相平分的.特別說明：垂徑定理的本質是：滿足其中任兩條，必定同時滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所

對的優(yōu)?。?）這條直線平分不是直徑的弦所

對的劣弧知二推三ABCDOhrd趙州橋中，弦長

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r

之間有以下關系：指圓心

O

到弦的距離

d+h=r數量關系總結垂徑定理往往轉化成應用勾股定理解直角三角形回顧導入解得R≈27.3.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如圖，過橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點

C，交弦

AB于點

D，則

CD=7.23.由垂徑定理，得

AD=AB=18.5，設⊙O的半徑為

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得

例2如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧

CD，點

O

是弧

CD

的圓心)，其中

CD=600m，E

為弧

CD

上的一點，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接

OC.●

OCDEF┗設這段彎路的半徑為

Rm,則

OF=(R-90)m.根據勾股定理，得解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.1.如圖

a、b，一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿_＿＿____cm.C圖b

DCBOADOAB圖a2或

12

指弦中點到弦所對的弧中點的距離練一練垂徑定理內容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.兩條輔助線：連半徑，作弦心距構造

Rt△

利用勾股定理計算或建立方程.基本圖形及變式圖形圓心到弦的距離1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或23.(朝陽區(qū)期末)

圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結構類型，它不僅力學性能好，且構造簡單、施工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為

1m

的圓，如圖所示，若水面寬

AB

=

0.8

m，求水的最大深度.AB0.8解：如圖，作

OC⊥AB于點

C，連接

OA，∴∠ACO

=

90