簡單復合函數(shù)的導數(shù)課件高二上學期數(shù)學人教A版2019選擇性

5.2導數(shù)的運算5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)1.理解復合函數(shù)的概念，掌握復合函數(shù)的求導法則；2.能用復合函數(shù)的求導法則求簡單復合函數(shù)的導數(shù).知識點1：復合函數(shù)的概念及求導法則

思考：該如何求函數(shù)y=ln(2x–1)的導數(shù)呢？因為函數(shù)y=ln(2x–1)不是由基本初等函數(shù)通過四則運算得到的，所以無法用現(xiàn)有的基本初等函數(shù)的求導公式直接求出它的導數(shù).分析：函數(shù)y=ln(2x–1)的特征：

y=f(u)=lnu復合y=f(u)=

f(g(x))=ln

(2x–1)復合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可表示成x

的函數(shù)那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù)，記作y=

f(g(x)).問題2：說說函數(shù)

y=sin2x

是由哪兩個函數(shù)復合而成的，并求出y=sin2x的導數(shù).函數(shù)y=sin2x由y=sinu和

u=2x

復合而成；以y′x表示y

對x

的導數(shù)，y′u表示y

對u

的導數(shù)，u′x表示u

對x

的導數(shù)；則y′x

=(sin2x)′=(2sinx·cosx)′=2[(sinx)′·cosx

+sinx·(cosx)′]=2[cosx·cosx

+sinx·(–sinx)]=2[cos2x·cosx

–sin2x)]=2cos2x；又y′u

=(sinu)′=cosu，u′x

=(2x)′=2，所以y′x=2cos2x=cosu·2=y′u·u′x

.一般地，對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=

f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導數(shù)間的關系為：y′x=y′u·u′x

即：y

對x

的導數(shù)等于y

對u

的導數(shù)與u

對x

的導數(shù)的乘積.歸納小結(jié)復合函數(shù)求導法則例1：求下列函數(shù)的導數(shù).（1）y=(3x+5)3；（2）y=e–0.05x+1；（3）y=ln(2x–1).典例剖析解：（1）函數(shù)y=(3x+5)3可看做函數(shù)y=u3和

u=3x+5的復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)求導法則得：y′x=y′u·u′x

=(u3)′·(3x+5)′=3u2×3=9(3x+5)2；

（2）函數(shù)y=e–0.05x+1可看做函數(shù)y=eu

和

u=–0.05x+1的復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)求導法則得：y′x=(eu)′·(–0.05x+1)′=–0.05eu=–0.05e–0.05x+1；

歸納小結(jié)求復合函數(shù)導數(shù)的步驟練一練1.求下列函數(shù)的導數(shù).（1）y=log2(2x+1)；（2）y=22x+1

.

（2）函數(shù)y=22x+1可看做函數(shù)y=2u

和

u=2x+1的復合函數(shù)，∴y′x=(2u)′·(2x+1)′=2·2u·ln2=2·22x+1·ln2=22x+2·ln2.

典例剖析

它表示當t=3s時，彈簧振子