2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬試卷十四（含答案）

2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬題(十四)

(滿分100分，測(cè)試時(shí)間：60分鐘)

一、填空題(每小題10分)

1.整數(shù)p,q滿足p+q=218,/+「％+q=。有整數(shù)根，則滿足這樣條件的整數(shù)對(duì)

(p,q)的個(gè)數(shù)為.

2.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z2,Z3,已知寒1=1+2"則△ABC的面積與

其最長(zhǎng)邊長(zhǎng)的平方的比等于.

3.不等式彳+；>1且xN3,yN3的正整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)是.

4.令斯表示距離赤最近的正整數(shù)，已知2+上+…+白2020,則n的值等于

5.有種方式可以將正整數(shù)集合N+分拆成兩個(gè)不相交的子集的并，使得每個(gè)子集

都不包含無(wú)窮等差數(shù)列.

6.設(shè)數(shù)列｛即｝滿足%=6,an+i=『%?，則以下幾個(gè)結(jié)論中：

3

(l)Vn€N*,an<(n+I);

(2)VneN*,an消2020;

(3)3nGW*.a”為完全平方數(shù)；

(4”n€N*,與為完全立方數(shù).

正確的有.

二、解答題(每小題20分)

7.設(shè)4(%,。2,…，。2。。。)是一個(gè)整數(shù)數(shù)列，其中由e[-1000,1000].^+a2+-+

。2000=1，求證：存在4的一個(gè)非空子數(shù)列，其和為零.

3

8.設(shè)出=1,即+T=(l+；)3(n+an),neN*.求證：(l)an=n(l+Sfc=ip)；

(2)nk(l+$<3.

答案

1.【答案】4

【分析】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)方程的兩個(gè)根為與，x2>(Xi<%2)'由韋達(dá)定理結(jié)合條件可得-01+》2)+/X2=218,

整理成(X1—l)(x2-1)=219,即可分析得結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)方程的兩個(gè)根為Xi，x2,出40)，

所以由韋達(dá)定理得｛憂靠f

故兩根都是整數(shù)，

再由p+q=218,可得一Qi+x2)+xrx2=218,

則(向-1)3-1)=219,

即Cq-l)(x2-1)=1X219=3X73=(-1)x(-219)=(-3)x(-73),

易知結(jié)論為4.

故答案為4.

2.【答案】1

【解析】由復(fù)數(shù)除法的幾何意義可知濘1=l+2i的輔角主值表示以Z1為頂點(diǎn)，以而，存

為邊的角，把AABC對(duì)應(yīng)的Z1移到坐標(biāo)頂點(diǎn)，再利用相似的三角形相關(guān)比不變性質(zhì)，構(gòu)造一

個(gè)邊長(zhǎng)落為1的三角形，進(jìn)而易求.

3.【答案】5

【分析】

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用不等式的性質(zhì)，得(x-2)(y—2)<4,即可求解.

【解答】

解：因?yàn)椋ブ?,y>3,

不等式：+；>l=2y+2x>xy

u>xy-2x—2y<0QQ-2)(y—2)<4,

所以。一2,y—2)可以是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),

所以滿足不等式彳+三>1且x>3,y>3的正整數(shù)解?y)為(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),

xy

故正整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)是5.

4.【答案】1021110

【分析】

本題考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題.

分別求出a2>a3,a4,a5,a6,a7的值，可得a2,即按照這樣的規(guī)律取值：2個(gè)

1,4個(gè)2,6個(gè)3,…，2k個(gè)k,從而可求和.

【解答】

解：由題意可得%=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,??-,

即的,a2,an按照這樣的規(guī)律取值：2個(gè)1,4個(gè)2,6個(gè)3,…，2k個(gè)匕…,

所以有(：+：)+(之+之+:+^)+(g+…+?)+"=2020=>2+2+…+2=2020.

共有1010組2構(gòu)成等式，故n=2+4+…+2x1010=1021110.

5.【答案】無(wú)窮多

【解析】將正整數(shù)集合N+分拆為48,B=N+/A任取一正整數(shù)放入集合B中，設(shè)為元素a,

以此為初始元素開(kāi)始構(gòu)成集合B,a+2作為集合8中的第二個(gè)元素，a+5作為第三個(gè)，間隔

的距離以每次在前一個(gè)長(zhǎng)度上再增加一個(gè)長(zhǎng)度為基準(zhǔn)……依此類(lèi)推，得到的集合B則是滿足

題意的一種分法，由于a的任意性，故有無(wú)窮多利L

6.【答案】(1)(2)

【解析】利用數(shù)列的遞推方法，可求得的=6,an+1=彳即的通項(xiàng)公式為即+1=n(n4-

l)(n+2),

顯然可得(1)和(2)成立.下面考慮(3)(4)不成立.若(3)成立，則存在一個(gè)正整數(shù)m,滿足n(n+

l)(n+2)=巾2.由于n+1與n，n+2均互質(zhì)，則有n+1與n(n+2)必均是完全平方數(shù)，但

是由于小，在任意兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間不存在其他完全平方數(shù)，故無(wú)論n為何值，an

都不可能是完全平方數(shù)洞理，即也不可能是完全立方數(shù).

7.【答案】可以采用構(gòu)造法，若存在一項(xiàng)為0,則命題成立;若任一項(xiàng)均不為0,則任取整數(shù)

數(shù)列4中一項(xiàng)a作為瓦.令S]=瓦，不妨設(shè)瓦>0,瓦€[1,1000].若瓦=1,則余下的項(xiàng)的和

滿足題意.若瓦>2,由于%+a2+.??+a2000=1,故余下的項(xiàng)中必存在取值為負(fù)整數(shù)的項(xiàng)，

從中任取一項(xiàng)作為慶6[-1000,-l].^S2=瓦+⑦，則526[一999,999]若52>0,則一定

存在負(fù)整數(shù)項(xiàng)，令其為壇.若$2<0，則必存在正整數(shù)項(xiàng)，令其為以.令S3=&+與+?，依

此類(lèi)推，若S>0,則必有后續(xù)數(shù)為負(fù).若S2<0,則必有后續(xù)數(shù)為正.如此，若Si，S2,…,

S1999有某值為0,則命題成立;若有某值為1，則后續(xù)數(shù)和為0,命題成立.若無(wú)0,1,貝52,

…，S1999e[-999,-1]U[2,1000],且由抽屜原理和16Z可知必存在Si=廿，i*j,i,je

{1,2,…,1999},二者之差則是符合題意的結(jié)論.

8.【答案】⑴由歸納法易得.或令“=翁，則%+i=%+今，由累加法知垢=1+1

即廝=￡(1+2出近.

1+E*--

(2)因?yàn)橐?fc3(l+注注)=fc3+fc3所以鬻=i+/W

1+s

幾(1+7+1nM

fl^ai

fc=l