2023-2024學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

22

1.雙曲線工-匕=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

32

A.（0,±1）B.（±1,0）C.（0,+V5）D.（±>/5,0）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得",6,然后根據(jù)，2=/+從可得c,最后得出結(jié)果.

【詳解】由題可知：雙曲線的焦點(diǎn)在*軸上，旦a=5b=6,

所以c?-a2+b2=>c=舊

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土石,0）

故選：D

2.拋物線/=_2x的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-\B.x-1C.x=—D.x=—

22

【正確答案】D

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦點(diǎn)位置以及P的值，計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為好=一2》，

則其焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且p=l,

則其準(zhǔn)線方程為x=g,

2

故選：D.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

3.等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)是耳（-6,0）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

AX2y2[R「—]y2x2DX2y2]

A.------------=1o.------------=1C.------------=1D.------------=1

999918181818

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等軸雙曲線，可得a=b,根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，可求得c,值，根據(jù)“，b,c的關(guān)系,

即可得答案.

【詳解】???等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)為耳（-6,0）,.?.c=6,且。=6,

又,2=/+/,

；.2/=36，即/=18，

.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕=1.

1818

故選：D

4.已知拋物線Y=2分（p>0）上一點(diǎn)加（加,1）到焦點(diǎn)的距離為：，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,1）B.加C.加D.0

【正確答案】A

【分析】由拋物線的定義可求P的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：拋物線/=2切（°>0）上一點(diǎn)"（〃?」）到焦點(diǎn)的距離為

由拋物線的定義知加+&g,即"勺|，所以P=l，所以勺;，

,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故選：A.

2

5.若點(diǎn)P（l,2）在雙曲線?一/二儂〉。）的一條漸近線上，則它的離心率為（）

a

A.當(dāng)B.2C.D.2.V5

【正確答案】C

【分析】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線的漸近線方程，求出。的值，可得出c的值，由此可求得

雙曲線的離心率.

【詳解】雙曲線=-/=［的漸近線方程夕=±±，

aza

/、v211

因?yàn)辄c(diǎn)尸（1,2）在雙曲線1-^=1的一條漸近線上，所以2='所以of則

c=y/a2+1=,

2

好

因此，該雙曲線的離心率為0=￡==-=右.

a2

2

故選：C.

6.下列四個數(shù)中，屬于數(shù)列55+1）｝中的一項(xiàng)是（）

A.380B.392C.321D.232

【正確答案】A

【分析】分別令選項(xiàng)中的數(shù)值等于〃(〃+D，求出"是自然數(shù)時的這一項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】由題意，令"("+1)=380,解得〃=19,所以A是正確的；

再令“(”+1)=392,〃(〃+1)=321,〃(〃+1)=232均無整數(shù)解，所以B、C、D都不正確，

故選：A.

7.已知等比數(shù)列｛%｝,滿足log2a2+1暇％3=1>且的6。刈=16,則數(shù)列｛叫的公比為()

A.2B.vC.±2D.±-

22

【正確答案】B

【分析】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得見陽=2且出嗎3>0,從而4>0，由等比數(shù)列性質(zhì)有

2

。2a13=的9=2,所以%。8=8,紹'=<7?即可求公比.

“548

【詳解】令公比為q,

log,a2+log2al3=log2(a,al3)=1=log,2,

故a2al3=2且出，。13>0，

所以卬3=“2夕”>0,則4>0,

8

又a2aI?=a6a9=2,a5a6a&ag=16,則%%=，

所以沁=分皿=八；，

。洶4

綜上,4=；.

故選：B.

8.已知正項(xiàng)等差數(shù)歹！!｛““｝的前〃項(xiàng)和為S,(〃eN),若片一%-為=3,貝iJSu-%的值為()

A.3B.14C.28D.42

【正確答案】D

【分析1根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得為+%=2仆，則可由已知等式求6的值，從而利用求和公

式和等差數(shù)列性質(zhì)求幾-%得值.

【詳解】解：正項(xiàng)等差數(shù)列{&“},則對＞0

若則d=%+%+3=2仆+3,解得4=3或g=-l（舍）

貝IJ—%=一出=-做=144=42.

故選：D.

9.九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在

中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)

的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:己知解下1個圓環(huán)最少需要

移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)2次，記得（3n9,為解下〃個

圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)，且%=。吁2+2"、則解下8個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最少

次數(shù)為（）

987654321

【正確答案】C

【分析】根據(jù)%=a“-2+2"T，逐個代入〃=2,〃=4,〃=6,〃=8,即可求解.

73}

【詳解】由題，as=a6+2,&="4+2'，a4=a2+2=2+2,所以4=2+2^+2,+2,=170.

故選.C

二、填空題

10.設(shè)6,名為雙曲線C：n=l的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線C上一點(diǎn)，且附|=4,則

1^1=.

【正確答案】10

【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程找出的值，在利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知：a=3,b=2,

P為雙曲線C上一點(diǎn)，且|用|=4,

所以由雙曲線的定義得：||產(chǎn)甲-歸用|=20=6,

即|4-|尸/=6,

所以|叫|=10或|”|=-2(舍去)，

故10.

11.已知數(shù)列｛%｝滿足2%=%+a?+1(力22,〃wN*[a?+4+%=12嗎+%+。5=9，則。2+%

等于―.

【正確答案】7

【分析】由2%=??.1+??+l(MS2,neN'),

變形a1t--%得出數(shù)列｛??｝為等差數(shù)列，

再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)?a”=a“_|+a"+|("22,〃eN"),

所以?！?a,i=%+「%，

所以數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列，

由a2+a4+a6=12,a,+%+a5=9

所以《+&+4+6+/+為=21，

即(%+%)+(4+%)+(4+%)=21,

由等差數(shù)列的性質(zhì)有：。2+“5=a4+“3=%+4，

所以的+。5=7.

故7.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且ae=2S.+l(weN*),則為=.

【正確答案】81

fS.,72=1,.

【分析】根據(jù)對=|s_S〃>2,求得數(shù)列｛%｝的公比，再求出q=l，即可求解.

【詳解】等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,且凡“=2S“+l（〃eN）

當(dāng)〃22時，atl=2S〃T+1,

：.a,n｝-a?=2a?,：.a?+l=3a?,故等比數(shù)列｛/｝的公比為3.

令〃=1,可得%=2%+1,q=1,則牝=。闖"=81.

故81.

13.已知數(shù)列｛““｝滿足％=1,%=?！?3"（〃eN）,則｛%｝的通項(xiàng)公式《,=.

【正確答案】芝」

2

【分析】由題意得出。向-。,,=3",利用累加法可求出％.

【詳解】數(shù)列｛6｝滿足4=1,。用=?！?3”,=3",

因此，。.=4+（。2-《）+（。3一%）++（“”-%）T*鑼+~.

1—32

故答案為.”

2

14.已知拋物線C:_/=2px（p>0）與圓O:x2+/=5交于48兩點(diǎn)，且|AB|=4,直線/過C

的焦點(diǎn)F,且與C交于",N兩點(diǎn)，給出下列命題：

①若直線/的斜率為半，則|也明=8；

②\MF\+2|必的最小值為3+2應(yīng)；

③若以“尸為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為亭），則點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為：；

④若點(diǎn)G（2,2）,則△GFM周長的最小值為4+6.

其中真命題的序號為（把所有正確命題的序號都填在橫線上）.

【正確答案】②③④

【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出",N的坐標(biāo)，聯(lián)立進(jìn)行求解，當(dāng)加=6時，|MN|=16

進(jìn)而判斷①錯誤；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后判斷②；畫出大致圖像，過點(diǎn)〃作

準(zhǔn)線的垂線，垂足為"’，交V軸于加1,結(jié)合拋物線的定義判斷③；過G作GH垂直于準(zhǔn)線,

垂足為“，利用拋物線的性質(zhì)判斷④即可.

【詳解】由圓和拋物線的對稱性可知點(diǎn)（1,2）在拋物線C：V=28上，

所以22=2。解得夕=2,所以C:/=4x,F（1,O）,

設(shè)直線/：工=到+1,于「=4x聯(lián)立得丁-4叩-4=0,

設(shè)M（x”0），N（X2，%）,所以乂+%=4/，y]y2=-4,

2

所以=\ll+m\y}-y-\=\Jl+nr-，（乂+%）z-4凹力=4（1+〃/），

當(dāng)時，|"M=16,①錯誤；

111__1_+_1_X,+X2+2__（弘+%）+4_"+4斗

\MF\|NF|不+1為+1%電+區(qū)+毛+1（vv）24m+4,

',%-+〃?（*+%）+3

則網(wǎng)+2網(wǎng)=（幽+2|網(wǎng)）（向+向卜3+鬻+鼾3+2&,

當(dāng)且僅當(dāng)阿尸|=1+0，|NE|=1+當(dāng)時等號成立，②正確；

如圖，過朋■作準(zhǔn)線的垂線，垂足為AT,交V軸于A/一

取必■中點(diǎn)為。，過。作夕軸的垂線，垂足為R,

則//OF,DD、為梯形OFM%的中位線，

由拋物線的定義可得

所以|即|」明+}MU+（卜L吟,

所以以“尸為直徑的圓與y軸相切,

所以點(diǎn)（0,*）為圓與y軸的切點(diǎn)，所以。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為當(dāng)，

又。為M尸中點(diǎn)，所以M■點(diǎn)縱坐標(biāo)為指，

又點(diǎn)“在拋物線上，所以加點(diǎn)橫坐標(biāo)為］,③正確；

過過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為“，

所以△GFN的周長為|MG|+|幽+|G同=|M（\+|MM\+7?>|（7/^^5=3475,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）時取等號，④正確：

故②③④

三、雙空題

15.設(shè)等差數(shù)列｛""｝滿足％=1,a?>O（neN*）,其前〃項(xiàng)和為工，若數(shù)列｛瘋卜也為等差

數(shù)列，則?！?______;誓'的最大值是_____.

an

【正確答案】2n-l121

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則2店=何+￡,可得2反;=1+"有，解得

d,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得%,S.+,。，進(jìn)而得出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則2厄=而+卮,

2y/2+d=l+yj3+3d,解得d=2,

/.an=2n-\

??.S**I。=（”+10）X1+5+?"+9）x2=5+10）2,個=（2"-I）2.

1c021

（）+

黑!1=（"+5=JTp=1（1+二1_）2,

a,,2（2"-1>（2n-l）42n-\

）］S

令，=3>0,則T=z1（i+，）2,在f>0時單調(diào)遞增，71單調(diào)遞減，

2/7-1%42/7-1

S

所以，當(dāng)”=1時該式最大，此時T的為121.

故2〃-1：121.

四、解答題

16.已知雙曲線的方程為4x2-/=%寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長、虛半軸長與

漸近線方程.

【正確答案】頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1,0）和（1,0）,焦點(diǎn)坐標(biāo)卜石,0）和（石,0）,實(shí)半軸長為1,虛半軸

長為2,漸近線方程為y=±2x

【分析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再研究其性質(zhì).

【詳解】雙曲線的方程為4/-/=4化為標(biāo)準(zhǔn)方程--己=1

4

則a=l,b=2,c=>/5

所以雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）和（1,0）,焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜6,0）和（右,0）,

實(shí)半軸長為1,虛半軸長為2,漸近線方程為y=±2x

17.已知橢圓C：，+，=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別是耳、6，左右頂點(diǎn)分別是48.

⑴若橢圓C上的點(diǎn)到人,巴兩點(diǎn)的距離之和等于4,求此橢圓C的方程；

（2）若P是橢圓C上異于48的任一點(diǎn)，記直線P4與總的斜率分別為心且勺?&=-；，

試求橢圓C的離心率.

2/

【正確答案】（1）工+3-

4①

（2）橢圓C的離心率為2

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義先確定。的值，再將點(diǎn)"坐標(biāo)代入方程得〃，即可得到橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（乙,為），化簡得為2=4（〃2T2）,得到4=L從而求出離心率.

a~a"2

【詳解】（1）解：橢圓C上的點(diǎn)用卜［

4,所以2a=4na=2,

將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程?+*=1,得從=3,

所以所求方程為.+片=1;

43

（2）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（"（,）,貝道+畛=1,所以為2=與（〃2r2）,

aba

又/(一a,0)、5(a,0),

---工二工=匕1_白

x0+axQ-axQ-a~x0—aa

1r2I

又k\"_「所以勺=_L，即。=揚(yáng)，又/=〃+已2,所以

2a2

所以橢圓的離心率e=￡=g=Y2.

aJ2h2

18.已知數(shù)列｛/｝是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列｛",｝是公比為2的等比數(shù)列，的是％,

的等比中項(xiàng)，b3-a3=3,4=2%.

(1)求數(shù)列｛對｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛《也,｝的前〃項(xiàng)和S,,.

【正確答案】(1)?！?2”-1也=2"

(2)邑=(2〃-3)2向+6

【分析】(1)根據(jù)々是《，生的等比中項(xiàng)，且4-%=3,4=2%,由

(%+")'=q?a+4(/),8q-(%+))=3求解；

(2)由⑴得到“也=(2〃-1)-2”，再利用錯位相減法求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)榈氖?。I，。5的等比中項(xiàng)，且4一%=3,々=2《,

所以(4+"『=q?(%+4/),8q-(q+加)=3,

解得a[=l,d=2,4=2,

所以%=2"-1也=2"；

(2)由(1)得。也=(2〃-1)2,

所以S.=1?2+3-22+5?23+...+(2N-1)-2",

則2s,=1-22+3?23+5?24+...+(2〃一1>2"",

兩式相減得-S“=2+2(22+23+...+2")-(2W-1)-2'M,

=2+2—------L-（27-1）-2!+',

=（3_2〃）2"M_6,

所以S.=（2〃-3）2"“+6.

x2y2

是橢圓C：（人>0）與拋物線氏=2px（p>0）的一個公

共點(diǎn)，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點(diǎn)廠.

（1）求橢圓C及拋物線E的方程；

...................3

（2）2,3是橢圓C上的兩個不同點(diǎn)，若直線04,08的斜率之積為-二（注：O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

4

BM

點(diǎn)〃是線段。4的中點(diǎn)，連接在并延長交橢圓。于點(diǎn)N,求\謁的\值.

【正確答案】⑴二+仁=1；y2=4x

43

【分析】（1）結(jié)合已知條件求出拋物線方程，并求其焦點(diǎn)，然后可得力-/=[,再將點(diǎn)尸代

入橢圓方程即可求解；（2）設(shè)“（X”必），B（x2,y2）,%（不，%），瑞=3〉。）,然后利用

向量用A和8點(diǎn)坐標(biāo)表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，并將N點(diǎn)代入橢圓方程并化簡整理，再結(jié)合OB

3

斜率之積為W即可求解.

【詳解】（1）竽是拋物線E：/=2px（p>o）上一點(diǎn),

：.p=2,即拋物線E的方程為爐=4x,焦點(diǎn)尸（1,0）,

：.a2-b2=1.

又姿I在橢圓c捺+A上‘二十―"

結(jié)合/—A?=1知/=3,a2=4f

22

...橢圓C的方程為t+二=1,拋物線E的方程為/=4.Y.

43

（2）設(shè)/（4必）,8N,%），N（w，%）,j^j=A（A>0）,

???點(diǎn)用是線段CM的中點(diǎn)，.?."［要?,

8"=仔-乙母-乃），8%=卜3一》2，%-%），BN=2,BM，

謝一孫必-為卜彳5一程/一%）

X3=1Xl+（1-^>2

<

%=1%+（1-2）為

:點(diǎn)7（三,%）在橢圓C上，

...r1+,+（1-4［宗蔡+〃1T）（牛+竽）=1

???點(diǎn)/（七,必），8（x2，力）在橢圓C上，

3

又???。4,08斜率之積為一二，

4

.?.江+日=1,互+區(qū)=