2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章：函數(shù)與方程（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章：函數(shù)與方程學(xué)生版

一、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)/(x)=e'+2x—5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從4點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針方向勻速

走了一圈(路線為/8-8。一。4),則小明到。點(diǎn)的直線距離y與他從/點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

f之間的函數(shù)圖象大致是()

3.函數(shù)y=蛇二11的圖象大致是()

X—1

4.在使用二分法計(jì)算函數(shù)./(x)=lgx+x-2的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1,2),

如果要求近似解的精確度為0」，則接下來(lái)需要計(jì)算次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值()

A.2B.3C.4D.5

5.信號(hào)在傳輸介質(zhì)中傳播時(shí)，將會(huì)有一部分能量轉(zhuǎn)化為熱能或被傳輸介質(zhì)吸收，從而造成信

號(hào)強(qiáng)度不斷減弱，這種現(xiàn)象稱為衰減.在試驗(yàn)環(huán)境下，超聲波在某種介質(zhì)的傳播過(guò)程中，聲

壓的衰減過(guò)程可以用指數(shù)模型：P(s)=BeFs描述聲壓尸⑸(單位：帕斯卡)隨傳播距離s(單位:

米)的變化規(guī)律，其中島為聲壓的初始值，常數(shù)K為試驗(yàn)參數(shù).若試驗(yàn)中聲壓初始值為900

帕斯卡，傳播5米聲壓降低為400帕斯卡，據(jù)此可得試驗(yàn)參數(shù)K的估計(jì)值約為(參考數(shù)據(jù)：

In2比0.69,In3*1.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

第1頁(yè)共11頁(yè)

|ln（—x）,x<0,

6.已知<x）={_則函數(shù)^二y2^）一次￥）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

12x?0，

A.1B.2C.3D.4

7.已知函數(shù)外）=2x+log”，且實(shí)數(shù)心6">0,滿足沢。）/（3/（。）<0，若實(shí)數(shù)刈是函數(shù)>=兀0

的一個(gè)零點(diǎn)，那么下列不等式中一定不成立的是（）

A.xo<aB.xo>a

C.xo<bD.xo<c

仙一2）X>1

8.（2022?西安模擬）已知函數(shù)於）=「'’若函數(shù)g（x）=/（x）—k）耿（x+1）恰有

\x\—1,—1?1,

3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

1nnn

A.|_5'3」B.15'3J

rinp.ri

C.l6‘4jD.16'4j

二、多項(xiàng)選擇題

9.凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑

為5微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、

懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過(guò)濾

前水中大顆粒雜質(zhì)含量為50mg/L,若要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2.5mg/L,

則PP棉濾芯層數(shù)不可能為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2Po.30,lg3?0.48）

A.5B.6C.7D.8

^.22x,xWO,

10.設(shè)函數(shù)人x）=,'則g（x）=/（x）—%的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）

Inx—x,x>0,

A.1B.2C.3D.4

11.某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射

后每毫升血液中的含藥量六微克）與時(shí)間f（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進(jìn)

一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（）

A.。=3

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

第2頁(yè)共11頁(yè)

C.注射該藥物1小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

8

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為52小時(shí)

32

12.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù),危)有4個(gè)零點(diǎn)處，必冷，X4(xi—),并且當(dāng)x20時(shí):

2

J(x)=x-ax+\t則下列說(shuō)法中正確的是()

A.實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-8,-2)U(2,+8)

B.當(dāng)尤V0時(shí)，J(x)=x2+ax+1

C.X1X2X3X4—1

D.匯+2%2+3冷+4v4的取值范圍是［23，+~)

三、填空題

13.為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加

密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文(加

密)，接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=^3,如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“丄”，則解密后得到的明文是________.

256

14.若函數(shù)式x)=er—ln(x+a)在(0,+8)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為貝x)=1''則函數(shù)y=/(/(x))的所有零點(diǎn)之和為

10g2%,X>0,

16.漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上船后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、

冷藏，若不及時(shí)處理，打上來(lái)的魚會(huì)很快失去新鮮度.已知某種魚失去的新鮮度厶與其出水

后時(shí)間《分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系式為厶=”屋.若出水后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%,

出水后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%,那么若不及時(shí)處理,打上來(lái)的這種魚在

分鐘后開始失去全部新鮮度.(已知1g2~0.3,結(jié)果取整數(shù))

第3頁(yè)共11頁(yè)

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章：函數(shù)與方程教師版

一、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)/)=^+統(tǒng)一5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函數(shù)人x)=e'+2x—5在R上單調(diào)遞增，而_/(l)=e—3<0,貝2)=e2—1>0,

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)外)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).

2.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從4點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針方向勻速

走了一圈(路線為0/),則小明到。點(diǎn)的直線距離y與他從/點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

f之間的函數(shù)圖象大致是()

答案D

解析小明沿前走時(shí)，與。點(diǎn)的直線距離保持不變，

沿8。走時(shí)，隨時(shí)間增加與O點(diǎn)的距離越來(lái)越小，

沿。4走時(shí)，隨時(shí)間增加與。點(diǎn)的距離越來(lái)越大，故結(jié)合選項(xiàng)可知D正確.

3.函數(shù)y=蛇二11的圖象大致是()

X—1

答案D

解析因?yàn)椴?螞二過(guò)=—12區(qū)，xWO,故夕=她1為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

—XXX

將函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得》=圖￡丁的圖象，

第4頁(yè)共11頁(yè)

所以y=蛇二」的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，排除A,B；

X—1

又當(dāng)^=曲二11=0時(shí)，x=0或x=2,故夕=蛇二」的圖象與X軸有2個(gè)交點(diǎn)，排除C.

X—1X—1

4.在使用二分法計(jì)算函數(shù)/(x)=lgx+x—2的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1,2),

如果要求近似解的精確度為0.1,則接下來(lái)需要計(jì)算次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因?yàn)閰^(qū)間(1,2)的長(zhǎng)度為1,每次二等分都使區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的%

3次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長(zhǎng)度變?yōu)锧3=9o.i,不滿足題意,

O

a=上0」，滿足題意.

4次取中間值后，區(qū)間(1,2)的長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

16

5.信號(hào)在傳輸介質(zhì)中傳播時(shí)，將會(huì)有一部分能量轉(zhuǎn)化為熱能或被傳輸介質(zhì)吸收，從而造成信

號(hào)強(qiáng)度不斷減弱，這種現(xiàn)象稱為衰減.在試驗(yàn)環(huán)境下，超聲波在某種介質(zhì)的傳播過(guò)程中，聲

壓的衰減過(guò)程可以用指數(shù)模型：P(s)=Re—檢描述聲壓尸⑸(單位：帕斯卡)隨傳播距離s(單位:

米)的變化規(guī)律，其中尸。為聲壓的初始值，常數(shù)K為試驗(yàn)參數(shù).若試驗(yàn)中聲壓初始值為900

帕斯卡，傳播5米聲壓降低為400帕斯卡，據(jù)此可得試驗(yàn)參數(shù)K的估計(jì)值約為(參考數(shù)據(jù)：

In2Po.69,In3=1.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

答案B

解析由題意知，400=900e5K,

兩邊取自然對(duì)數(shù)，則In4=ln9-5K,

In9-In42(ln3-ln2)2X0.41八“

所以K=--------=---------2弋------=0.164.

555

[n(—Y)

6.已知貝x)=,'’則函數(shù)y=^(x)—劣代)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

口，x20,

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由題設(shè)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)GR且單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，/(x)e(0,l)且單調(diào)遞減,

令則y=3P—2/=0,可得/=0或￡=],作出函數(shù)外)的圖象，如圖所示，

第5頁(yè)共11頁(yè)

由圖知，當(dāng)f=0時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)f=2時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn).

3

7.已知函數(shù)次》)=2葉唳>，且實(shí)數(shù)a>6>c>0,滿足大吻6)女)<0,若實(shí)數(shù)xo是函數(shù)尸危)

的一個(gè)零點(diǎn)，那么下列不等式中一定不成立的是()

A.x^<aB.x6>a

C.xo<hD.XQ<C

答案D

解析由函數(shù)的單調(diào)性可得，

函數(shù)貝x)=2*+log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由危次切?<0,

則/(a),/(b),/(c)為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，

選項(xiàng)A,B,C可能成立；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)xo<c時(shí)，

由函數(shù)的單調(diào)性可得負(fù)。)>0,負(fù)6)>0,

即不滿足以求助(c)〈0,

故選項(xiàng)D不可能成立.

—2)x>]

8.(2022?西安模擬)已知函數(shù)義x)=,'‘若函數(shù)8(X)=貝刈-10訣。+1)恰有

|x|—1,—1WxW1,

3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

AEI]Bfi9

arin

C.l6‘。4jD.L6‘4j

答案B

解析令g(X)=/(X)—l0ga(x+1)=0,可得加)=10g4a+1),

所以曲線y=/(x)與曲線y=lo改(x+1)有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與曲線>=10即(工+1)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)04vl時(shí)，若使得曲線y=/(x)與曲線歹=log，x+l)有三個(gè)交點(diǎn)，

第6頁(yè)共11頁(yè)

10ga3>-1,

則,log“5<T,解得?檔.

0<?<1,

二、多項(xiàng)選擇題

9.凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑

為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、

懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過(guò)濾

前水中大顆粒雜質(zhì)含量為50mg/L,若要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2.5mg/L,

則PP棉濾芯層數(shù)不可能為()

(參考數(shù)據(jù)：1g2七0.30,1g3=0.48)

A.5B.6C.7D.8

答案ABC

解析由題意得，經(jīng)〃層棉濾芯過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為50。3=50XQ",“GN",

則50XG"<2.5得，20XG"W1,

所以lg20+lgUz<0,

lg10+lg2+n(ig2-lg3)^0,

所以l+0.3+(0.3-0.48)nW0,1.3W0.18”,

得普，

因?yàn)閚為正整數(shù)，

所以〃的最小值為8.

/+2工，

10.設(shè)函數(shù)外)=，'''則g(x)=/(x)一加的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

Inx-Xfx>0,

A.1B.2C.3D.4

答案AB

9+2x,XWO,

解析由函數(shù)/(x)=,'''得大—1)=貝

lnx-x,x>0,

則函數(shù)g(x)=/(x)—〃z的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/(x)的圖象與y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

畫出^=危)和，=用的圖象，如圖所示，

第7頁(yè)共11頁(yè)

由圖可知，當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)mWO時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g（x）=f（x）—m的零點(diǎn)可能有1個(gè)或2個(gè).

11.某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射

后每毫升血液中的含藥量武微克）與時(shí)間/（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進(jìn)

一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，貝哎）

y(微克)

A/(l,4)

r（小時(shí)）

A.a—3

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

C.注射該藥物;小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為52小時(shí)

32

答案AD

'4l,0^?1,

解析由函數(shù)圖象可知y=.|T|

LJ”，閆，

當(dāng)t=\時(shí)，y=4,

即日宀=4,解得。=3,

4t,O^Kl,

故A正確,

藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)4f=0.125,即/=丄,

藥物剛好失效的時(shí)間=0.125,

解得￡=6,

故藥物有效時(shí)長(zhǎng)為6—^-=5豆（小時(shí)），

3232

注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度不到6個(gè)小時(shí)，故B錯(cuò)誤，D正確；注射該藥物1小時(shí)后

O

每毫升血液含藥量為4X：=0.5（微克），故C錯(cuò)誤.

第8頁(yè)共11頁(yè)

12.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(X)有4個(gè)零點(diǎn)X|,X2，工3，X4(X142a3<X4)，并且當(dāng)時(shí),

2

J(x)=x-ax+\9則下列說(shuō)法中正確的是()

A.實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,-2)U(2,+8)

B.當(dāng)x<0時(shí)，J(x)=x2+ax+1

C.X1X2X3X4—1

D.xi+2工2+3工3+4工4的取值范圍是,+°°)

答案BC

解析因?yàn)樨)為偶函數(shù)且有4個(gè)零點(diǎn)，

則當(dāng)xX)時(shí)兀0有2個(gè)零點(diǎn),

Z=q2—4>0,

即’_二￡八解得a>2,A不正確；

了u,

2

當(dāng)工<0時(shí)，-x>0,則,/(X)=/(—X)=X2+QX+1,B正確;

偶函數(shù)y(x)的4個(gè)零點(diǎn)滿足：X1<X2<X3<X4,

則不3,X4是方程N(yùn)—。才+1=0的兩個(gè)根，

則有X3>0,X3X4=1且修=一冗4,X2=—%3,

于是得X|X2X3X4=(X3X4)2=1,C正確；

由C選項(xiàng)知，X|+2%2+3x3+4x4—X3+3x4=X3H，

X3

且0VX3V1,而函數(shù)歹=x+±在(0,1)上單調(diào)遞減，

X

從而得%3+二￡(4,+°°),D不正確.

X3

三、填空題

13.為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加

密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文(加

密)，接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為》=依3,如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“丄”，則解密后得到的明文是.

答案丄

2

解析由題可知，加密密鑰為卜=依3,

由已知可得，當(dāng)x=4時(shí)，>=2,

所以2=4X43,解得左=3=丄，

故^=丄爐，顯然令y=丄，即丄=丄必

32丿25625632

第9頁(yè)共11頁(yè)

解得X3=L即X=L

82

14.若函數(shù)貝x)=er—ln(x+a)在(0,+8)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

答案(一8,e)

解析由題意可得，函數(shù)y=er與ga)=ln(x+a)的圖象在(0,+8)上有交點(diǎn)，

當(dāng)A0時(shí)，g(x)=lna+q)的圖象是由函數(shù)y