2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換含答案第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識：在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列舉常見的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見幾何問題的轉(zhuǎn)化：（1）角度問題：①若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率②若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符號進(jìn)行判定（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計算量較大②若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：；若點(diǎn)在圓上，則為直角（）；若點(diǎn)在圓外，則為銳角（）（3）三點(diǎn)共線問題①通過斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線②通過向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線（4）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的平行與垂直問題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：，則共線；（5）平行（共線）線段的比例問題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題（注意向量的方向是同向還是反向）3、常見幾何圖形問題的轉(zhuǎn)化（1）三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點(diǎn)，則的重心（2）三角形的“垂心”：伴隨著垂直關(guān)系，即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零（3）三角形的“內(nèi)心”：伴隨著角平分線，由角平分線性質(zhì)可知（如圖）：在的角平分線上（4）是以為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)（5）是以為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)：在垂直平分線上（6）共線線段長度的乘積：若共線，則線段的乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，(要注意向量的夾角）例如：，二、典型例題：例1：如圖：分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是的等差中項，是的等比中項（1）求橢圓的方程（2）已知是橢圓上異于的動點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于軸，若過作直線，并交直線于點(diǎn)。證明：三點(diǎn)共線解：（1）依題意可得：是的等差中項是的等比中項橢圓方程為：（2）由（1）可得：設(shè)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：另一方面，因為，聯(lián)立方程：三點(diǎn)共線例2：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△的面積為，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．解：（1）橢圓方程為：（2）設(shè)，由（1）可得：為△的垂心設(shè)由為△的垂心可得：①因為在直線上，代入①可得：即②考慮聯(lián)立方程：得．,．代入②可得：解得：或當(dāng)時，△不存在，故舍去當(dāng)時，所求直線存在，直線的方程為小煉有話說：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊，所以對垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算（或是斜率關(guān)系）例3：如圖，橢圓的一個焦點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且不垂直軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動，恒有,求的取值范圍.解：（1）由圖可得：由正三角形性質(zhì)可得：橢圓方程為：（2）設(shè)，為鈍角聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得：恒成立即恒成立解得：的取值范圍是例4：設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)解：（1）依題意可得，且到右焦點(diǎn)距離的最小值為可解得：橢圓方程為（2）思路：若要證在以為直徑的圓內(nèi)，只需證明為鈍角，即為銳角，從而只需證明，因為坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出直線（斜率為），聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用表示出的坐標(biāo)，從而可用表示。即可判斷的符號，進(jìn)而完成證明解：由（1）可得，設(shè)直線的斜率分別為，，則聯(lián)立與橢圓方程可得：，消去可得：，即設(shè)，因為在直線上，所以，即為銳角，為鈍角在以為直徑的圓內(nèi)例5：如圖所示，已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與橢圓的交點(diǎn)為，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由解：依題意可知拋物線焦點(diǎn)，設(shè)，不妨設(shè)則設(shè)考慮聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去可得：①聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得：②由①②可得：，解得：所以存在滿足條件的直線，其方程為：例6：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)），直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)（1）求拋物線的方程（2）試問的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由解：（1）由準(zhǔn)線方程可得：拋物線方程：（2）設(shè)切點(diǎn)，拋物線為切線斜率為切線方程為：，代入及可得：，解得：（舍）或設(shè)共線且在軸上聯(lián)立和拋物線方程：，整理可得：再聯(lián)立直線方程：例7：在中，的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足∥，且（1）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程（2）直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，若在軌跡上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍解：（1）設(shè)由是的重心可得：由軸上一點(diǎn)滿足平行關(guān)系，可得由可得：化簡可得：的軌跡的方程為：（2）四邊形為平行四邊形設(shè)在橢圓上①因為在橢圓上，所以，代入①可得：②聯(lián)立方程可得：代入②可得：有兩不等實根可得：，即，代入另一方面：或例8：已知橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)，且與橢圓相切于點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由解（1）橢圓方程化為：過設(shè)直線聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：整理可得：與橢圓相切于橢圓方程為：，且可解得（2）思路：設(shè)直線為，，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或證明不存在滿足條件的），則可通過等式列出關(guān)于的方程。對于，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知共線，從而可想到利用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因為同向，所以。寫出的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于的方程，求解即可解：由題意可知直線斜率存在，所以設(shè)直線由（1）可得：共線且同向聯(lián)立直線與橢圓方程：消去并整理可得：，代入，可得：可解得：，另一方面，若方程有兩不等實根則解得:符合題意直線的方程為：，即：或例9：設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸與點(diǎn)，且（1）求橢圓的離心率（2）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由解：（1）依題意設(shè)由可得：（2）由（1）可得：的外接圓的直徑為，半徑設(shè)為，圓心由圓與直線相切可得：解得：橢圓方程為（3）由（2）得：設(shè)直線設(shè)，若為鄰邊的平行四邊形是菱形則為垂直平分線上的點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)的中垂線方程為：，即代入可得：聯(lián)立方程：所以存在滿足題意的，且的取值范圍是例10：已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的方程（2）過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若垂直平分線與相交于兩點(diǎn)，且四點(diǎn)在同一個圓上，求的方程解：（1）設(shè)，可的且解得拋物線（2）由（1）可得可設(shè)直線聯(lián)立方程設(shè)，則有的中點(diǎn)且由直線可得的斜率為設(shè)整理可得：與聯(lián)立消去可得：設(shè)的中點(diǎn)，因為共圓，所以整理后可得：的方程為：或第76煉圓錐曲線中的存在性問題一、基礎(chǔ)知識1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點(diǎn)，線，圖形或是參數(shù)）存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替（1）點(diǎn)：坐標(biāo)（2）直線：斜截式或點(diǎn)斜式（通常以斜率為未知量）（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3、解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點(diǎn)）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（2）核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。（3）核心變量的求法：①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。二、典型例題：例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為。（1）求的值（2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞旋轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的的坐標(biāo)和的方程，若不存在，說明理由解：（1）則，依題意可得：，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r解得：橢圓方程為：（2）設(shè)，當(dāng)斜率存在時，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：，整理可得：因為在橢圓上當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)斜率不存在時，可知，，則不在橢圓上綜上所述：，或，例2：過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，已知的周長為8，橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點(diǎn)，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由解：（1）由的周長可得：橢圓（2）假設(shè)滿足條件的圓為，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)若直線斜率存在，設(shè)，與圓相切即聯(lián)立方程：對任意的均成立將代入可得：存在符合條件的圓，其方程為：當(dāng)斜率不存在時，可知切線為若，則符合題意若，同理可得也符合條件綜上所述，圓的方程為：例3：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為和（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)（在之間），為中點(diǎn)，并設(shè)直線的斜率為①證明：為定值②是否存在實數(shù)，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請說明理由解：（1）依題意可知：可得：橢圓方程為：，代入可得：橢圓方程為：（2）①證明：設(shè)，線段的中點(diǎn)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程：化為：由解得：且②假設(shè)存在實數(shù)，使得，則即因為在橢圓上，所以，矛盾所以不存在符合條件的直線例4：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由解：（1）與圓相切將代入橢圓方程可得：橢圓方程為：（2）由橢圓方程可得：設(shè)直線，則聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：同理：聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：因為四邊形的對角線互相平分四邊形為平行四邊形解得：存在直線時，四邊形的對角線互相平分例5：橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中（1）求橢圓的離心率的取值范圍（2）設(shè)雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）設(shè)由可得：代入可得：（2）當(dāng)時，可得：雙曲線方程為，，設(shè)，當(dāng)軸時，因為所以，下面證明對任意點(diǎn)均使得成立考慮由雙曲線方程，可得：結(jié)論得證時，恒成立例6：如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得對于任意直線，恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）橢圓方程為由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得：點(diǎn)在橢圓上橢圓方程為（2）當(dāng)與軸平行時，由對稱性可得：即在的中垂線上，即位于軸上，設(shè)當(dāng)與軸垂直時，則可解得或不重合下面判斷能否對任意直線均成立若直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程可得：由可想到角平分線公式，即只需證明平分只需證明①因為在直線上，代入①可得：聯(lián)立方程可得：成立平分由角平分線公式可得：例7：橢圓的上頂點(diǎn)為，是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1？若存在，求出這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：由橢圓可知：為直徑的圓經(jīng)過由在橢圓上，代入橢圓方程可得：橢圓方程為（2）假設(shè)存在軸上兩定點(diǎn)，設(shè)直線所以依題意：①因為直線與橢圓相切，聯(lián)立方程：由直線與橢圓相切可知化簡可得：，代入①可得：，依題意可得：無論為何值，等式均成立所以存在兩定點(diǎn)：例8：已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的軌跡為（1）求點(diǎn)的軌跡的方程（2）若點(diǎn)滿足：，其中是上的點(diǎn)，且直線的斜率之積等于，是否存在兩定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由橢圓方程可得：且代入到可得：（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，由已知可得：考慮是上的點(diǎn)即的軌跡方程為，由定義可知，到橢圓焦點(diǎn)的距離和為定值為橢圓的焦點(diǎn)所以存在定點(diǎn)例9：橢圓的焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過的焦點(diǎn)與交于，與交于（1）求橢圓及拋物線的方程（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）設(shè)的公共焦點(diǎn)為（2）設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程：直線與拋物線聯(lián)立方程：是焦點(diǎn)弦若為常數(shù)，則例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時，弦的長為（1）求橢圓的方程（2）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由解：（1）依題意可得：當(dāng)與軸垂直且為右焦點(diǎn)時，為通徑（2）思路：本題若直接用用字母表示坐標(biāo)并表示，則所求式子較為復(fù)雜，不易于計算定值與的坐標(biāo)。因為要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出點(diǎn)及定值，再取判定（或證明）該點(diǎn)在其它直線中能否使得為定值。解：（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)若直線與軸重合，則若直線與軸垂直，則關(guān)于軸對稱設(shè)，其中，代入橢圓方程可得：，可解得：若存在點(diǎn)，則。若，設(shè)設(shè)，與橢圓聯(lián)立方程可得：，消去可得：，同理：代入可得：所以為定值，定值為若，同理可得為定值綜上所述：存在點(diǎn)，使得為定值三、歷年好題精選1、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是（1）求橢圓的方程（2）若在橢圓上的任一點(diǎn)處的切線方程是，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)（3）是否存在實數(shù)，使得恒成立？（點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn)），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由2、已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是橢圓上的一點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）設(shè)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上異于的兩個動點(diǎn)，直線的斜率之積為，設(shè)與的面積分別為，請問：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由3、已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為和（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)（在之間），為中點(diǎn)，并設(shè)直線的斜率為①證明：為定值②是否存在實數(shù)，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請說明理由4、已知圓，定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程（2）過點(diǎn)作直線，與曲線交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形的對角線相等（即）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由5、（2014，福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為，（1）求雙曲線的離心率（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一、四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在請說明理由習(xí)題答案：1、解析：（1）橢圓過點(diǎn)，再由可解得：橢圓方程為：（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線上一點(diǎn)，依題意可得：兩條切線方程為：，由切線均過可得：均在直線上因為兩點(diǎn)唯一確定一條直線，即過定點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）聯(lián)立方程：，不妨設(shè)，使得恒成立2、解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為依題意可知：橢圓方程為：（2）由（1）可得：，若直線斜率存在設(shè)，到直線的距離到直線的距離聯(lián)立方程：（*），代入到（*）可得：或當(dāng)時，，交點(diǎn)與重合，不符題意，代入到可得：，即3、解：（1）依題意可知：可得：橢圓方程為：，代入可得：橢圓方程為：（2）①證明：設(shè)，線段的中點(diǎn)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程：化為：由解得：且②假設(shè)存在實數(shù)，使得，則即因為在橢圓上，所以，矛盾所以不存在符合條件的直線4、解析：（1）由可得為的中點(diǎn)，且為的中垂線點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其半長軸長為，半焦距軌跡方程為：（2）因為四邊形為平行四邊形若，則四邊形為矩形，即①若直線的斜率不存在，則聯(lián)立方程：，即故不符合要求②若直線的斜率存在，設(shè)由，解得：所以存在或，使得四邊形的對角線相等5、解析：（1）由雙曲線方程可知，漸近線方程為（2）若直線不與軸垂直，設(shè)聯(lián)立方程：，同理可得設(shè)直線與軸交于即由直線與漸近線的交點(diǎn)分別在第一、四象限可知：由（1）可得雙曲線方程為：聯(lián)立與雙曲線方程：因為與雙曲線相切整理可得：所以雙曲線方程為：存在一個總與相切的雙曲線，其方程為 第77煉定點(diǎn)定直線問題一、基礎(chǔ)知識：1、處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立。此時要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到。常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2、一些技巧與注意事項：（1）面對復(fù)雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點(diǎn)（或定直線）。然后再驗證該點(diǎn)（或該直線）對一般情況是否符合。屬于“先猜再證”。（2）有些題目所求與定值無關(guān)，但是在條件中會隱藏定點(diǎn)，且該定點(diǎn)通常是解題的關(guān)鍵條件。所以當(dāng)遇到含參數(shù)的方程時，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過定點(diǎn)。尤其在含參數(shù)的直線方程中，要能夠找到定點(diǎn)，抓住關(guān)鍵條件。例如：直線，就應(yīng)該能夠意識到，進(jìn)而直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)二、典型例題：例1：橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1），設(shè)左焦點(diǎn)，解得橢圓方程為（2）由（1）可知橢圓右頂點(diǎn)設(shè)，以為直徑的圓過即①聯(lián)立直線與橢圓方程：，代入到①或當(dāng)時，恒過當(dāng)時，恒過，但為橢圓右頂點(diǎn)，不符題意，故舍去恒過例2：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于和，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過一個定點(diǎn)解：（1）代入可得：橢圓方程為（2）由（1）可得：當(dāng)直線斜率不存在時，所以可得：為軸當(dāng)斜率存在時，設(shè)，則設(shè)，聯(lián)立方程可得：同理，聯(lián)立，可得：的方程為：，整理可得：時，直線方程對均成立直線恒過定點(diǎn)而斜率不存在時，直線也過直線過定點(diǎn)例3：如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，其上頂點(diǎn)為，已知是邊長為2的正三角形（1）求橢圓的方程（2）過點(diǎn)任作一動直線交橢圓于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動時，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動？若在，請求出該定直線；若不在請說明理由解：（1）由橢圓方程可得為邊長是2的三角形（2）設(shè)設(shè)，由可得：設(shè)，則由可得：①聯(lián)立方程組，消去整理可得：代入到①可得：在定直線上例4：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的動點(diǎn)，的面積最大值為，以原點(diǎn)為中心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的方程（2）若直線過定點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由解：（1）因為圓與直線相切橢圓方程為：（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，由橢圓方程可得點(diǎn)設(shè)，聯(lián)立方程可得：由，可得：，分別令，可得：，設(shè)軸上的定點(diǎn)為若為直徑的圓是否過，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立即①由及可得：代入到①可得：解得：圓過定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，可得為直徑的圓過點(diǎn)所以以線段為直徑的圓過軸上定點(diǎn)例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）試問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)（與的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論解：（1）由可得：由對稱性可知：由可得橢圓方程為代入，可得：（2）設(shè)由對稱性可知，由（1）可知設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得：解得：，代入可得：從而，因為是直線與軸的交點(diǎn)以為直徑的圓的圓心為，半徑圓方程為