高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第11講 6.4.3 第2課時(shí) 正弦定理 （教師版）

第11講6.4.3第2課時(shí)正弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系。②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題。③利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關(guān)系。④利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀。⑤掌握正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用。1.利用余弦定理加上本節(jié)課學(xué)習(xí)的正弦定理就可以正式進(jìn)行解三角形的問題的訓(xùn)練與提升，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力知識點(diǎn)01：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）【即學(xué)即練1】（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期中）在中，角的對邊分別為，，，．則．【答案】【詳解】在中，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.知識點(diǎn)02：解決幾何問題的常見公式三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).【即學(xué)即練2】（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為．【答案】【詳解】由題意可得的面積為.故答案為：.題型01已知兩角及任意一邊解三角形【典例1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】在中，，因?yàn)?，所以，則由正弦定理得.故選：B．【典例2】（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則.【答案】【詳解】由三角形內(nèi)角和定理，可得，由正弦定理，可得，解得.故答案為：.【典例3】（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰谥?，，，，點(diǎn)在的延長線上，且，則.【答案】14【詳解】如圖所示，在中，因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，可得，解得，在中，由，且，由余弦定理得，所?故答案為：.【變式1】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，邊長，則邊長（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得即，解得，故選：B.【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，則；；．【答案】【詳解】由，故，則，由正弦定理得，.故答案為：；；.【變式3】（2023下·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）中，角的對邊分別為，已知，，，則.【答案】【詳解】在中，，，，由正弦定理，得到.故答案為：.題型02已知兩邊和其中一邊的對角解三角形【典例1】（2023上·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【詳解】因?yàn)橹?，，，，所以，，因?yàn)椋傻?，即，所以?故選：D.【典例2】（2023上·甘肅平?jīng)觥じ呷？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知．(1)求的值；(2)求c的值．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得.（2）由余弦定理可得，，即，解得或(舍去)，所以.【典例3】（2023上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）在中，，，，在上，且．(1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，且，可得，在中，由正弦定理得，所?（2）解：在中，由余弦定理得，可得，解得或，①當(dāng)時(shí)，的面積為；②當(dāng)時(shí)，的面積為．【變式1】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則C=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)正弦定理，即，則，，，則，所以.故選：B【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，，則．【答案】或【詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，，所以或．故答案為：?【變式3】（2023上·江西·高二校聯(lián)考期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，所以.（2）由余弦定理，，所以，所以，解得或（舍）,所以，故的面積為.題型03三角形解的個(gè)數(shù)【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【答案】A【詳解】由，得，又，，故只能為銳角，即，故該三角形只有一解．故選：A.【典例2】（2023上·上海嘉定·高三?？计谥校┰谥?，已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由可得：，且，若，則，由正弦定理可得,則，所以B為銳角，此時(shí)B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，根?jù)正弦函數(shù)圖像易知，在上存在兩個(gè)根，所以存在兩個(gè)值滿足，所以不成立.故選：C【典例3】（多選）（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C對邊長分別為a，b，c，下列選項(xiàng)的三角形有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【詳解】易知，對于A，由正弦定理可知由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得或，又，則A有兩個(gè)解，即A正確；對于B，同上或,又，則B有兩個(gè)解，即B正確；對于C，同上得，且，故C只有一解，即C錯(cuò)誤；對于D，如下圖所示，則易知，即此時(shí)有兩解，即D正確.

故選：ABD【典例4】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┰O(shè)的角，，所對的邊分別為，，，且，，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是.【答案】【詳解】由正弦定理可知，即，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，即有兩解，又，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：【變式1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰谥?，，，，滿足條件的（

）A．有無數(shù)多個(gè) B．有兩個(gè) C．有一個(gè) D．不存在【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函?shù)的性質(zhì)可得不存在，所以滿足條件的不存在.故選：D【變式2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得，所以,因?yàn)樵撊切斡袃山?，?故，即，故選：B【變式3】（多選）（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的內(nèi)角的對邊分別為則下列說法正確的是（

）A．若，則有一個(gè)解B．若，則有兩個(gè)解C．若，則為等腰三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】ABD【詳解】對于A，由正弦定理，，因?yàn)椋虼?，有唯一解，故A正確；對于B，由正弦定理，，因?yàn)?，所以或，有兩解，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以或，即或，因此為等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)為鈍角時(shí)，為鈍角三角形，當(dāng)為直角時(shí)，不滿足條件，當(dāng)為銳角時(shí)，，因此，，因此為鈍角三角形，故D正確.故選：ABD.【變式4】（2023上·河北邢臺·高三邢臺一中?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為.【答案】【詳解】

由圖可得，要使有兩解，則，即，解得.故答案為：.題型04判斷三角形的形狀【典例1】（2023上·河南省直轄縣級單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，若，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由，得，而，又，所以.，由正弦定理得，即，得，所以或，得或（舍去），所以，即為等邊三角形.故選：B【典例2】（2023上·北京·高三北京二十中?？茧A段練習(xí)）在中，若，則該三角形的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【詳解】，，根據(jù)正弦定理可知：，，在中，，或，即，即.為等腰三角形或直角三角形.故選：C【典例3】（2023上·黑龍江七臺河·高三勃利縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，有，試判斷的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角形”，“鈍角三角形”中選一個(gè)填入橫線中）.【答案】直角三角形【詳解】由二倍角公式可知，，且注意到在中，有，因此可將已知轉(zhuǎn)換為，解得，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)內(nèi)角，所以，即是直角三角形.故答案為：直角三角形.【變式1】（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）在中，，則（

）A．為直角 B．為鈍角 C．為直角 D．為鈍角【答案】C【詳解】由，即，，又，所以，化簡得，則，故在中，，故選：C【變式2】（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）若，且，那么是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋瑒t，整理可得.所以，為等邊三角形.故選：A.【變式3】（2023上·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，則的形狀為三角形．【答案】直角【詳解】在中，由，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.故答案為：直角題型05利用正（余）弦定理求范圍或最值【典例1】（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在銳角中，角的對邊分別為，若，，則a的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)外接圓的半徑為R，則，即.因?yàn)椋?，由正弦定理得，由二倍角公式得，則.由和差化積公式得，即.又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即，，由正弦定理得，即.由題意得，解得，，解得，又，所以，所以，則a的取值范圍是.故答案為：.【典例2】（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在銳角中，設(shè)邊所對的角分別為，且．(1)證明：(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，即，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，則.記，則，由對勾函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為【典例3】（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰谥?，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角A；(2)若的面積為1，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，，由正弦定理，所以，即，又，所以，解得.（2）由題，得，又（時(shí)取“=”）所以，即的最小值是，時(shí)取等號.【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面積；(2)若，求的值以及的取值范圍．【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：由，可得，因?yàn)?，所以，所以，可得，由余弦定理得，所以的面積．（2）解：因?yàn)?，所以，解得，在中，由正弦定理得，則，因?yàn)?，故，所以，即的取值范圍?【變式2】（2023上·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，為(1)求角A的大??；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得：，所以，即，因?yàn)?，所以，又，所以?），，由正弦定理，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，所以，所以【變式3】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A、B、C所對邊分別記為a，b，c，且向量與向量垂直．(1)若，求的值；(2)若角的內(nèi)角平分線與相交于點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）向量與向量垂直，則，由正弦定理得，則，，，即；（2）根據(jù)題意，因?yàn)闉榻堑膬?nèi)角平分線，所以，根據(jù)余弦定理可得，又，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，取等號），所以，所以的最小值為2．題型06綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形【典例1】（2023上·全國·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且，若，則．【答案】【詳解】由于，由正弦定理可得，因?yàn)榻獾?，又，由余弦定理得，解得．故答案為?【典例2】（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）在中，，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，則在中，，在中，，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；即的最小值為.故答案為：【典例3】（2023上·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因?yàn)槭墙堑钠椒志€，則，又，又，所以，得到，又因?yàn)?，得到，解得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即面積的最小值是．【變式1】（2023上·四川廣安·高三廣安二中?？茧A段練習(xí)）在中，，點(diǎn)D在線段上，且滿足，，則等于.【答案】/0.75【詳解】在中，角對應(yīng)的邊分別為，點(diǎn)D在線段上，且滿足，所以，又，所以由角平分線定理可得，所以，則，又，所以，則，由正弦定理得.故答案為：.【變式2】（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）在中，設(shè)角及所對邊的邊長分別為及，若，，，則邊長．【答案】【詳解】由正弦定理得，即，，由于，所以為銳角，,所以，由正弦定理得，則.故答案為：【變式3】（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知分別為內(nèi)角的對邊，若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些，說明理由？(2)請?jiān)冢?）所有組合中任選一組，求對應(yīng)的面積．【答案】(1)①②③，①②④，理由見解析(2)答案不唯一，具體見解析【詳解】（1）對于③，；對于④，，即，且，則，故③，④不能同時(shí)存在，則滿足有解三角形的序號組合為①②③，①②④．（2）選①②③：時(shí)，由余弦定理：，整理得：且，則，的面積為．選①②④：時(shí)，由余弦定理：，整理得：，則，的面積．題型07求三角形面積（定值）【典例1】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)D是邊BC上的一點(diǎn)，且，AD平分，且，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理知：所以由得，由，所以則，由，所以.（2）如圖，由，且，AD平分，得，令，則，又，且，因?yàn)椋?，即：，化簡得，所以，即，，故的面積.

【典例2】（2024上·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.(1)求的值；(2)求的面積；【答案】(1)(2)【詳解】（1）..由正弦定理可得.（2），所以的面積.【典例3】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，，．(1)求角的大小；(2)為的重心，的延長線交于點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理可?，，即，所以，，，故，即.（2）因?yàn)闉榈闹匦?，的延長線交于點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，且，在中，，，即，在和中，,化簡得，所以，故，所以的面積為．【變式1】（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求：的值．(2)求：的值．(3)若，求：的面積．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），由正弦定理得：將這入上式得，由余弦定理可得.（2），由，則，又，即，，又，又.（3），由知：，由（2）可知，又，的面積為.【變式2】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，，．(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求的面積.【答案】(1)或(2)【詳解】（1），在三角形中，，，，，在中，，，又，，，由正弦定理，得，，或；（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，點(diǎn)為三角形重心，所以，又，所以，所以的面積為.題型08根據(jù)三角形面積求參數(shù)【典例1】（2023上·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，且的面積為，求角的角平分線的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，即；?）因?yàn)?，，所?即，設(shè)的角平分線交于，因?yàn)?，所以，所?【典例2】（2023上·浙江·高二路橋中學(xué)?？计谥校┰谥?，角所對的邊分別為且.(1)求的值；(2)若的面積為，求邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】（1）利用正弦定理由可得，又在中，易知，可得，所以；即，可得，顯然，所以，所以，又，可得；（2）由余弦定理可得，代入整理可得，解得或（舍）；所以的面積為，解得，所以；設(shè)邊上的高為，則，可得，即邊上的高為.【典例3】（2023上·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C；(2)若的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)15【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，即，得．所以的周長為.【變式1】（2023上·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）在中，角所對的邊分別為，已知，且．(1)求的值；(2)若的面積，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，將代入，，即，所以．故.（2）由于，又為銳角，即.，.所以，結(jié)合解得.故.【變式2】（2023上·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校┰谥校茿，B，C所對的邊分別為a，b，c，，(1)求角B的大??；(2)若的面積為，周長為3b，求AC邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知結(jié)合正弦定理邊化角可得，又，代入整理可得，因?yàn)?，所以，又，所以，?）由及可得，，又周長為3b，則，所以，根據(jù)余弦定理可得，，整理可得，設(shè)AC邊上的高為h，則，解得，所以AC邊上的高為.【變式3】（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且.(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）方法一：由題意及三角形的面積公式，得，所以.由正弦定理，得.由余弦定理的推論，得，整理得.因?yàn)?，所以，所?由余弦定理的推論，得.方法二：（1）由已知及三角形的面積公式，得，所以.由，得，所以.在中，因?yàn)?，所?又為銳角，所以也為銳角，所以.（2）方法一：由（1）知.又，所以，解得，所以.在中，由余弦定理，得.方法二：由（1），知.由，得①.由題意，知，所以，所以②.由（1）知，所以③.由①②③，得.在中，由余弦定理，得題型09三角形面積最值（范圍）問題【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，則，由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即面積的最小值為.【典例2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，在平面內(nèi)，四邊形的對角線交點(diǎn)位于四邊形內(nèi)部，，，為正三角形，設(shè).

(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)變化時(shí)，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蔚膶蔷€交點(diǎn)位于四邊形內(nèi)部，所以，又因?yàn)闉檎切?，，所?在中，由余弦定理得，又因，將，代入并整理得且，解得，所以的取值范圍是；（2）在中，由余弦定理可得，，由（1）知，所以，又因?yàn)闉檎切?，所以，又，所以，所以?dāng)，即時(shí)，且成立，四邊形的面積取得最大值，最大值為.【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．(1)求角C的大??；(2)若，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意及正弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以．?）由（1）得，由正弦定理，得，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，從而．【變式1】（2023上·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B；(2)若點(diǎn)D在邊上，平分，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由二倍角公式得，，解得，，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，BD平分，所以，因?yàn)榍?，所以，化簡得，，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，所以面積的最小值為.【變式2】（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊，.(1)求角A；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由條件及正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所?（2）由余弦定理得，即，故，由基本不等式得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故.【變式3】（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即．由正弦定理得．由，得，則，由，得．（2）由余弦定理得，則．由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故，即面積的最大值為．題型10求三角形周長（定值）【典例1】（2024上·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，角，，所對的邊分別為，，，，.(1)求的面積；(2)若，求的周長.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）由已知，在中有，故，即，即，而，所以，又，故的面積為.（2）由余弦定理，得，可得，所以，所以，即，所以的周長為3.【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．(1)證明：是銳角三角形；(2)若，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），由正弦定理得，整理得．由余弦定理得．，．，，，，均小于，是銳角三角形．（2），，又，，在中，由正弦定理得，即，，，的周長為．【變式1】（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求角B；(2)設(shè)BD是AC邊上的高，且，，求的周長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?因?yàn)?，，所以，解?（2）因?yàn)?，，所?又由，可得，所以.由余弦定理，可得，即，即，所以，所以的周長為.【變式2】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由正弦定理及余弦定理可得：化簡得：.（2）因?yàn)?，且為三角形?nèi)角，.，所以.由余弦定理可得:，所以，，，即，所以周長為.題型11三角形周長最值（范圍）問題【典例1】（2024上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知平面四邊形存在外接圓，且，，．

(1)求的面積；(2)求的周長的最大值．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫠倪呅未嬖谕饨訄A，所以，，又，所以，所以的面積．（2）在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即．由此得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故的周長．【典例2】（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別是，已知，為在方向上的投影向量．(1)求；(2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由為在方向上的投影向量知，，所以，由正弦定理得，又，所以，又．所以；（2）由正弦定理得．所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故的周長的取值范圍是．【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若的中線，求的最大值．【答案】(1)(2)4【詳解】（1）由題可得，，結(jié)合正弦定理可得，因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以．?）易知，（技巧：向量的平行四邊形法則）兩邊同時(shí)平方得，得．法一：可化為，因?yàn)?，所以，所以，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．（點(diǎn)撥：運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，注意等號是否可以取到）所以的最大值是4．法二：，令則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．（點(diǎn)撥：三角函數(shù)的有界性）所以的最大值為4．【典例4】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若外接圓的半徑為，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所?（2）由正弦定理得，所以，，，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍是.【變式1】（2023上·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知銳角內(nèi)角及對邊，滿足.(1)求的大小；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以，，可得，由，可?（2）因?yàn)?，由正弦定理，可得，可得，因?yàn)殇J角三角形中，所以，解得，所以，所以，可得.周長的取值范圍為.【變式2】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考期中）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為．已知①；②；③，從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問題．(1)求角；(2)若．求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①，由可得：，故有，又∵，∴；選②，∵，由正余弦定理得，∴，又，∴；選③，∵，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，又，∴．（2）由余弦定理得∵，∴．又有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，可得．即的取值范圍是．【變式3】（2023上·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，若D為邊上一點(diǎn)，，．(1)求角；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理可得，即，因?yàn)?，，故，，又，?（2）

因?yàn)?，故，在中，，得，在中，，得，故，而，，所以，由題意知，，故，即的取值范圍為.【變式4】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在單位圓上的三點(diǎn)A，B，C構(gòu)成的銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為．(1)求a；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理得：，由余弦定理得：，

又因?yàn)?，所以，因?yàn)橥饨訄A半徑為1，.（2）因?yàn)榈耐饨訄A半徑，所以所以，

所以，

又因?yàn)闉殇J角三角形，即，故，

所以，所以，所以，即的取值范圍是.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若則的值可以為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由正弦定理求出，結(jié)合求出答案.【詳解】由正弦定理得，即，故，因?yàn)?，所以，?故選：A2．（2023上·海南省直轄縣級單位·高二?？奸_學(xué)考試）在中，角的對邊分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理求得正確答案.【詳解】由正弦定理得，.故選：D3．（2024上·北京·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）在中，，，，若滿足條件的有兩個(gè)，則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)滿足條件的有兩個(gè)，可得出，求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，且滿足條件的有兩個(gè)，則，即，解得.故選：B.4．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理邊化角及和角公式計(jì)算即可.【詳解】由及正弦定理得，所以．又在中，，所以，所以，所以為直角三角形．故選：A.5．（2023上·北京東城·高三北京五十五中?？茧A段練習(xí)）在中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理求解，即可根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由余弦定理可得,由正弦定理可得,故選：B6．（2023上·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】根據(jù)題意利用倍角公式和正弦定理結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【分析】在中，，則，因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，由正弦定理可知：等價(jià)于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.7．（2023上·北京大興·高三統(tǒng)考期中）在中，，且滿足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知，畫出和邊長，以為圓心，為半徑作圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)即可求出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意如下圖所示：

易知當(dāng)時(shí)，，若滿足條件的三角形只有一個(gè)；由題可知以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即圖中兩點(diǎn)滿足題意；所以可得，即；即的取值范圍是.故選：C8．（2023·全國·模擬預(yù)測）圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標(biāo)桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經(jīng)》里記載的二十四節(jié)氣就是通過圭表測量日影長度來確定的．利用圭表測得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設(shè)表高為1米，則影差（

）（參考數(shù)據(jù)：，）

A．2.016米 B．2.232米 C．2.428米 D．2.614米【答案】B【分析】由正弦定理和三角函數(shù)得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【詳解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因?yàn)?，且，所以，所以（米）．故選：B．二、多選題9．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由正弦定理得，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由正弦定理得，而當(dāng)時(shí)，則或，則或，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，由正弦定理得，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD10．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的取值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】BC【分析】由正弦定理得到或，分兩種情況，求出答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以或．?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，綜上：的值為或2.故選：BC三、填空題11．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為.【答案】/【分析】利用正弦定理與三角恒等變換.【詳解】因?yàn)椋?，則有，因?yàn)?所以，所以.故的面積為.故答案為:.12．（2023上·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn).設(shè)，，試用，表示為，若，的面積為，則的最小值為.【答案】6【分析】由圖形特征，利用向量的線性運(yùn)算，用，表示；根據(jù)的面積求得的值，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出，利用基本不等式求出它取最小值.【詳解】如圖所示，中，，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則，，即；由的面積為，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為6.故答案為：；6四、解答題13．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為且．(1)求角的大??；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡即可；（2）由的面積為可得，再根據(jù)余弦定理即可得，進(jìn)而求得周長.【詳解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.（2）由題意，解得.由余弦定理，可得.故的周長為14．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用降冪公式及兩角和正弦公式化簡得，根據(jù)最小正周期公式即得.（2）由（1）得，利用正弦面積公式與余弦定理得到，再借助正弦定理得結(jié)果.【詳解】（1），的最小正周期；（2）由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圓的半徑.B能力提升1．（2023上·河南信陽·高二河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┲?，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，，交AC于點(diǎn)D，且，的最小值為（

）A． B． C．8 D．【答案】B【詳解】由題意可知：，因?yàn)椋?，整理得，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．所以的最小值為．故選：B.2．（2023上·湖南邵陽·高二?？茧A段練習(xí)）在鈍角中，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由正弦定理得，所以，因?yàn)殁g角中，，當(dāng)為